Скорости шаров до удара,

Скорости шаров после удара,

Запишем уравнения по закону сохранения импульса и закону сохранения энергии.

Решая систему этих двух уравнений можно получить следующие формулы для скоростей шаров после удара

Рассмотрим частные случаи.

Соударение одинаковых шаров, m 1 =m 2 .

То есть, шары при соударении обмениваются скоростями.

Если один из шаров неподвижен, например v 20 =0, то после удара он будет двигаться со скоростью равной скорости первого шара (и в том же направлении), а первый шар остановится.

2). Удар шара о массивную стенку, m 2 >>m 1 .

Из формул (11) и (12) получим в этом случае:

Скорость стенки остаётся неизменной. Если стена неподвижна, (v 20 =0), то, то есть, ударившийся о стену шарик отскочит обратно практически с той же скоростью.

Таблица 1 Изучение упругого столкновения

v 10 и v 1 вычислили по формулам - где =0,1м - длина пластинок, вставленных в тележки.

Таблица 2 Измерения при различных значениях массы тележки

Таблица 3

Вывод: При абсолютно упругом ударе кинетическая энергия соударяющихся тел переходит вначале в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию, и тела разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяется двумя законами - законом сохранения энергии и законом сохранения импульса.

Таблица 4 Изучение неупругого столкновения

Таблица 5

так как мы рассматриваем частный случай, когда ударяемое тело (m 2) неподвижно (v 20 =0) и масса ударяемого тела велика, (m 2 >>m 1), то

Таблица 6

Вывод: при абсолютно неупругом ударе кинетическая энергия полностью или частично превращается во внутреннюю энергию, приводя к повышению температуры тел. После удара столкнувшиеся тела либо движутся вместе с одинаковой скоростью, либо покоятся. В данном случае после удара тела движутся вместе. При абсолютно неупругом ударе выполняется только закон сохранения импульса.

Законы сохранения импульса - фундаментальные законы природы. Примером применения этих законов может быть явление соударения. Абсолютно упругий и неупругий удары - изменение состояния тел в результате кратковременного взаимодействия при их столкновении.

Механизм взаимодействия

Простейшим видом взаимодействий физических тел является центральное столкновение шаров, имеющих идеальную геометрическую форму. Время контакта этих объектов укладывается в сотые доли секунды.

Согласно определению, центральным считается удар, при котором линия столкновения пересекает центры шаров. При этом траектория взаимодействия - это прямая, проведенная точно к элементу поверхности соприкосновения в момент контакта. В механике различают абсолютно упругий и неупругий удары.

Типы взаимодействий

Абсолютно неупругий удар наблюдается при столкновении двух тел из пластичных материалов или пластичного и упругого тел. После его совершения скорости соударяющихся объектов становятся одинаковыми.

Абсолютно упругий удар наблюдается при взаимодействии объектов, изготовленных из упругих материалов (например, двух шариков из твердых сортов стали либо шариков из некоторых видов пластмасс и т. д.).

Этапы

Процесс упругого соударения происходит в два этапа:

• I этап - момент после начала столкновения. Силы, действующие на шарики, увеличиваются с ростом деформации. Увеличение деформации сопровождается изменением скорости объектов. Тела, скорость которых была больше, замедляют свое движение, а тела с меньшей скоростью ускоряются. Когда деформация станет максимальной, скорость шаров после абсолютно упругого удара становится равновесной.
• II этап. С момента, который характеризует начало второго этапа упругого удара, значение деформаций уменьшается. При этом силы деформации расталкивают шарики. После исчезновения деформации, шарики удаляются и полностью восстанавливают свою первоначальную форму и движутся с разными скоростями. Таким образом, в конце второго этапа центральный абсолютно упругий удар превращает весь запас потенциальной энергии упругодеформированных тел в кинетическую энергию.

Изолированные системы

На практике ни один удар не является абсолютным (упругим либо неупругим). Система в любом случае взаимодействует с окружающим веществом, обменивается энергией и информацией со средой. Но для теоретических исследований допускается существование изолированных систем, в которых взаимодействуют исключительно объекты исследований. Например, возможен как абсолютно неупругий, так и абсолютно упругий удар шаров.

Внешние силы на такую систему не действуют либо их влияние скомпенсировано. В изолированной системе закон сохранения импульсов работает в полной мере - полный импульс между сталкивающимися телами сохраняется:

∑=m i v i =const.

Здесь «m» и «v» - масса некой частицы («i») изолированной системы и вектор ее скорости соответственно.

Для сохранения механической энергии (частного случая общего закона энергий) есть необходимость, чтобы силы, которые действуют в системе, были консервативными (потенциальными).

Консервативные силы

Консервативными называются силы, которые не превращают в прочие виды энергий механическую энергию. Эти силы всегда потенциальны - то есть работа, которую выполняют такие силы по замкнутому контуру, равна нулю. В противном случае силы называются диссипативными или неконсервативными.

В консервативных изолированных системах механическая энергия между сталкивающимися телами также сохраняется:

W=Wk+Wp=∑(mv 2 /2)+Wp=const.

Здесь Wk и Wp - кинетическая (k) и потенциальная (p) энергии соответственно.

Для проверки актуальности законов сохранения энергий (приведенных выше формул), если совершаются удары абсолютно упругих тел при условии, что до столкновения один из шаров не двигается (скорость неподвижного тела v 2 =0), ученые вывели следующую закономерность:

m 1 v 1 Ki=m 1 U 1 +m 2 U 2

(m 1 v 1 2)/2×Ke=(m 1 U 1 2)/2+(m 2 U 2 2)/2.

Здесь m 1 и m 2 - масса первого (ударного) и второго (неподвижного) шаров. Ki и Ke - коэффициенты, показывающие, во сколько раз увеличился импульс двух шаров (Ki) и энергия (Ke) в момент, когда совершается абсолютно упругий удар. v 1 - скорость подвижного шара.

Поскольку суммарный импульс системы должен сохраняться при любых условиях столкновений, то следует ожидать, что коэффициент восстановления импульса будет равен единице.

Расчет силы удара

Скорость ударного (отклоняемого на нити) шара, которая налетает на неподвижный (свободно подвешенный на нити) шар, определяется формулой закона сохранения энергии:

m 1 gh=(m 1 v 1 2)/2

h=l-lcosα=2lsin 2 (α/2).

Здесь h - величина отклонения плоскости ударного шара относительно плоскости неподвижного шара. l - длина нитей (абсолютно одинаковы), на которых подвешены шары. α - угол отклонения ударного шара.

Соответственно, абсолютно упругий удар при столкновении ударного (отклоняемого на нити) и неподвижного (свободно висящего на нити) шара рассчитывается по формуле:

v 1 =2sin(α/2)√gl.

Установка для исследований

На практике для расчета сил взаимодействия применяют простую установку. Она предназначена для изучения видов ударов двух шаров. Установка представляет собой треножник на трех винтах, которые позволяют выставить его по горизонтали. На треножнике расположена центральная стойка, к верхнему концу которой прикрепляют специальные подвесы для шаров. На штанге закреплен электромагнит, притягивающий и удерживающий в начале эксперимента в отклоненном состоянии один из шаров (ударный шар).

Величину начального угла отклонения этого шара (коэффициент α) можно определить по расходящейся в обе стороны дугообразной шкале. Величина ее искривления соответствует траектории перемещения взаимодействующих шаров.

Процесс исследования

Вначале подготавливается пара шаров: в зависимости от заданий берутся упругие, неупругие либо два разноплановых шара. В специальную таблицу записываются массы шаров.

Затем к электромагниту пристыковывается ударный элемент. По шкале определяют угол отклонения нити. Затем электромагнит отключают, он теряет притягивающие свойства, и шар по дуге устремляется вниз, сталкиваясь со вторым, свободным, неподвижно висящим шаром, который в результате импульса (удара) отклоняется на определенный угол. Величину отклонения фиксируют по второй шкале.

Абсолютно упругий удар рассчитывается на основании данных эксперимента. Для подтверждения правдивости законов сохранения импульса и энергии при упругом и неупругом ударах двух шаров определяют их скорости до и после столкновения. В основу положен баллистический метод измерения скорости движения шаров по величине их отклонения. Эта величина отсчитывается по шкалам, изготовленным в виде дуг окружности.

Особенности расчетов

При расчетах удара в классической механике не учитывают ряд показателей:

• время соударения;
• степень деформации взаимодействующих объектов;
• неоднородность материалов;
• скорость деформации (передачи импульса, энергии) внутри шара.

Столкновение бильярдных шаров - показательный пример упругого удара.

Важным примером применения законов сохранения импульса и энергии является задача о соударении (столкновении, ударе) тел.

Такое соударение двух (или более) тел происходит за счет взаимодействия, которое обычно длится очень короткое время. Например, при соударении бильярдных шаров взаимодействие обеспечивается силами деформации шаров при соприкосновении. А соударение электронов и ионов в электрическом разряде происходит за счет кулоновского взаимодействия, которое велико лишь в мгновения наибольшего сближения частиц. Силы взаимодействия между сталкивающимися телами из-за малого времени процесса столь велики, что внешними силами в момент столкновения можно пренебречь. Поэтому систему тел при ударе можно рассматривать как замкнутую и применять к ней закон сохранения импульса.

Если суммарная кинетическая энергия тел после соударения равна их энергии до соударения (кинетическая энергия сохраняется), то соударение называют упругим. Если в процессе соударения происходит уменьшение суммарной кинетической энергии сталкивающихся тел, то соударение неупругое. Абсолютно неупругим соударением называют столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. Продемонстрировать абсолютно неупругий удар можно с помощью шаров из пластилина. Л, например, процесс ионизации молекулы быстрым электроном удобно рассматривать как упругое соударение с передачей от быстрого электрона электрону молекулы энергии, превышающей потенциал ионизации.

Центральным {лобовым ) соударением называют соударение, при котором тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. В противном случае соударение нецентральное {боковое).

Рассмотрим центральное упругое соударение быстрой частицы с неподвижной. Из соображений симметрии после центрального удара частицы по-прежнему могут двигаться только вдоль той же прямой, проходящей через их центры масс, так что задача сводится к одномерной. В этом случае справедливы скалярные законы сохранения импульса и кинетической энергии:

Здесь М - масса, a v - скорость быстрой (первой) частицы до соударения; v t - скорость быстрой частицы после соударения; т - масса, аг; 2 - скорость второй частицы после соударения.

Поделив почленно формулу закона сохранения энергии на формулу закона сохранения импульса так, чтобы сократились массы (для этого члены с М надо перенести в левую часть системы), получим

Подставив скорость первой частицы после соударения в формулу (3.27), получим

Важным параметром для электроники и новых технологий является доля энергии теряемая быстрой частицей в столкновении. Она находится как отношение потери энергии АЕ первой частицей к первоначальной энергии Е. Очевидно, что при упругом столкновении потеря энергии первой частицы равна энергии E v приобретенной второй частицей:

Отсюда имеем

Рассмотрим случаи наиболее важных соотношений масс (одинаковых, различных, существенно различных). При этом разными получаются направления скоростей и доля переданной энергии.

Результат математически подтверждает наблюдение, что наиболее эффективный обмен энергией при упругих соударениях возможен между частицами со сравнимой массой. В частности, при центральном соударении частиц с одинаковой массой (М = т) из формулы (3.31) имеем ^ = 1, что означает полную передачу энергии от налетающей частицы к неподвижной и полную остановку первой частицы в результате удара.

Если же массы соударяющихся частиц существенно различны, то в знаменателе формулы (3.31) можно пренебречь легкой массой по сравнению с тяжелой. Так, если быстрая частица более массивная (М т), то имеем

Если быстрая частица менее массивная (М т), получим

Результат в двух последних случаях показывает, что при центральном столкновении частиц с существенно различной массой доля передаваемой энергии невелика. Это справедливо независимо от того, какая частица тяжелее - быстрая или неподвижная. Частным случаем формулы (3.33) является, например, столкновение шара со стеной.

Полученные зависимости играют большую роль в электронике. Так, из формулы (3.33) следует, что ускоренный электрон при столкновении с атомами и ионами может передать им лишь порядка тысячной доли энергии и менее. Легкие электроны быстро ускоряются в электрическом поле, но медленно передают свою энергию окружающим тяжелым частицам. В результате в разрядных и других электронных приборах часто температура электронов оказывается во много раз выше температуры атомов. Так, в газоразрядных осветительных лампах температура атомов и колбы составляет сотни кельвинов, а температура электронов разряда - тысячи кельвинов. Это позволяет горячим электронам эффективно возбуждать (с последующим свечением) атомы. Здесь и в других приборах отрыв температур способствует их высокой полезной мощности и экономичности.

А, например, в соответствии с формулой (3.32) ускоренные атомы и ионы способны отдавать лишь малую часть своей энергии на ионизацию и возбуждение молекул среды, обычно происходящие за счет передачи энергии электронам атомов и ионов.

Знание относительной потери энергии позволяет оценить число упругих центральных столкновенийQ, требуемых для практически полного торможения быстрой частицы:

где т т и т л - соответственно массы тяжелой и легкой сталкивающихся частиц. Так, даже для соударений быстрых электронов с ядрами атомов водорода - протонами Q « 1000. Однако число необходимых для торможения соударений может заметно превышать даже эту большую величину. Далеко не все соударения частиц центральные. Обычно частицы при столкновении лишь слегка задевают одна другую, так что передача энергии при этом меньше, чем при центральном ударе. Такие боковые удары играют большую роль в теории столкновений. Учет их требует введения понятия сечения столкновения.

Несложно понять из формул, каким становится направление движения тел после столкновения. Опыт игры в бильярд подсказывает, что движущийся шар остановится уже при первом упругом центральном столкновении с другим точно таким же, но неподвижным шаром (рис. 3.5, а). А легкий шар при упругом соударении просто отскакивает от тяжелого и изменяет направление своего движения (и векторную характеристику движения - импульс), почти не меняя своей энергии (рис. 3.5, б). Наоборот, тяжелый шар, придавая скорость легкому, сохраняет направление своего движения (рис. 3.5, в).

Рис. 35

Рассмотрим теперь центральный абсолютно неупругий удар, когда тело массой М и со скоростью V сталкивается с неподвижным телом массы т. Закон сохранения импульса в этом случае имеет вид

где v - скорость тел после соударения. Тогда

Последняя формула позволяет получить ряд достаточно очевидных выводов. При неупругом ударе тяжелого тела по легкому в тепловые потери идет малая доля кинетической энергии. Если легкое тело бьет по тяжелому, то почти вся энергия уходит в тепло. Если массы тел сравнимы, то конечная кинетическая энергия системы сравнима с тепловыми потерями.

Если соударение является нецентральным (боковым), то в общем случае необходимо учитывать векторный характер закона сохранения импульса, который распадается на три уравнения по координатам. Впрочем, для важного случая столкновения одинаковых по массе частиц можно получить интересный результат без координатного рассмотрения. По аналогии с формулами (3.27) и (3.28) имеем

Выразив начальную скорость быстрой частицы из формулы (3.37) и подставив сс в формулу (3.38), получим

В данной ситуации скалярное произведение обращается в нуль в двух случаях. Во-первых, если конечная скорость быстрой частицы равна нулю - этот случай центрального удара мы рассматривали выше. А во-вторых, для бокового удара остается случай, когда угол между конечными скоростями частиц является прямым. Таким образом, после бокового удара налетающей частицы по неподвижной частице той же массы частицы разлетаются под прямым углом. Этот вывод существенно упрощает рассмотрение ионизации и возбуждения атомов электронным ударом.

При абсолютно упругом ударе тела после удара полностью восстанавливают свою форму, например, футбольный мяч при ударе о стену или биллиардные шары после столкновения. При этом суммарная кинетическая энергия взаимодействующих тел сохраняется.

Иными словами, кинетическая энергия не переходит во внутреннюю энергию взаимодействующих тел, и их температура не повышается.

Рассмотрим абсолютно упругий удар шарика о массивную стену (рис. 24.1).

Пусть шарик подлетает к стене со скоростью , составляющей угол a с нормалью к стене. Выясним, с какой скоростью он отлетит от стены.

В момент удара о стену на шарик действует только сила нормальной реакции (силы трения быть не может, иначе выделялось ты тепло!). , N y = 0, а значит, в вертикальном направлении тело не может получить ускорение: а у = 0, υ 0у = υ у .

Поскольку при абсолютно упругом ударе общая кинетическая энергия сохраняется, а энергию, полученную стеной, в силу ее массивности можно считать равной нулю, то и υ = υ 0 . Но так как (по теореме Пифагора), то , а так как υ 0у = υ у , то |υ 0х | = |υ х |. Отсюда из равенства треугольников (см. рис. 24.1) следует, что угол отражения шарика b равен углу его падения a: a = b.

Итак, при абсолютно упругом ударе о массивную стену скорость тела не меняется по абсолютной величине , а угол падения равен углу отражения.

Задача 24.1. С высоты Н по гладкой наклонной плоскости длиной l = H/3 и углом наклона a = 30° соскальзывает без трения шарик и затем падает на горизонтальную плоскость, удар о которую следует считать абсолютно упругим (рис. 24.2,а ). На какую высоту h поднимется шарик после удара о плоскость?

Решение . Чтобы найти h , рассмотрим движение шарика после удара о плоскость (рис. 24.2,б ). Шарик движется как тело, брошенное под углом к горизонту, и высота подъема, как уже известно из кинематики, равна , где υ в – вертикальная составляющая начальной скорости .

Найдем с помощью ТКЭ:

.

Чтобы найти горизонтальную составляющую скорости , найдем модуль скорости также с помощью ТКЭ:

.

Из рис. 24.2,б :

υ г = υ 1 cos30° = .

Заметим, что поскольку в горизонтальном направлении после отрыва от наклонной плоскости никакие силы на шарик не действуют, величина υ г далее со временем не меняется и после удара о горизонтальную плоскость остается такой же, как после отрыва от наклонной плоскости.

Теперь найдем вертикальную составляющую скорости : , где , υ г = . Отсюда

Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса при упругом ударе способствует нахождению решения механических задач с неизвестными действующими силами, то есть задания с ударным взаимодействием тел.

Применение такого вида задач используется в технике и физике элементарных частиц.

Определение 1

Удар или столкновение – это кратковременное взаимодействие тел с последующим изменением их скорости.

При столкновении действуют неизвестные кратковременные ударные силы. Закон Ньютона не разрешит ударное взаимодействие, а позволит только исключить сам процесс столкновения и получить связь между скоростями тел до и после столкновений без промежуточных значений.

Механика применяет такое определения абсолютно упругих и абсолютно неупругих ударов.

Определение 2

Абсолютно неупругий удар – это ударное взаимодействие с соединением (слипанием) движущихся тел.

Сохранение механической энергии отсутствует, так как переходит во внутреннюю, то есть нагревание.

Попадание пули в баллистический маятник – характерный пример действия энергии абсолютно неупругого удара, где
М – подвешенный ящик с песком, показанный на рисунке 1 . 21 . 1 , m – горизонтально летящая пуля с v → скоростью движения, застревающая в ящике. Определение скорости пули возможно по отклонению маятника.

Если скорость ящика с пулей обозначить как u → , тогда, используя формулу сохранения импульса, получаем:

m v = (M + m) u ; u = m M + m v .

Когда пуля застревает в песке, то механическая энергия теряется:

∆ E = m v 2 2 - (M + m) u 2 2 = M M + m · m v 2 2 .

M (M + m) обозначает долю кинетической энергии выпущенной пули и прошедшей во внутреннюю энергию системы. Тогда

∆ E E 0 = M M + m = 1 1 + m M .

Использование формулы подходит для задач с наличием баллистического маятника и другого неупругого соударения разномасных тел.

Когда m < < М ∆ E E 0 → 1 2 , тогда происходит переход кинетической энергии во внутреннюю. Когда m = M ∆ E E 0 → 0 , только половина кинетической переходит во внутреннюю. Если имеется неупругое соударение движущегося тела большей массой с неподвижным, имеющим (m > > М) , отношение принимает вид ∆ E E 0 → 0 .

Расчет движения маятника производится по закону сохранения механической энергии. Получаем

(M + m) u 2 2 = (M + m) g h ; u 2 = 2 g h .

В данном случае h является максимальной высотой подъема маятника. Отсюда следует, что

v = M + m m 2 g h .

При известной высоте h возможно определение скорости пули v .

Рисунок 1 . 21 . 1 . Баллистический маятник.

Определение 3

Абсолютный упругий удар – это столкновение с сохранением механической энергии системы тел.

Большинство случаев столкновения атомов подчинено законам абсолютного упругого центрального удара. Закон сохранения импульса и механической энергии сохраняются при таком ударе. Для примера используется столкновение при помощи центрального удара бильярдных шаров. Один из них находится в состоянии покоя, как изображено подробно на рисунке 1 . 21 . 2 .

Определение 4

Центральный удар – это соударение, когда скорости шаров направлены по линии центра.

Рисунок 1 . 21 . 2 . Абсолютно упругий центральный удар шаров.

Встречаются случаи, когда массы m 1 и m 2 не равны. Тогда, используя закон сохранения механической энергии, получаем

m 1 v 1 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 .

За v 1 принимается скорость при абсолютном упругом ударе первого шара перед столкновением, а v 2 = 0 скорость второго шара, u 1 и u 2 – скорости после столкновения.

Определение 5

Запись закона сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара, принимает вид:

m 1 v 1 = m 1 u 1 + m 2 u 2 .

Полученная система из двух уравнений позволяет найти неизвестные скорости u 1 и u 2 шаров после столкновения.

u 1 = m 1 - m 2 v 1 m 1 + m 2 ; u 2 = 2 m 1 v 1 m 1 + m 2 .

Если массы равны, то есть, тогда происходит остановка первого шара (u 1 = 0) , а второй продолжает движение u 2 = v 1 . происходит обмен скоростями и импульсами.

При наличии нулевой скорости второго шара (v 2 ≠ 0) , задача могла бы свестись к предыдущей с переходим в новую систему отсчета с равномерным и прямолинейным движением и скоростью v 2 относительно «неподвижной» системы. В такой системе второй шар покоится до удара, а первый имеет скорость v 1 " = v 1 – v 2 . После определения скорости шаров v 1 и v 2 производится переход к «неподвижной» системе.

С помощью закона сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновений только с известными скоростями до соударения.

Рисунок 1 . 21 . 3 . Модель упругие и неупругие соударения.

При столкновении атомов или молекул применяется понятие центрального или лобового удара, который редко применим на практике. Нецентральный упругий удар не направлен по одной прямой.

Частный случай нецентрального упругого удара – соударение бильярдных шаров с одинаковой массой при обездвиженном одним из них, а другим направленным не по линии центра. Данная ситуация приведена на рисунке 1 . 21 . 4 .

Рисунок 1 . 21 . 4 . Нецентральное упругое соударение шаров с одинаковой массой, где d является прицельным расстоянием.

Нецентральное ударение характеризуется тем, что разлетатание шаров происходит под углом относительно друг друга. Чтобы определить скорости v 1 и v 2 после соударения, необходимо знать нахождение положения линии центров в момент удара или предельное расстояние d , изображенное на рисунке 1 . 21 . 4 .

Определение 6

Предельным расстоянием называют расстояние между двумя линиями, которые проведены через центры шаров параллельно относительно вектора скорости v 1 → летящего шара.

При одинаковых массах шаров векторы v 1 → и v 2 → имеют перпендикулярное направление друг к другу. Это возможно показать с помощью применения законов сохранения импульса и энергии. Если m 1 = m 2 = m , тогда определение примет вид

v 1 → = u 1 → + u 2 → ; v 1 2 = u 1 2 + u 2 2 .

Первое равенство значит, что векторы v 1 → , u 1 → , u 2 → образуют треугольник, называемый диаграммой импульсов, второе – для его разрешения применяют теорему Пифагора. Угол, располагаемый между u 1 → и u 2 → , равняется 90 градусов.

Рисунок 1 . 21 . 5 . Модель соударения упругих шаров

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter