Выражение вида называется линейной комбинацией векторов A 1 , A 2 ,...,A n с коэффициентами λ 1, λ 2 ,...,λ n .

Определение линейной зависимости системы векторов

Система векторов A 1 , A 2 ,...,A n называется линейно зависимой , если существует ненулевой набор чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n , при котором линейная комбинация векторов λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n равна нулевому вектору , то есть система уравнений: имеет ненулевое решение.
Набор чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n отлично от нуля.

Определение линейной независимости системы векторов

Система векторов A 1 , A 2 ,...,A n называется линейно независимой , если линейная комбинация этих векторов λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n , то есть система уравнений: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ имеет единственное нулевое решение.

Пример 29.1

Проверить, является ли линейно зависимой система векторов

Решение :

1. Составляем систему уравнений :

2. Решаем ее методом Гаусса . Преобразования Жордано системы приведены в таблице 29.1. При расчете правые части системы не записываются так как они равны нулю и при преобразованиях Жордана не изменяются.

3. Из последних трех строк таблицы записываем разрешенную систему, равносильную исходной системе:

4. Получаем общее решение системы :

5. Задав по своему усмотрению значение свободной переменной x 3 =1, получаем частное ненулевое решение X=(-3,2,1).

Ответ: Таким образом, при ненулевом наборе чисел (-3,2,1) линейная комбинация векторов равняется нулевому вектору -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Следовательно, система векторов линейно зависимая .

Свойства систем векторов

Свойство (1)
Если система векторов линейно зависимая, то хотя бы один из векторов разлагается по остальным и, наоборот, если хотя бы один из векторов системы разлагается по остальным, то система векторов линейно зависимая.

Свойство (2)
Если какая-либо подсистема векторов линейно зависимая, то и вся система линейно зависимая.

Свойство (3)
Если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая.

Свойство (4)
Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависимая.

Свойство (5)
Система m-мерных векторов всегда является линейно зависимой, если число векторов n больше их размерности (n>m)

Базис системы векторов

Базисом системы векторов A 1 , A 2 ,..., A n называется такая подсистема B 1 , B 2 ,...,B r (каждый из векторов B 1 ,B 2 ,...,B r является одним из векторов A 1 , A 2 ,..., A n) , которая удовлетворяет следующим условиям:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r линейно независимая система векторов;
2. любой вектор A j системы A 1 , A 2 ,..., A n линейно выражается через векторы B 1 ,B 2 ,...,B r

r — число векторов входящих в базис.

Теорема 29.1 О единичном базисе системы векторов.

Если система m-мерных векторов содержит m различных единичных векторов E 1 E 2 ,..., E m , то они образуют базис системы.

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того, чтобы найти базис системы векторов A 1 ,A 2 ,...,A n необходимо:

• Составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Привести эту систему

Пусть L – линейное пространство над полем Р . Пусть А1, а2, … , аn (*) конечная система векторов из L . Вектор В = a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn (16) называется Линейной комбинацией векторов ( *), или говорят, что вектор В линейно выражается через систему векторов (*).

Определение 14. Система векторов (*) называется Линейно зависимой , тогда и только тогда, когда существует такой ненулевой набор коэффициентов a1, a2, … , an, что a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn = 0. Если же a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, то система (*) называется Линейно независимой.

Свойства линейной зависимости и независимости.

10. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Действительно, если в системе (*) вектор А1 = 0, То 1×0 + 0×А2 + … + 0 ×Аn = 0 .

20. Если система векторов содержит два пропорциональных вектора, то она линейно зависима.

Пусть А1 = L ×а2. Тогда 1×А1 –l×А2 + 0×А3 + … + 0×А N = 0.

30. Конечная система векторов (*) при n ³ 2 линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из её векторов является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

Þ Пусть (*) линейно зависима. Тогда найдётся ненулевой набор коэффициентов a1, a2, … , an, при котором a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn = 0 . Не нарушая общности, можно считать, что a1 ¹ 0. Тогда существует и А1 = ×a2×А2 + … + ×an×А N. Итак, вектор А1 является линейной комбинацией остальных векторов.

Ü Пусть один из векторов (*) является линейной комбинацией остальных. Можно считать, что это первый вектор, т. е. А1 = B2А2 + … + bnА N, Отсюда (–1)×А1 + b2А2 + … + bnА N = 0 , т. е. (*) линейно зависима.

Замечание. Используя последнее свойство, можно дать определение линейной зависимости и независимости бесконечной системы векторов.

Определение 15. Система векторов А1, а2, … , аn , … (**) называется Линейно зависимой, Если хотя бы один её вектор является линейной комбинацией некоторого конечного числа остальных векторов. В противном случае система (**) называется Линейно независимой.

40. Конечная система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ни один из её векторов нельзя линейно выразить через остальные её векторы.

50. Если система векторов линейно независима, то любая её подсистема тоже линейно независима.

60. Если некоторая подсистема данной системы векторов линейно зависима, то и вся система тоже линейно зависима.

Пусть даны две системы векторов А1, а2, … , аn , … (16) и В1, в2, … , вs, … (17). Если каждый вектор системы (16) можно представить в виде линейной комбинации конечного числа векторов системы (17), то говорят, что система (17) линейно выражается через систему (16).

Определение 16. Две системы векторов называются Эквивалентными , если каждая из них линейно выражается через другую.

Теорема 9 (основная теорема о линейной зависимости).

Пусть и – две конечные системы векторов из L . Если первая система линейно независима и линейно выражается через вторую, то N £ s.

Доказательство. Предположим, что N > S. По условию теоремы

(21)

Так как система линейно независима, то равенство (18) Û Х1=х2=…=х N= 0. Подставим сюда выражения векторов : …+=0 (19). Отсюда (20). Условия (18), (19) и (20), очевидно, эквивалентны. Но (18) выполняется только при Х1=х2=…=х N= 0. Найдём, когда верно равенство (20). Если все его коэффициенты равны нулю, то оно, очевидно, верно. Приравняв их нулю, получим систему (21). Так как эта система имеет нулевое , то она

совместна. Так как число уравнений больше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений. Следовательно, у неё есть ненулевое Х10, х20, …, х N0 . При этих значениях равенство (18) будет верно, что противоречит тому, что система векторов линейно независима. Итак, наше предположение не верно. Следовательно, N £ s.

Следствие. Если две эквивалентные системы векторов конечны и линейно независимы, то они содержат одинаковое число векторов.

Определение 17. Система векторов называется Максимальной линейно независимой системой векторов Линейного пространства L , если она линейно независима, но при добавлении к ней любого вектора из L , не входящего в эту систему, она становится уже линейно зависимой.

Теорема 10. Любые две конечные максимальные линейно независимые системы векторов из L Содержат одинаковое число векторов.

Доказательство следует из того, что любые две максимальные линейно независимые системы векторов эквивалентны.

Легко доказать, что любую линейно независимую систему векторов пространства L можно дополнить до максимальной линейно независимой системы векторов этого пространства.

Примеры:

1. Во множестве всех коллинеарных геометрических векторов любая система, состоящая их одного ненулевого вектора, является максимальной линейно независимой.

2. Во множестве всех компланарных геометрических векторов любые два неколлинеарных вектора составляют максимальную линейно независимую систему.

3. Во множестве всех возможных геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства любая система трёх некомпланарных векторов является максимальной линейно независимой.

4. Во множестве всех многочленов степени не выше N С действительными (комплексными) коэффициентами система многочленов 1, х, х2, … , хn Является максимальной линейно независимой.

5. Во множестве всех многочленов с действительными (комплексными) коэффициентами примерами максимальной линейно независимой системы являются

а) 1, х, х2, … , хn, … ;

б) 1, (1 – х ), (1 – х )2, … , (1 – х )N, …

6. Множество матриц размерности M ´ N является линейным пространством (проверьте это). Примером максимальной линейно независимой системы в этом пространстве является система матриц Е11 = , Е12 =, … , Е Mn = .

Пусть дана система векторов С1, с2, … , ср (*). Подсистема векторов из (*) называется Максимальной линейно независимой Подсистемой Системы ( *) , если она линейно независима, но при добавлении к ней любого другого вектора этой система она становится линейно зависимой. Если система (*) конечна, то любая её максимальная линейно независимая подсистема содержит одно и то же число векторов. (Доказательство проведите самостоятельно). Число векторов в максимальной линейно независимой подсистеме системы (*) называется Рангом Этой системы. Очевидно, эквивалентные системы векторов имеют одинаковые ранги.

Пусть в -мерном арифметическом пространстве имеется совокупность векторов .

Определение 2.1. Совокупность векторов называется линейно независимой системой векторов, если равенство вида

выполняется только при нулевых значениях числовых параметров .

Если равенство (2.1) может быть выполнено при условии, что хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то такая система векторов будет называться линейно зависимой .

Пример 2.1. Проверить линейную независимость векторов

Решение. Составим равенство вида (2.1)

Левая часть данного выражения может обращаться в нуль только при выполнении условия , которое означает, что система является линейно-независимой.

Пример 2.1. Будут ли векторы линейно независимыми?

Решение. Нетрудно проверить, что равенство верно при значениях , . Значит, данная система векторов линейно зависима.

Теорема 2.1. Если система векторов является линейно зависимой, то любой вектор из этой системы может быть представлен в виде линейной комбинации (или суперпозиции) остальных векторов системы.

Доказательство . Предположим, что система векторов линейно зависима. Тогда в силу определения существует набор чисел , среди которых хотя бы одно число отлично от нуля, и при этом справедливо равенство (2.1):

Без потери общности предположим, что ненулевым коэффициентом является , то есть . Тогда последнее равенство можно разделить на и далее выразить вектор :

.

Таким образом, вектор представлен в виде суперпозиции векторов . Теорема 1 доказана.

Следствие. Если – совокупность линейно независимых векторов, то ни один вектор из этого набора не может быть выражен через остальные .

Теорема 2.2. Если система векторов содержит ноль-вектор, то такая система обязательно будет линейно зависимой .

Доказательство . Пусть вектор является ноль-вектором, то есть .

Тогда выбираем постоянные () следующим образом:

, .

При этом равенство (2.1) выполняется. Первое слагаемое слева равно нулю вследствие того, что – ноль-вектор. Остальные слагаемые обращаются в нуль, будучи умноженными на нулевые константы (). Таким образом,

при , а значит, векторы линейно зависимые. Теорема 2.2 доказана.

Следующий вопрос, на который нам предстоит ответить, какое наибольшее количество векторов может составить линейно независимую систему в n -мерном арифметическом пространстве. В пункте 2.1 был рассмотрен естественный базис (1.4):

Было установлено, что произвольный вектор -мерного пространства является линейной комбинацией векторов естественного базиса, то есть произвольный вектор выражается в естественном базисе в виде

, (2.2)

где – координаты вектора , представляющие собой некоторые числа. Тогда равенство

возможно лишь при , а значит, векторов естественного базиса образуют линейно независимую систему. Если добавить к этой системе произвольный вектор , то на основании следствия теоремы 1 система будет зависимой, поскольку вектор выражается через векторы по формуле (2.2).

Этот пример показывает, что в n -мерном арифметическом пространстве существуют системы, состоящие из линейно независимых векторов. А если к этой системе добавить хотя бы один вектор, то получим систему линейно зависимых векторов. Докажем, что если число векторов превышает размерность пространства, то они линейно зависимые.

Теорема 2.3. В -мерном арифметическом пространстве не существует системы, состоящей более чем из линейно независимых векторов.

Доказательство . Рассмотрим произвольных -мерных векторов:

………………………

Пусть . Составим линейную комбинацию векторов (2.3) и приравняем её к нулю:

Векторное равенство (2.4) равносильно скалярным равенствам для координат векторов :

(2.5)

Эти равенства образуют систему однородных уравнений с неизвестными . Так как число неизвестных больше числа уравнений (), то в силу следствия теоремы 9.3 раздела 1 однородная система (2.5) имеет ненулевое решение. Следовательно, равенство (2.4) справедливо при некоторых значениях , среди которых не все равны нулю, а значит, система векторов (2.3) линейно зависимая. Теорема 2.3 доказана.

Следствие. В -мерном пространстве существуют системы, состоящие из линейно независимых векторов, а любая система, содержащая больше чем векторов, будет линейно зависимой.

Определение 2.2. Систему линейно независимых векторов называют базисом пространства , если любой вектор пространства может быть выражен в виде линейной комбинации этих линейно независимых векторов.

2.3. Линейное преобразование векторов

Рассмотрим два вектора и -мерного арифметического пространства .

Определение 3.1. Если каждому вектору сопоставлен вектор из этого же пространства , то говорят, что задано некоторое преобразование -мерного арифметического пространства.

Будем обозначать это преобразование через . Вектор будем называть образом . Можно записать равенсто

. (3.1)

Определение 3.2. Преобразование (3.1) будем называть линейным, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

, (3.2)

, (3.3)

где - произвольный скаляр (число).

Зададим преобразование (3.1) в координатной форме. Пусть координаты векторов и связаны зависимостью

(3.4)

Формулы (3.4) задают преобразование (3.1) в координатной форме. Коэффициенты () системы равенств (3.4) можно представить в виде матрицы

называемой матрицей преобразования (3.1).

Введём векторы-столбцы

,

элементы которых суть координаты векторов и соответственно, так что и . Будем далее векторы-столбцы и называть векторами.

Тогда преобразование (3.4) может быть записано в матричной форме

. (3.5)

Преобразование (3.5) является линейным в силу свойств арифметических операций над матрицами .

Рассмотрим некоторое преобразование , образом которого является ноль-вектор. В матричном виде это преобразование будет иметь вид

, (3.6)

а в координатной форме – представлять собой систему линейных однородных уравнений

(3.7)

Определение 3.3. Линейное преобразование называется невырожденным, если определитель матрицы линейного преобразования не равен нулю, то есть . Если определитель обращается в нуль, то преобразование будет вырожденным .

Известно, что система (3.7) имеет тривиальное (очевидное) решение – нулевое. Это решение является единственным, если только определитель матрицы не равен нулю.

Ненулевые решения системы (3.7) могут появляться, если линейное преобразование является вырожденным, то есть при нулевом определителе матрицы .

Определение 3.4. Рангом преобразования (3.5) называется ранг матрицы преобразования .

Можно сказать, что этому же числу равно количество линейно-независимых строк матрицы .

Обратимся к геометрической интерпретации линейного преобразования (3.5).

Пример 3.1. Пусть задана матрица линейного преобразования , где Возьмем произвольный вектор , где и найдем его образ:
Тогда вектор
.

Если , то вектор изменит и длину и направление. На рис.1 .

Если , то получим образ

,

то есть вектор
или , а это значит, что изменит только длину, но не изменит направление (рис. 2).

Пример 3.2. Пусть , . Найдём образ:

,

то есть
, или .

Вектор в результате преобразования изменил своё направление на противоположное, при этом длина вектора сохранилась (рис. 3).

Пример 3.3. Рассмотрим матрицу линейного преобразования. Несложно показать, что в этом случае образ вектора полностью совпадает с самим вектором (рис. 4). Действительно,

.

Можно сказать, что линейное преобразование векторов изменяет исходный вектор и по длине, и по направлению. Однако в некоторых случаях существуют такие матрицы, которые преобразуют вектор только по направлению (пример 3.2) или только по длине (пример 3.1, случай ).

Следует заметить, что все векторы, лежащие на одной прямой, образуют систему линейно зависимых векторов.

Вернёмся к линейному преобразованию (3.5)

и рассмотрим совокупность векторов , для которых образом является нуль-вектор, так что .

Определение 3.5 . Совокупность векторов , являющихся решением уравнения , образует подпространство -мерного арифметического пространства и называется ядром линейного преобразования .

Определение 3.6. Дефектом линейного преобразования называется размерность ядра этого преобразования, то есть, наибольшее число линейно-независимых векторов , удовлетворяющих уравнению .

Так как рангом линейного преобразования мы называем ранг матрицы , то можно сформулировать следующее утверждение относительно дефекта матрицы: дефект равен разности , где – размерность матрицы, – её ранг.

Если ранг матрицы линейного преобразования (3.5) ищется методом Гаусса, то ранг совпадает с количеством отличных от нуля элементов на главной диагонали уже преобразованной матрицы, а дефект определяется количеством нулевых строк.

Если линейное преобразование является невырожденным, то есть , то его дефект обращается в ноль, поскольку ядром является единственный нулевой вектор.

Если линейное преобразование вырожденное и , то система (3.6) кроме нулевого решения имеет другие, и дефект в этом случае уже отличен от нуля.

Особый интерес вызывают преобразования, которые, меняя длину, не меняют направление вектора. Точнее говоря, оставляют вектор на прямой, содержащей исходный вектор, при условии, что прямая проходит через начало координат. Такие преобразования будут рассмотрены в следующем пункте 2.4.

В данной статье мы расскажем:

• что такое коллинеарные векторы;
• какие существуют условия коллинеарности векторов;
• какие существуют свойства коллинеарных векторов;
• что такое линейная зависимость коллинеарных векторов.

Определение 1

Коллинеарные векторы - это векторы, которые являются параллелями одной прямой или лежат на одной прямой.

Пример 1

Условия коллинеарности векторов

Два векторы являются коллинеарными, если выполняется любое из следующих условий:

• условие 1 . Векторы a и b коллинеарны при наличии такого числа λ , что a = λ b ;
• условие 2 . Векторы a и b коллинеарны при равном отношении координат:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• условие 3 . Векторы a и b коллинеарны при условии равенства векторного произведения и нулевого вектора:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Замечание 1

Условие 2 неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.

Замечание 2

Условие 3 применимо только к тем векторам, которые заданы в пространстве.

Примеры задач на исследование коллинеарности векторов

Пример 1

Исследуем векторы а = (1 ; 3) и b = (2 ; 1) на коллинеарность.

Как решить?

В данном случае необходимо воспользоваться 2-м условием коллинеарности. Для заданных векторов оно выглядит так:

Равенство неверное. Отсюда можно сделать вывод, что векторы a и b неколлинеарны.

Ответ : a | | b

Пример 2

Какое значение m вектора a = (1 ; 2) и b = (- 1 ; m) необходимо для коллинеарности векторов?

Как решить?

Используя второе условие коллинераности, векторы будут коллинеарными, если их координаты будут пропорциональными:

Отсюда видно, что m = - 2 .

Ответ: m = - 2 .

Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов

Теорема

Система векторов векторного пространства линейно зависима только в том случае, когда один из векторов системы можно выразить через остальные векторы данной системы.

Доказательство

Пусть система e 1 , e 2 , . . . , e n является линейно зависимой. Запишем линейную комбинацию этой системы равную нулевому вектору:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

в которой хотя бы один из коэффициентов комбинации не равен нулю.

Пусть a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Делим обе части равенства на ненулевой коэффициент:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Обозначим:

A k - 1 a m , где m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

В таком случае:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

или e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Отсюда следует, что один из векторов системы выражается через все остальные векторы системы. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Достаточность

Пусть один из векторов можно линейно выразить через все остальные векторы системы:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Переносим вектор e k в правую часть этого равенства:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Поскольку коэффициент вектора e k равен - 1 ≠ 0 , у нас получается нетривиальное представление нуля системой векторов e 1 , e 2 , . . . , e n , а это, в свою очередь, означает, что данная система векторов линейно зависима. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Следствие:

• Система векторов является линейно независимой, когда ни один из ее векторов нельзя выразить через все остальные векторы системы.
• Система векторов, которая содержит нулевой вектор или два равных вектора, линейно зависима.

Свойства линейно зависимых векторов

1. Для 2-х и 3-х мерных векторов выполняется условие: два линейно зависимых вектора - коллинеарны. Два коллинеарных вектора - линейно зависимы.
2. Для 3-х мерных векторов выполняется условие: три линейно зависимые вектора - компланарны. (3 компланарных вектора - линейно зависимы).
3. Для n-мерных векторов выполняется условие: n + 1 вектор всегда линейно зависимы.

Примеры решения задач на линейную зависимость или линейную независимость векторов

Пример 3

Проверим векторы a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 на линейную независимость.

Решение. Векторы являются линейно зависимыми, поскольку размерность векторов меньше количества векторов.

Пример 4

Проверим векторы a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 на линейную независимость.

Решение. Находим значения коэффициентов, при которых линейная комбинация будет равняться нулевому вектору:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Записываем векторное уравнение в виде линейного:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Решаем эту систему при помощи метода Гаусса:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 3-ей - 1-ю:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Из 1-й строки вычитаем 2-ю, к 3-ей прибавляем 2-ю:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Из решения следует, что у системы множество решений. Это значит, что существует ненулевая комбинация значения таких чисел x 1 , x 2 , x 3 , при которых линейная комбинация a , b , c равняется нулевому вектору. Следовательно, векторы a , b , c являются линейно зависимыми. ​​​​​​​

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Определение 1. Система векторов называется линейно зависимой, если один из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы, и линейно независимой - в противном случае.

Определение 1´. Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа с 1 , с 2 , …, с k , не все равные нулю, такие, что линейная комбинация векторов с данными коэффициентами равна нулевому вектору: = , в противном случае система называется линейно независимой.

Покажем, что эти определения эквивалентны.

Пусть выполняется определение 1, т.е. один из векторов системы равен линейной комбинации остальных:

Линейная комбинация системы векторов равна нулевому вектору, причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю, т.е. выполняется определение 1´.

Пусть выполняется определение 1´. Линейная комбинация системы векторов равна , причем не все коэффициенты комбинации равны нулю, например, коэффициенты при векторе .

Один из векторов системы мы представили в виде линейной комбинации остальных, т.е. выполняется определение 1.

Определение 2. Единичным вектором, или ортом, называется n-мерный вектор , у которого i -я координата равна единице, а остальные - нулевые.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Теорема 1. Различные единичные векторы n -мерного пространства линейно независимы.

Доказательство. Пусть линейная комбинация этих векторов с произвольными коэффициентами равна нулевому вектору.

Из этого равенства следует, что все коэффициенты равны нулю. Получили противоречие.

Каждый вектор n -мерного пространства ā (а 1 , а 2 , ..., а n ) может быть представлен в виде линейной комбинации единичных векторов с коэффициентами, равными координатам вектора

Теорема 2. Если системы векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Доказательство. Пусть дана система векторов и один из векторов является нулевым, например = . Тогда с векторами данной системы можно составить линейную комбинацию, равную нулевому вектору, причем не все коэффициенты будут нулевыми:

Следовательно, система линейно зависима.

Теорема 3. Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Доказательство. Дана система векторов . Предположим, что система линейно зависима, т.е. найдутся числа с 1 , с 2 , …, с r , не все равные нулю, такие, что = . Тогда

Получилось, что линейная комбинация векторов всей системы равна , причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю. Следовательно, система векторов линейно зависима.

Следствие. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема также линейно независима.

Доказательство.

Предположим противное, т.е. некоторая подсистема линейно зависима. Из теоремы следует, что вся система линейно зависима. Мы пришли к противоречию.

Теорема 4 (теорема Штейница). Если каждый из векторов является линейной комбинацией векторов и m >n , то система векторов линейно зависима.

Следствие. В любой системе n -мерных векторов не может быть больше чем n линейно независимых.

Доказательство. Каждый n -мерный вектор выражается в виде линейной комбинации n единичных векторов. Поэтому, если система содержит m векторов и m >n , то, по теореме, данная система линейно зависима.