Скалярное произведение векторов (далее в тексте СП). Дорогие друзья! В состав экзамена по математике входит группа задач на решение векторов. Некоторые задачи мы уже рассмотрели. Можете посмотреть их в категории «Векторы». В целом, теория векторов несложная, главное последовательно её изучить. Вычисления и действия с векторами в школьном курсе математики просты, формулы не сложные. Загляните в . В этой статье мы разберём задачи на СП векторов (входят в ЕГЭ). Теперь «погружение» в теорию:
Ч тобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала
И ещё:
*Длина вектора (модуль) определяется следующим образом:
Данные формулы необходимо запомнить!!!
Покажем угол между векторами:
Понятно, что он может изменяться в пределах от 0 до 180 0 (или в радианах от 0 до Пи).
Можем сделать некоторые выводы о знаке скалярного произведения. Длины векторов имеют положительное значение, это очевидно. Значит знак скалярного произведения зависит от значения косинуса угла между векторами.
Возможны случаи:
1. Если угол между векторами острый (от 0 0 до 90 0), то косинус угла будет иметь положительное значение.
2. Если угол между векторами тупой (от 90 0 до 180 0), то косинус угла будет иметь отрицательное значение.
*При нуле градусов, то есть когда векторы имеют одинаковое направление, косинус равен единице и соответственно результат будет положительным.
При 180 о, то есть когда векторы имеют противоположные направления, косинус равен минус единице, и соответственно результат будет отрицательным.
Теперь ВАЖНЫЙ МОМЕНТ!
При 90 о, то есть когда векторы перпендикулярны друг другу, косинус равен нулю, а значит и СП равно нулю. Этот факт (следствие, вывод) используется при решение многих задач, где речь идёт о взаимном расположении векторов, в том числе и в задачах входящих в открытый банк заданий по математике.
Сформулируем утверждение: скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы лежат на перпендикулярных прямых.
Итак, формулы СП векторов:
Если известны координаты векторов или координаты точек их начал и концов, то всегда сможем найти угол между векторами:
Рассмотрим задачи:
27724 Найдите скалярное произведение векторов a и b .
Скалярное произведение векторов мы можем найти по одной из двух формул:
Угол между векторами неизвестен, но мы без труда можем найти координаты векторов и далее воспользоваться первой формулой. Так как начала обоих векторов совпадают с началом координат, то координаты данных векторов равны координатам их концов, то есть
Как найти координаты вектора изложено в .
Вычисляем:
Ответ: 40
Найдём координаты векторов и воспользуемся формулой:
Чтобы найти координаты вектора необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала, значит
Вычисляем скалярное произведение:
Ответ: 40
Найдите угол между векторами a и b . Ответ дайте в градусах.
Пусть координаты векторов имеют вид:
Для нахождения угла между векторами используем формулу скалярного произведения векторов:
Косинус угла между векторами:
Следовательно:
Координаты данных векторов равны:
Подставим их в формулу:
Угол между векторами равен 45 градусам.
Ответ: 45
При изучении геометрии немало вопросов возникает по теме векторов. Особенные трудности обучающийся испытывает при необходимости найти углы между векторами.
Основные термины
Перед тем как рассматривать углы между векторами, необходимо ознакомиться с определением вектора и понятием угла между векторами.
Вектором называют отрезок, имеющий направление, то есть отрезок, для которого определено его начало и конец.
Углом между двумя векторами на плоскости, имеющих общее начало, называют меньший из углов, на величину которого требуется переместить один из векторов вокруг общей точки, до положения, когда их направления совпадут.
Формула для решения
Поняв, что собой представляет вектор и как определяется его угол, можно вычислить угол между векторами. Формула решения для этого достаточно проста, и результатом её применения будет значение косинуса угла. Согласно определению, он равен частному скалярного произведения векторов и произведения их длин.
Скалярное произведение векторов считается как сумма помноженных друг на друга соответствующих координат векторов-сомножителей. Длина вектора, или его модуль, вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат.
Получив значение косинуса угла, вычислить величину самого угла можно с помощью калькулятора или воспользовавшись тригонометрической таблицей.
Пример
После того как вы разберетесь с тем, как вычислить угол между векторами, решение соответствующей задачи станет простым и понятным. В качестве примера стоит рассмотреть несложную задачу о нахождении величины угла.
Первым делом удобнее будет вычислить необходимые для решения значения длин векторов и их скалярного произведения. Воспользовавшись описанием, представленным выше, получим:
Подставив полученные значения в формулу, вычислим значение косинуса искомого угла:
Это число не является одним из пяти распространённых значений косинуса, поэтому для получения величины угла, придётся воспользоваться калькулятором или тригонометрической таблицей Брадиса. Но перед тем, как получить угол между векторами, формула может быть упрощена, чтобы избавиться от лишнего отрицательного знака:
Итоговый ответ для сохранения точности можно оставить в таком виде, а можно вычислить значение угла в градусах. По таблице Брадиса его величина составит примерно 116 градусов и 70 минут, а калькулятор покажет значение 116,57 градуса.
Вычисление угла в n-мерном пространстве
При рассмотрении двух векторов в трёхмерном пространстве, понять, о каком угле идёт речь гораздо сложнее, если они не лежат в одной плоскости. Для упрощения восприятия можно начертить два пересекающихся отрезка, которые образуют наименьший угол между ними, он и будет искомым. Несмотря на наличие третьей координаты в векторе, процесс того, как вычисляются углы между векторами, не изменится. Вычислите скалярное произведение и модули векторов, арккосинус их частного и будет являться ответом на данную задачу.
В геометрии нередко встречаются задачи и с пространствами, имеющими больше трёх измерений. Но и для них алгоритм нахождения ответа выглядит аналогично.
Разница между 0 и 180 градусами
Одна из распространённых ошибок при написании ответа на задачу, рассчитанную на то чтобы вычислить угол между векторами, - решение записать, что векторы параллельны, то есть искомый угол получился равен 0 или 180 градусам. Этот ответ является неверным.
Получив по итогам решения значение угла 0 градусов, правильным ответом будет обозначение векторов как сонаправленных, то есть у векторов будет совпадать направление. В случае получения 180 градусов векторы будут носить характер противоположно направленных.
Специфические векторы
Найдя углы между векторами, можно встретить один из особых типов, помимо описанных выше сонаправленных и противоположно направленных.
- Несколько векторов параллельных одной плоскости называются компланарными.
- Векторы, одинаковые по длине и направлению, называются равными.
- Векторы, лежащие на одной прямой, независимо от направления, именуются коллинеарными.
- Если длина вектора равна нулю, то есть его начало и конец совпадают, то его называют нулевым, а если единице, то единичным.
Знание и понимание математических терминов поможет в решении многих задач как курса алгебры, так и геометрии. Не менее важная роль отводится формулам, отображающим взаимосвязи между математическими характеристиками.
Угол между векторами – пояснение терминологии
Для того, чтобы сформулировать определение угла между векторами, необходимо выяснить, что подразумевает термин “вектор”. Данное понятие характеризует участок прямой, имеющий начало, длину и направление. Если перед вами изображено 2 направленных отрезка, которые берут свое начало в одной и той же точке, следовательно они образуют угол.
Т.о. термин “угол между векторами” определяет градусную меру наименьшего угла, на который следует повернуть один направленный отрезок (относительно начальной точки), чтобы он занял положение/направление второго направленного участка прямой. Данное утверждение распространяется на вектора, выходящие из одной точки.
Градусная мера угла между двумя направленными участками прямой, берущими начало в одной точке заключена в отрезке от 0º до 180º. Обозначается данная величина как ∠(ā,ū) – угол между направленными отрезками ā и ū.
Расчет угла между векторами
Вычисление градусной меры угла, образованного парой направленных частей прямой, производится с использованием следующей формулы:
cosφ = (ō,ā) / |ō|·|ā|, ⇒ φ = arccos (cosφ).
∠φ – искомый угол между заданными векторами ō и ā,
(ō,ā) – произведение скаляров направленных частей прямой,
|ō|·|ā| – произведение длин заданных направленных отрезков.
Определение скалярного произведения направленных участков прямой
Как воспользоваться данной формулой и определить значение числителя и знаменателя представленного соотношения?
В зависимости от системы координат (декартова или трехмерное пространство), в которой располагаются заданные векторы, каждый направленный отрезок имеет следующие параметры:
ō = {o x , o y }, ā = {a x , a y } или
ō = {o x , o y , o z }, ā = {a x , a y , a z }.
Следовательно, для нахождения значения числителя – скаляра направленных отрезков – следует произвести такие действия:
(ō,ā) = ō * ā = o x * a x + o y * a y , если рассматриваемые вектора лежат на плоскости
(ō,ā) = ō * ā = o x * a x + o y * a y + o z * a z , если направленные участки прямой располагаются в пространстве.
Определение длин векторов
Длина направленного отрезка вычисляется с использованием выражений:
|ō| = √ o x 2 + o y 2 или |ō| = √ o x 2 + o y 2 + o z 2
|ā| = √ a x 2 + a y 2 или |ā| = √ a x 2 + a y 2 + a z 2
Т.о. в общем случае n-мерного измерения выражение для определения градусной меры угла между направленными отрезками ō = {o x , o y , … o n } и ā = {a x , a y , … a n } выглядит так:
φ = arccos (cosφ) = arccos ((o x * a x + o y * a y + … + o n * a n ) / (√ o x 2 + o y 2 + … + o n 2 * √ a x 2 + a y 2 + … + a n 2)).
Пример расчета угла между направленными отрезками
Согласно условия, заданы вектора ī = {3; 4; 0} и ū = {4; 4; 2}. Какова градусная мера угла, образованного данными отрезками?
Определяете скаляр векторов ī и ū. Для этого:
i * u = 3*4 + 4*4 + 0*2 = 28
После вычисляете длины отрезков:
|ī| = √9 + 16 + 0 = √25 = 5,
|ū| = √16 + 16 + 4 = √36 = 6.
cos (ī,ū) = 28 / 5*6 = 28/30 = 14/15 = 0,9(3).
Воспользовавшись таблицей значений косинусов (Брадиса), определяете величину искомого угла:
cos (ī,ū) = 0.9(3) ⇒ ∠(ī,ū) = 21° 6′.
Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →
Определение 1
Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В.
Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^
Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.
a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.
Определение 2
Векторы называются перпендикулярными , если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.
Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.
Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.
Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .
Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:
cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →
Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.
Пример 1
Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно - 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.
Решение
Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = - 9 3 · 6 = - 1 2 ,
Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos (- 1 2) = 3 π 4
Ответ: cos a → , b → ^ = - 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4
Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.
Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) выглядит так:
cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2
Пример 2
Исходные данные: векторы a → = (2 , 0 , - 1) , b → = (1 , 2 , 3) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.
Решение
- Для решения задачи можем сразу применить формулу:
cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + (- 1) · 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos (- 1 70) = - a r c cos 1 70
- Также можно определить угол по формуле:
cos a → , b → ^ = (a → , b →) a → · b → ,
но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + (- 1) · 3 = - 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = - 1 5 · 14 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = - a r c cos 1 70
Ответ: a → , b → ^ = - a r c cos 1 70
Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.
Пример 3
Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A (2 , - 1) , B (3 , 2) , C (7 , - 2) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .
Решение
Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = (7 - 2 , - 2 - (- 1)) = (5 , - 1) B C → = (7 - 3 , - 2 - 2) = (4 , - 4)
Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = (A C → , B C →) A C → · B C → = 5 · 4 + (- 1) · (- 4) 5 2 + (- 1) 2 · 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 · 32 = 3 13
Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13
Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В, будет верным равенство:
A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) ,
что равносильно:
b → - a → 2 = a → + b → - 2 · a → · b → · cos (a → , b →) ^
и отсюда выведем формулу косинуса угла:
cos (a → , b →) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 - b → - a → 2 a → · b →
Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.
Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:
cos (a → , b →) ^ = a → , b → a → · b →
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter