წრფივ განტოლებას ორი ცვლადით აქვს ზოგადი ფორმა ax + by + c = 0. მასში a, b და c არის კოეფიციენტები - ზოგიერთი რიცხვი; და x და y არის ცვლადები - უცნობი ნომრებირომ უნდა მოიძებნოს.

ორი ცვლადის მქონე წრფივი განტოლების ამონახსნი არის x და y რიცხვების წყვილი, რომლისთვისაც ax + by + c = 0 არის ჭეშმარიტი ტოლობა.

მოცემულ წრფივ განტოლებას ორ ცვლადში (მაგალითად, 3x + 2y – 1 = 0) აქვს ამონახსნთა სიმრავლე, ანუ რიცხვების წყვილი, რომლებისთვისაც განტოლება მართალია. წრფივი განტოლება ორი ცვლადით გარდაიქმნება y = kx + m ფორმის წრფივ ფუნქციად, რომელიც არის სწორი ხაზი კოორდინატულ სიბრტყეზე. ამ წრფეზე მდებარე ყველა წერტილის კოორდინატები არის ორი ცვლადის წრფივი განტოლების ამონახსნები.

თუ მოცემულია ორი წრფივი განტოლება ax + by + c = 0 და საჭიროა ვიპოვოთ x და y მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც ორივეს ექნება ამონახსნები, მაშინ ჩვენ ვამბობთ, რომ ჩვენ უნდა განტოლებათა სისტემის ამოხსნა. განტოლებათა სისტემა იწერება საერთო ხვეული ფრჩხილის ქვეშ. მაგალითი:

განტოლებათა სისტემას შეიძლება არ ჰქონდეს ერთი ამონახსნი, თუ სწორი ხაზებია შესაბამისი გრაფიკები ხაზოვანი ფუნქციები, არ იკვეთება (ანუ ერთმანეთის პარალელურად). იმისათვის, რომ დავასკვნათ, რომ არ არსებობს ამონახსნი, საკმარისია ორივე წრფივი განტოლება გადავიტანოთ ორი ცვლადით ფორმაში y = kx + m. თუ k არის ერთი და იგივე რიცხვი ორივე განტოლებაში, მაშინ სისტემას არ აქვს ამონახსნები.

თუ განტოლებათა სისტემა აღმოჩნდება, რომ შედგება ორი იდენტური განტოლებისაგან (რაც შეიძლება არ იყოს აშკარა დაუყოვნებლივ, მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ), მაშინ მას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. ამ შემთხვევაში ჩვენ ვსაუბრობთ გაურკვევლობაზე.

ყველა სხვა შემთხვევაში, სისტემას აქვს ერთი გამოსავალი. ეს დასკვნა შეიძლება გამოვიტანოთ იქიდან, რომ ნებისმიერი ორი არაპარალელური წრფე შეიძლება გადაიკვეთოს მხოლოდ ერთ წერტილში. სწორედ ეს გადაკვეთის წერტილი განლაგდება როგორც პირველ ხაზზე, ასევე მეორეზე, ანუ იქნება გამოსავალი როგორც პირველი განტოლებისთვის, ასევე მეორეზე. მაშასადამე, ეს არის განტოლებათა სისტემის ამოხსნა. ამასთან, აუცილებელია განისაზღვროს სიტუაციები, როდესაც გარკვეული შეზღუდვები დაწესებულია x და y მნიშვნელობებზე (ჩვეულებრივ, პრობლემის პირობების მიხედვით). მაგალითად, x > 0, y > 0. ამ შემთხვევაშიც კი, თუ განტოლებათა სისტემას აქვს ამონახსნი, მაგრამ ის არ აკმაყოფილებს პირობას, კეთდება დასკვნა, რომ განტოლებათა სისტემას არ აქვს ამონახსნები მოცემულ პირობებში. .

განტოლებათა სისტემის ამოხსნის სამი გზა არსებობს:

1. შერჩევის მეთოდით. ყველაზე ხშირად ამის გაკეთება ძალიან რთულია.
2. გრაფიკული მეთოდი. როდესაც კოორდინატულ სიბრტყეზე ორი სწორი ხაზი (შესაბამისი განტოლებების ფუნქციების გრაფიკები) დახაზულია და მათი გადაკვეთის წერტილია ნაპოვნი. ამ მეთოდმა შეიძლება არ მოგვცეს ზუსტი შედეგები, თუ გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები წილადი რიცხვებია.
3. ალგებრული მეთოდები. ისინი მრავალმხრივი და საიმედოა.

ინსტრუქციები

დამატების მეთოდი.
თქვენ უნდა დაწეროთ ორი მკაცრად ერთმანეთის ქვემოთ:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
თვითნებურად არჩეულ (სისტემიდან) განტოლებაში ჩასვით რიცხვი 11 უკვე ნაპოვნი „თამაშის“ ნაცვლად და გამოთვალეთ მეორე უცნობი:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
განტოლებათა ამ სისტემის პასუხია x=116, y=11.

გრაფიკული მეთოდი.
იგი შედგება იმ წერტილის კოორდინატების პრაქტიკულად პოვნაში, სადაც ხაზები მათემატიკურად იწერება განტოლებათა სისტემაში. ორივე ხაზის გრაფიკები ცალკე უნდა იყოს დახატული იმავე კოორდინატულ სისტემაში. ზოგადი ხედი: – y=khx+b. სწორი ხაზის ასაგებად საკმარისია ორი წერტილის კოორდინატების პოვნა და x არჩეულია თვითნებურად.
სისტემა მოცემულია: 2x – y=4

Y=-3x+1.
სწორი ხაზი აგებულია პირველის გამოყენებით, მოხერხებულობისთვის უნდა ჩაიწეროს: y=2x-4. გამოიტანეთ (უფრო მარტივი) მნიშვნელობები x-ისთვის, ჩაანაცვლეთ იგი განტოლებაში, ამოხსენით და იპოვეთ y. ვიღებთ ორ წერტილს, რომლის გასწვრივ სწორი ხაზია აგებული. (იხილეთ სურათი)
x 0 1

y -4 -2
სწორი ხაზი აგებულია მეორე განტოლების გამოყენებით: y=-3x+1.
ასევე შექმენით სწორი ხაზი. (იხილეთ სურათი)

y 1 -5
იპოვეთ გრაფიკზე ორი აგებული წრფის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები (თუ წრფეები არ იკვეთება, მაშინ განტოლებათა სისტემას არ აქვს - ასე).

ვიდეო თემაზე

სასარგებლო რჩევა

თუ განტოლებათა ერთი და იგივე სისტემა ამოხსნილია სამით სხვადასხვა გზები, პასუხი იგივე იქნება (თუ გამოსავალი სწორია).

წყაროები:

• მე-8 კლასის ალგებრა
• გადაჭრით განტოლება ორი უცნობით ონლაინ
• სისტემური გადაწყვეტილებების მაგალითები წრფივი განტოლებებიორთან ერთად

სისტემა განტოლებებიარის მათემატიკური ჩანაწერების კრებული, რომელთაგან თითოეული შეიცავს რიგ ცვლადებს. მათი გადაჭრის რამდენიმე გზა არსებობს.

დაგჭირდებათ

• - სახაზავი და ფანქარი;
• - კალკულატორი.

ინსტრუქციები

განვიხილოთ სისტემის ამოხსნის თანმიმდევრობა, რომელიც შედგება წრფივი განტოლებისგან, რომლებსაც აქვთ ფორმა: a1x + b1y = c1 და a2x + b2y = c2. სადაც x და y უცნობი ცვლადებია და b,c თავისუფალი ტერმინებია. ამ მეთოდის გამოყენებისას თითოეული სისტემა წარმოადგენს თითოეული განტოლების შესაბამისი წერტილების კოორდინატებს. დასაწყისისთვის, თითოეულ შემთხვევაში, გამოხატეთ ერთი ცვლადი მეორის თვალსაზრისით. შემდეგ დააყენეთ ცვლადი x ნებისმიერი რაოდენობის მნიშვნელობებზე. ორი საკმარისია. ჩაანაცვლეთ განტოლებაში და იპოვეთ y. შექმენით კოორდინატთა სისტემა, მონიშნეთ მასზე მიღებული წერტილები და გაავლეთ ხაზი მათ შორის. მსგავსი გამოთვლები უნდა განხორციელდეს სისტემის სხვა ნაწილებისთვის.

სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა, თუ აგებული ხაზები იკვეთება და აქვთ ერთი საერთო წერტილი. შეუთავსებელია თუ ერთმანეთის პარალელურია. და მას აქვს უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი, როდესაც ხაზები ერწყმის ერთმანეთს.

ეს მეთოდიითვლება ძალიან ვიზუალურად. მთავარი მინუსი არის ის, რომ გამოთვლილ უცნობებს აქვთ სავარაუდო მნიშვნელობები. უფრო ზუსტ შედეგებს იძლევა ე.წ. ალგებრული მეთოდები.

განტოლებათა სისტემის ნებისმიერი ამონახსნი შესამოწმებელია. ამისათვის შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობები ცვლადებით. თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ მისი გამოსავალი რამდენიმე მეთოდის გამოყენებით. თუ სისტემის გადაწყვეტა სწორია, მაშინ ყველა ერთნაირი უნდა აღმოჩნდეს.

ხშირად არის განტოლებები, რომლებშიც ერთ-ერთი ტერმინი უცნობია. განტოლების ამოსახსნელად, თქვენ უნდა გახსოვდეთ და შეასრულოთ მოქმედებების გარკვეული ნაკრები ამ რიცხვებით.

დაგჭირდებათ

• - ქაღალდი;
• - კალამი ან ფანქარი.

ინსტრუქციები

წარმოიდგინეთ, რომ თქვენს წინ არის 8 კურდღელი, თქვენ კი მხოლოდ 5 სტაფილო გაქვთ. დაფიქრდით, თქვენ მაინც უნდა იყიდოთ მეტი სტაფილო, რათა თითოეულმა კურდღელმა მიიღოს ერთი.

წარმოვადგინოთ ეს პრობლემა განტოლების სახით: 5 + x = 8. ჩავანაცვლოთ რიცხვი 3, მართლაც, 5 + 3 = 8.

როდესაც თქვენ ჩაანაცვლეთ რიცხვი x-ით, თქვენ გააკეთეთ იგივე, რაც 8-ს გამოაკლოთ 5. ასე რომ, იპოვეთ უცნობივადა, გამოაკელი ცნობილი ტერმინი ჯამს.

ვთქვათ, გყავთ 20 კურდღელი და მხოლოდ 5 სტაფილო. მოდი შევადგინოთ. განტოლება არის თანასწორობა, რომელიც მოქმედებს მხოლოდ მასში შემავალი ასოების გარკვეულ მნიშვნელობებზე. ასოები, რომელთა მნიშვნელობის პოვნაა საჭირო, ეწოდება . დაწერეთ განტოლება ერთი უცნობით, დავარქვით x. ჩვენი კურდღლის ამოცანის ამოხსნისას ვიღებთ შემდეგ განტოლებას: 5 + x = 20.

ვიპოვოთ განსხვავება 20-სა და 5-ს შორის. გამოკლებისას ის რიცხვი, რომელსაც აკლებს, არის ის, რაც მცირდება. რიცხვს, რომელიც გამოკლებულია, ეწოდება , ხოლო საბოლოო შედეგს სხვაობა. ასე რომ, x = 20 – 5; x = 15. კურდღლისთვის უნდა იყიდოთ 15 სტაფილო.

შეამოწმეთ: 5 + 15 = 20. განტოლება ამოხსნილია სწორად. რა თქმა უნდა, როდის ჩვენ ვსაუბრობთასეთი უბრალოების შესახებ, არ არის აუცილებელი შემოწმების ჩატარება. თუმცა, როცა გაქვთ განტოლებები სამნიშნა, ოთხნიშნა და ა.შ. რიცხვებით, აუცილებლად უნდა გადაამოწმოთ, რომ აბსოლუტურად დარწმუნებული იყოთ თქვენი მუშაობის შედეგში.

ვიდეო თემაზე

სასარგებლო რჩევა

უცნობი მინუენდის საპოვნელად, განსხვავებას უნდა დაამატოთ სუბტრაჰენდი.

უცნობი სუბტრაჰენდის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ განსხვავება მინუენდს.

რჩევა 4: როგორ ამოხსნათ სამი განტოლების სისტემა სამი უცნობით

სამი უცნობის მქონე სამი განტოლების სისტემას შეიძლება არ ჰქონდეს ამონახსნები, მიუხედავად განტოლებების საკმარისი რაოდენობისა. შეგიძლიათ სცადოთ მისი გადაჭრა ჩანაცვლების მეთოდით ან კრამერის მეთოდით. კრამერის მეთოდი, სისტემის ამოხსნის გარდა, საშუალებას გაძლევთ შეაფასოთ არის თუ არა სისტემა ამოსახსნელი უცნობის მნიშვნელობების პოვნამდე.

ინსტრუქციები

ჩანაცვლების მეთოდი შედგება თანმიმდევრული თანმიმდევრობით ერთი უცნობისაგან ორი სხვას მეშვეობით და შედეგად მიღებული შედეგის ჩანაცვლება სისტემის განტოლებებში. მიეცით სამი განტოლების სისტემა ზოგადი ხედი:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

გამოხატეთ x პირველი განტოლებიდან: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - და ჩაანაცვლეთ მეორე და მესამე განტოლებაში, შემდეგ გამოხატეთ y მეორე განტოლებიდან და ჩაანაცვლეთ მესამეში. სისტემური განტოლებების კოეფიციენტების მეშვეობით მიიღებთ z-ის წრფივ გამოხატულებას. ახლა გადადით „უკან“: ჩაანაცვლეთ z მეორე განტოლებაში და იპოვეთ y, შემდეგ კი შეცვალეთ z და y პირველში და ამოხსენით x. პროცესი ზოგადად ნაჩვენებია სურათზე z-ის პოვნამდე. შემდგომი წერა ზოგადი ფორმით ძალიან რთული იქნება პრაქტიკაში, ჩანაცვლებით, შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ სამივე უცნობი.

კრამერის მეთოდი შედგება სისტემური მატრიცის აგებისა და ამ მატრიცის განმსაზღვრელი, ისევე როგორც კიდევ სამი დამხმარე მატრიცის გამოთვლისგან. სისტემის მატრიცა შედგება კოეფიციენტებისგან განტოლებების უცნობი ტერმინებისთვის. სვეტი, რომელიც შეიცავს განტოლებების მარჯვენა მხარეს არსებულ რიცხვებს, მარჯვენა გვერდების სვეტს. ის არ გამოიყენება სისტემაში, მაგრამ გამოიყენება სისტემის ამოხსნისას.

ვიდეო თემაზე

შენიშვნა

სისტემის ყველა განტოლება უნდა უზრუნველყოს დამატებითი ინფორმაცია სხვა განტოლებისგან დამოუკიდებლად. წინააღმდეგ შემთხვევაში, სისტემა არასაკმარისად იქნება განსაზღვრული და ცალსახა გადაწყვეტის პოვნა შეუძლებელია.

სასარგებლო რჩევა

განტოლებათა სისტემის ამოხსნის შემდეგ, ნაპოვნი მნიშვნელობები ჩაანაცვლეთ თავდაპირველ სისტემაში და შეამოწმეთ, რომ ისინი აკმაყოფილებენ ყველა განტოლებას.

Თავისით განტოლებასამთან ერთად უცნობიაქვს მრავალი ამონახსნი, ამიტომ ყველაზე ხშირად მას ავსებს კიდევ ორი ​​განტოლება ან პირობა. დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა არის საწყისი მონაცემები, გადაწყვეტილების კურსი დიდწილად იქნება დამოკიდებული.

დაგჭირდებათ

• - სამი განტოლების სისტემა სამი უცნობით.

ინსტრუქციები

თუ სამი სისტემიდან ორს აქვს სამი უცნობიდან მხოლოდ ორი, შეეცადეთ გამოხატოთ ზოგიერთი ცვლადი სხვების მიხედვით და ჩაანაცვლოთ ისინი განტოლებასამთან ერთად უცნობი. თქვენი მიზანი ამ შემთხვევაში არის მისი ნორმალურად გადაქცევა განტოლებაუცნობ ადამიანთან ერთად. თუ ეს ასეა, შემდგომი გამოსავალი საკმაოდ მარტივია - შეცვალეთ ნაპოვნი მნიშვნელობა სხვა განტოლებით და იპოვეთ ყველა სხვა უცნობი.

განტოლებათა ზოგიერთი სისტემა შეიძლება გამოკლდეს ერთ განტოლებას მეორეზე. ნახეთ, შესაძლებელია თუ არა ერთი ან ცვლადის გამრავლება ისე, რომ ორი უცნობი ერთდროულად გაუქმდეს. თუ არსებობს ასეთი შესაძლებლობა, ისარგებლეთ დიდი ალბათობით, შემდგომი გამოსავალი არ იქნება რთული. ნუ დაგავიწყდებათ, რომ რიცხვზე გამრავლებისას თქვენ უნდა გაამრავლოთ როგორც მარცხენა მხარე, და სწორი. ანალოგიურად, განტოლებების გამოკლებისას უნდა გახსოვდეთ, რომ მარჯვენა მხარეც უნდა გამოკლდეს.

თუ წინა მეთოდები არ დაეხმარა, გამოიყენეთ ზოგადადსამის ნებისმიერი განტოლების ამონახსნები უცნობი. ამისათვის გადაწერეთ განტოლებები a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 სახით. ახლა შექმენით კოეფიციენტების მატრიცა x-სთვის (A), უცნობის მატრიცა (X) და თავისუფალითა მატრიცა (B). გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ კოეფიციენტების მატრიცის გამრავლებით უცნობთა მატრიცაზე მიიღებთ თავისუფალი ტერმინების მატრიცას, ანუ A*X=B.

იპოვნეთ მატრიცა A სიმძლავრის (-1) პირველი პოვნის საშუალებით, გაითვალისწინეთ, რომ ის არ უნდა იყოს ნულის ტოლი. ამის შემდეგ მიღებული მატრიცა გაამრავლეთ B მატრიცით, შედეგად მიიღებთ სასურველ X მატრიცას, ყველა მნიშვნელობის მითითებით.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ გამოსავალი სამი განტოლებისგან შემდგარი სისტემისთვის კრამერის მეთოდით. ამისათვის იპოვეთ მესამე რიგის განმსაზღვრელი Δ, რომელიც შეესაბამება სისტემის მატრიცას. შემდეგ თანმიმდევრულად იპოვნეთ კიდევ სამი განმსაზღვრელი ∆1, ∆2 და ∆3, ჩაანაცვლეთ თავისუფალი ტერმინების მნიშვნელობები შესაბამისი სვეტების მნიშვნელობების ნაცვლად. ახლა იპოვეთ x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

წყაროები:

• სამი უცნობის მქონე განტოლების ამონახსნები

განტოლებათა სისტემის ამოხსნისას გაარკვიეთ რა სახის განტოლებებია ისინი. საკმაოდ კარგად არის შესწავლილი წრფივი განტოლებების ამოხსნის მეთოდები. არაწრფივი განტოლებები ყველაზე ხშირად არ წყდება. არსებობს მხოლოდ ერთი განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელთაგან თითოეული პრაქტიკულად ინდივიდუალურია. ამიტომ ამოხსნის ტექნიკის შესწავლა უნდა დაიწყოს წრფივი განტოლებებით. ასეთი განტოლებები შეიძლება გადაწყდეს მხოლოდ ალგორითმულად.

ინსტრუქციები

დაიწყეთ სწავლის პროცესი იმით, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ორი წრფივი განტოლების სისტემა ორი უცნობით X და Y ამოღებით. a11*X+a12*Y=b1 (1); a21*X+a22*Y=b2 (2). განტოლებების კოეფიციენტები მითითებულია მათი მდებარეობის აღმნიშვნელი ინდექსებით. ამრიგად, კოეფიციენტი a21 ხაზს უსვამს იმ ფაქტს, რომ იგი პირველ ადგილზეა დაწერილი მეორე განტოლებაში. ზოგადად მიღებული აღნიშვნით, სისტემა იწერება განტოლებებით, რომლებიც მდებარეობს ერთმანეთის ქვემოთ და ერთობლივად აღინიშნება ხვეული ფრჩხილით მარჯვნივ ან მარცხნივ (დაწვრილებით იხილეთ ნახ. 1a).

განტოლებების ნუმერაცია თვითნებურია. აირჩიეთ უმარტივესი, მაგალითად, როდესაც ერთ-ერთ ცვლადს წინ უსწრებს კოეფიციენტი 1 ან თუნდაც მთელი რიცხვი. თუ ეს არის განტოლება (1), შემდეგ გამოთქვით, ვთქვათ, უცნობი Y X-ის მიხედვით (Y-ის გამორიცხვის შემთხვევა). ამისათვის გადააქციეთ (1) ფორმაში a12*Y=b1-a11*X (ან a11*X=b1-a12*Y X-ის გამორიცხვისას) და შემდეგ Y=(b1-a11*X)/a12 . ამ უკანასკნელის ჩანაცვლებით (2) განტოლებით ჩაწერეთ a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2. ამოხსენით ეს განტოლება X-სთვის.
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) ან X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21).
Y-სა და X-ს შორის ნაპოვნი კავშირის გამოყენებით, თქვენ საბოლოოდ მიიღებთ მეორე უცნობს Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21).

თუ სისტემა მითითებული იქნებოდა კონკრეტული რიცხვითი კოეფიციენტებით, მაშინ გამოთვლები ნაკლებად რთული იქნებოდა. მაგრამ ზოგადი გადაწყვეტა შესაძლებელს ხდის განიხილოს ის ფაქტი, რომ ნაპოვნი უცნობები ზუსტად იგივეა. დიახ, და მრიცხველები აჩვენებენ რამდენიმე შაბლონს მათ კონსტრუქციაში. თუ განტოლებათა სისტემის განზომილება ორზე მეტი იქნებოდა, მაშინ აღმოფხვრის მეთოდი გამოიწვევს ძალიან რთულ გამოთვლებს. მათ თავიდან ასაცილებლად, შემუშავებულია წმინდა ალგორითმული გადაწყვეტილებები. მათგან უმარტივესი არის კრამერის ალგორითმი (კრამერის ფორმულები). რადგან თქვენ უნდა გაარკვიოთ ზოგადი სისტემაგანტოლებები n განტოლებიდან.

n წრფივი ალგებრული განტოლების სისტემას n უცნობით აქვს ფორმა (იხ. სურ. 1ა). მასში aij არის სისტემის კოეფიციენტები,
xj – უცნობი, ბი – თავისუფალი ტერმინები (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). ასეთი სისტემა შეიძლება კომპაქტურად დაიწეროს მატრიცული ფორმით AX=B. აქ A არის სისტემის კოეფიციენტების მატრიცა, X არის უცნობი უცნობის სვეტის მატრიცა, B არის თავისუფალი ტერმინების სვეტის მატრიცა (იხ. სურათი 1b). კრამერის მეთოდის მიხედვით, თითოეული უცნობი xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). კოეფიციენტთა მატრიცის განმსაზღვრელ Δს ეწოდება მთავარი, ხოლო ∆i - დამხმარე. ყოველი უცნობისთვის, დამხმარე განმსაზღვრელი იპოვება მთავარი განმსაზღვრელი i-ე სვეტის თავისუფალი ტერმინების სვეტით ჩანაცვლებით. კრამერის მეთოდი მეორე და მესამე რიგის სისტემების შემთხვევაში დეტალურად არის წარმოდგენილი ნახ. 2.

სისტემა არის ორი ან მეტი თანასწორობის კომბინაცია, რომელთაგან თითოეული შეიცავს ორ ან მეტ უცნობს. არსებობს წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის ორი ძირითადი გზა, რომლებიც გამოიყენება შიგნით სკოლის სასწავლო გეგმა. ერთ მათგანს მეთოდს უწოდებენ, მეორეს - დამატების მეთოდს.

ორი განტოლების სისტემის სტანდარტული ფორმა

ზე სტანდარტული ფორმაპირველ განტოლებას აქვს ფორმა a1*x+b1*y=c1, მეორე განტოლებას აქვს ფორმა a2*x+b2*y=c2 და ა.შ. მაგალითად, სისტემის ორი ნაწილის შემთხვევაში, ორივე მოცემული a1, a2, b1, b2, c1, c2 არის გარკვეული რიცხვითი კოეფიციენტები, რომლებიც წარმოდგენილია კონკრეტულ განტოლებებში. თავის მხრივ, x და y წარმოადგენს უცნობებს, რომელთა მნიშვნელობები უნდა განისაზღვროს. საჭირო მნიშვნელობები ორივე განტოლებას ერთდროულად აქცევს ნამდვილ თანასწორებად.

სისტემის ამოხსნა დამატების მეთოდის გამოყენებით

სისტემის გადასაჭრელად, ანუ x-ისა და y-ის იმ მნიშვნელობების პოვნა, რომლებიც მათ ნამდვილ თანასწორებად გადააქცევს, თქვენ უნდა გადადგათ რამდენიმე მარტივი ნაბიჯი. პირველი მათგანი არის რომელიმე განტოლების გარდაქმნა ისე, რომ x ან y ცვლადის რიცხვითი კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში იყოს იგივე სიდიდით, მაგრამ განსხვავებული ნიშნით.

მაგალითად, ვთქვათ, მოცემულია სისტემა, რომელიც შედგება ორი განტოლებისგან. მათგან პირველს აქვს ფორმა 2x+4y=8, მეორეს აქვს ფორმა 6x+2y=6. დავალების შესრულების ერთ-ერთი ვარიანტია მეორე განტოლების გამრავლება -2 კოეფიციენტზე, რომელიც მიგვიყვანს ფორმამდე -12x-4y=-12. კოეფიციენტის სწორი არჩევანი არის ერთ-ერთი მთავარი ამოცანა სისტემის ამოხსნის პროცესში დამატების მეთოდის გამოყენებით, რადგან ის განსაზღვრავს უცნობების პოვნის პროცედურის მთელ შემდგომ კურსს.

ახლა აუცილებელია სისტემის ორი განტოლების დამატება. ცხადია, ცვლადების ორმხრივი განადგურება მნიშვნელობით ტოლი, მაგრამ საპირისპირო ნიშნით კოეფიციენტებით გამოიწვევს ფორმას -10x=-4. ამის შემდეგ აუცილებელია ამ მარტივი განტოლების ამოხსნა, საიდანაც ნათლად ჩანს, რომ x = 0.4.

გადაწყვეტის პროცესის ბოლო ნაბიჯი არის ერთ-ერთი ცვლადის ნაპოვნი მნიშვნელობის ჩანაცვლება სისტემაში არსებული ნებისმიერი ორიგინალური თანასწორობით. მაგალითად, x=0.4 ჩანაცვლებით პირველ განტოლებაში, შეგიძლიათ მიიღოთ გამოხატულება 2*0.4+4y=8, საიდანაც y=1.8. ამრიგად, x=0.4 და y=1.8 არის მაგალითი სისტემის ფესვები.

იმისათვის, რომ დარწმუნდეთ, რომ ფესვები სწორად იქნა ნაპოვნი, სასარგებლოა მისი შემოწმება სისტემის მეორე განტოლებაში ნაპოვნი მნიშვნელობების ჩანაცვლებით. მაგალითად, ამ შემთხვევაში ვიღებთ 0.4*6+1.8*2=6 ფორმის ტოლობას, რაც სწორია.

ვიდეო თემაზე

განტოლებათა სისტემები ფართოდ გამოიყენება ეკონომიკურ სექტორში სხვადასხვა პროცესის მათემატიკური მოდელირებისთვის. მაგალითად, წარმოების მართვისა და დაგეგმვის, ლოგისტიკური მარშრუტების (ტრანსპორტის პრობლემა) ან აღჭურვილობის განთავსების პრობლემების გადაჭრისას.

განტოლებათა სისტემები გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ ფიზიკაში, ქიმიასა და ბიოლოგიაში, მოსახლეობის ზომის პოვნის ამოცანების გადაჭრისას.

წრფივი განტოლებათა სისტემა არის ორი ან მეტი განტოლება რამდენიმე ცვლადით, რისთვისაც საჭიროა საერთო ამოხსნის პოვნა. რიცხვების ისეთი თანმიმდევრობა, რომლისთვისაც ყველა განტოლება ხდება ჭეშმარიტი თანასწორობა ან ამტკიცებს, რომ მიმდევრობა არ არსებობს.

წრფივი განტოლება

ax+by=c ფორმის განტოლებებს წრფივი ეწოდება. აღნიშვნები x, y არის უცნობი, რომლის მნიშვნელობაც უნდა მოიძებნოს, b, a არის ცვლადების კოეფიციენტები, c არის განტოლების თავისუფალი წევრი.
განტოლების ამოხსნა მისი შედგენით სწორ ხაზს წააგავს, რომლის ყველა წერტილი მრავალწევრის ამონახსნებია.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ტიპები

უმარტივეს მაგალითებად ითვლება წრფივი განტოლებათა სისტემები ორი ცვლადით X და Y.

F1(x, y) = 0 და F2(x, y) = 0, სადაც F1,2 არის ფუნქციები და (x, y) ფუნქციის ცვლადები.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა - ეს ნიშნავს მნიშვნელობების (x, y) პოვნას, რომლებშიც სისტემა გადაიქცევა ნამდვილ თანასწორობად ან დადგინდეს, რომ შესაფერისი ღირებულებები x და y არ არსებობს.

მნიშვნელობების წყვილს (x, y), დაწერილი როგორც წერტილის კოორდინატები, ეწოდება ამონახსნი წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის.

თუ სისტემებს აქვთ ერთი საერთო გამოსავალი ან არ არსებობს, მათ ექვივალენტი ეწოდება.

წრფივი განტოლებების ჰომოგენური სისტემები არის სისტემები, რომელთა მარჯვენა მხარე ნულის ტოლია. თუ ტოლობის ნიშნის შემდეგ მარჯვენა ნაწილს აქვს მნიშვნელობა ან გამოიხატება ფუნქციით, ასეთი სისტემა ჰეტეროგენულია.

ცვლადების რაოდენობა შეიძლება იყოს ორზე ბევრად მეტი, მაშინ უნდა ვისაუბროთ ხაზოვანი განტოლების სისტემის მაგალითზე სამი ან მეტი ცვლადით.

სისტემებთან შეხვედრისას სკოლის მოსწავლეები თვლიან, რომ განტოლებების რაოდენობა აუცილებლად უნდა ემთხვეოდეს უცნობთა რაოდენობას, მაგრამ ეს ასე არ არის. განტოლებათა რაოდენობა სისტემაში არ არის დამოკიდებული ცვლადებზე, შეიძლება იყოს იმდენი, რამდენიც სასურველია.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მარტივი და რთული მეთოდები

ასეთი სისტემების გადაჭრის ზოგადი ანალიტიკური მეთოდი არ არსებობს. სასკოლო მათემატიკის კურსი დეტალურად აღწერს ისეთ მეთოდებს, როგორიცაა პერმუტაცია, ალგებრული შეკრება, ჩანაცვლება, ასევე გრაფიკული და მატრიცული მეთოდები, ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

გადაწყვეტის მეთოდების სწავლებისას მთავარი ამოცანაა ასწავლოს სისტემის სწორად გაანალიზება და პოვნა ოპტიმალური ალგორითმიგადაწყვეტილებები თითოეული მაგალითისთვის. მთავარია არა თითოეული მეთოდისთვის წესების და მოქმედებების სისტემის დამახსოვრება, არამედ კონკრეტული მეთოდის გამოყენების პრინციპების გაგება.

მე-7 კლასის პროგრამის წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა საშუალო სკოლასაკმაოდ მარტივი და დეტალურად ახსნილი. მათემატიკის ნებისმიერ სახელმძღვანელოში ამ განყოფილებას საკმარისი ყურადღება ეთმობა. წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა გაუსის და კრამერის მეთოდით უფრო დეტალურად არის შესწავლილი უმაღლესი განათლების პირველ წლებში.

სისტემების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

ჩანაცვლების მეთოდის მოქმედებები მიზნად ისახავს ერთი ცვლადის მნიშვნელობის გამოხატვას მეორის მიხედვით. გამოთქმა ჩანაცვლებულია დარჩენილ განტოლებაში, შემდეგ ის მცირდება ფორმაში ერთი ცვლადით. მოქმედება მეორდება სისტემაში უცნობის რაოდენობის მიხედვით

მოდით მივცეთ ამონახსნი მე-7 კლასის წრფივი განტოლებების სისტემის მაგალითზე ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებით:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, x ცვლადი გამოიხატა F(X) = 7 + Y-ით. შედეგად მიღებული გამოხატულება, რომელიც ჩანაცვლებულია სისტემის მე-2 განტოლებაში X-ის ნაცვლად, დაეხმარა მე-2 განტოლებაში ერთი ცვლადის Y მიღებაში. . გამოსავალი ეს მაგალითიარ იწვევს სირთულეებს და საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ Y მნიშვნელობა. ბოლო ნაბიჯი არის მიღებული მნიშვნელობების შემოწმება.

ყოველთვის არ არის შესაძლებელი წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითის ამოხსნა ჩანაცვლებით. განტოლებები შეიძლება იყოს რთული და ცვლადის გამოხატვა მეორე უცნობის მიხედვით ზედმეტად რთული იქნება შემდგომი გამოთვლებისთვის. როდესაც სისტემაში 3-ზე მეტი უცნობია, ჩანაცვლებით ამოხსნაც შეუსაბამოა.

წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებების სისტემის მაგალითის ამოხსნა:

ამოხსნა ალგებრული შეკრების გამოყენებით

შეკრების მეთოდის გამოყენებით სისტემების ამონახსნების ძიებისას, ისინი ასრულებენ ტერმინებით შეკრებას და განტოლებების გამრავლებას. სხვადასხვა ნომრები. საბოლოო მიზანი მათემატიკური ოპერაციებიარის განტოლება ერთი ცვლადით.

ამ მეთოდის გამოყენება მოითხოვს პრაქტიკას და დაკვირვებას. წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეკრების მეთოდით, როცა 3 ან მეტი ცვლადია, ადვილი არ არის. ალგებრული შეკრება მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, როდესაც განტოლებები შეიცავს წილადებსა და ათწილადებს.

გადაწყვეტის ალგორითმი:

1. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე გარკვეულ რიცხვზე. არითმეტიკული მოქმედების შედეგად ცვლადის ერთ-ერთი კოეფიციენტი 1-ის ტოლი უნდა გახდეს.
2. დაამატეთ მიღებული გამოთქმა ტერმინით და იპოვნეთ ერთ-ერთი უცნობი.
3. შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა სისტემის მე-2 განტოლებაში, რათა იპოვოთ დარჩენილი ცვლადი.

ამოხსნის მეთოდი ახალი ცვლადის შემოღებით

ახალი ცვლადის შემოღება შესაძლებელია, თუ სისტემა მოითხოვს ამოხსნის პოვნას არაუმეტეს ორი განტოლებისათვის.

მეთოდი გამოიყენება ერთ-ერთი განტოლების გასამარტივებლად ახალი ცვლადის შემოღებით. ახალი განტოლება ამოხსნილია შემოღებული უცნობისთვის და მიღებული მნიშვნელობა გამოიყენება ორიგინალური ცვლადის დასადგენად.

მაგალითი გვიჩვენებს, რომ ახალი t ცვლადის შემოღებით შესაძლებელი გახდა სისტემის 1-ლი განტოლების შემცირება სტანდარტულ კვადრატულ ტრინომამდე. თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ მრავალწევრი დისკრიმინანტის მოძიებით.

აუცილებელია დისკრიმინანტის მნიშვნელობის პოვნა ცნობილი ფორმულის გამოყენებით: D = b2 - 4*a*c, სადაც D არის სასურველი დისკრიმინანტი, b, a, c არის მრავალწევრის ფაქტორები. მოცემულ მაგალითში a=1, b=16, c=39, შესაბამისად D=100. თუ დისკრიმინანტი ნულზე მეტია, მაშინ არსებობს ორი ამონახსნი: t = -b±√D / 2*a, თუ დისკრიმინანტი ნაკლებია ნულზე, მაშინ არის ერთი ამონახსნი: x = -b / 2*a.

შედეგად მიღებული სისტემების გამოსავალი ნაპოვნია დამატების მეთოდით.

სისტემების ამოხსნის ვიზუალური მეთოდი

ვარგისია 3 განტოლების სისტემისთვის. მეთოდი არის აშენება კოორდინატთა ღერძისისტემაში შემავალი თითოეული განტოლების გრაფიკები. მრუდების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები იქნება სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა.

გრაფიკულ მეთოდს აქვს მთელი რიგი ნიუანსი. მოდით შევხედოთ წრფივი განტოლებების სისტემების ვიზუალურად ამოხსნის რამდენიმე მაგალითს.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, თითოეული ხაზისთვის აშენდა ორი წერტილი, თვითნებურად აირჩიეს x ცვლადის მნიშვნელობები: 0 და 3. x-ის მნიშვნელობების საფუძველზე, ნაპოვნი იქნა y-ის მნიშვნელობები: 3 და 0. წერტილები (0, 3) და (3, 0) კოორდინატებით დაფიქსირდა გრაფიკზე და იყო დაკავშირებული ხაზით.

ნაბიჯები უნდა განმეორდეს მეორე განტოლებისთვის. ხაზების გადაკვეთის წერტილი არის სისტემის ამოხსნა.

შემდეგი მაგალითი მოითხოვს პოვნას გრაფიკული გადაწყვეტაწრფივი განტოლებათა სისტემები: 0.5x-y+2=0 და 0.5x-y-1=0.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, სისტემას არ აქვს გამოსავალი, რადგან გრაფიკები პარალელურია და არ იკვეთება მთელ სიგრძეზე.

2 და 3 მაგალითების სისტემები მსგავსია, მაგრამ აგებისას აშკარა ხდება, რომ მათი გადაწყვეტილებები განსხვავებულია. უნდა გვახსოვდეს, რომ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი იმის თქმა, აქვს თუ არა სისტემას გამოსავალი, ყოველთვის აუცილებელია გრაფიკის აგება.

მატრიცა და მისი ჯიშები

მატრიცები გამოიყენება წრფივი განტოლებათა სისტემის მოკლედ დასაწერად. მატრიცა არის სპეციალური ტიპის ცხრილი, რომელიც ივსება ციფრებით. n*m აქვს n - სტრიქონი და m - სვეტები.

მატრიცა არის კვადრატი, როდესაც სვეტების და რიგების რაოდენობა ტოლია. მატრიცა-ვექტორი არის ერთი სვეტის მატრიცა მწკრივების უსასრულოდ შესაძლო რაოდენობით. მატრიცას, რომლის ერთეულებია ერთ-ერთი დიაგონალის და სხვა ნულოვანი ელემენტების გასწვრივ, იდენტურობა ეწოდება.

ინვერსიული მატრიცა არის მატრიცა, როდესაც გამრავლებულია, რომლითაც ორიგინალი იქცევა ერთეულ მატრიცაში, არსებობს მხოლოდ თავდაპირველი კვადრატისთვის.

განტოლებათა სისტემის მატრიცად გადაქცევის წესები

განტოლებათა სისტემებთან მიმართებაში განტოლებების კოეფიციენტები და თავისუფალი წევრები იწერება როგორც მატრიცული რიცხვები;

მატრიცის მწკრივი არ არის ნულოვანი, თუ მწკრივის ერთი ელემენტი მაინც არ არის ნული. მაშასადამე, თუ რომელიმე განტოლებაში ცვლადების რაოდენობა განსხვავდება, მაშინ აუცილებელია ნულის შეყვანა გამოტოვებული უცნობის ნაცვლად.

მატრიცის სვეტები მკაცრად უნდა შეესაბამებოდეს ცვლადებს. ეს ნიშნავს, რომ x ცვლადის კოეფიციენტები შეიძლება ჩაიწეროს მხოლოდ ერთ სვეტში, მაგალითად პირველი, უცნობი y-ის კოეფიციენტი - მხოლოდ მეორეში.

მატრიცის გამრავლებისას მატრიცის ყველა ელემენტი თანმიმდევრულად მრავლდება რიცხვზე.

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ვარიანტები

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ფორმულა საკმაოდ მარტივია: K -1 = 1 / |K|, სადაც K -1 არის შებრუნებული მატრიცა და |K| არის მატრიცის განმსაზღვრელი. |კ| არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, მაშინ სისტემას აქვს გამოსავალი.

განმსაზღვრელი ადვილად გამოითვლება ორ-ორ მატრიცისთვის, თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ დიაგონალური ელემენტები ერთმანეთზე. „სამი სამზე“ ვარიანტისთვის არის ფორმულა |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა, ან გახსოვდეთ, რომ თქვენ უნდა აიღოთ ერთი ელემენტი თითოეული მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან ისე, რომ სვეტების და ელემენტების მწკრივების რაოდენობა არ განმეორდეს ნამუშევარში.

ხაზოვანი განტოლების სისტემების მაგალითების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით

ამოხსნის მატრიცული მეთოდი საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ უხერხული ჩანაწერები სისტემების ამოხსნისას დიდი თანხაცვლადები და განტოლებები.

მაგალითში a nm არის განტოლებების კოეფიციენტები, მატრიცა არის ვექტორი x n არის ცვლადები და b n არის თავისუფალი ტერმინები.

სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით

უმაღლეს მათემატიკაში კრამერის მეთოდთან ერთად სწავლობენ გაუსის მეთოდს, ხოლო სისტემების ამონახსნების ძიების პროცესს ეწოდება გაუს-კრამერის ამოხსნის მეთოდი. ეს მეთოდები გამოიყენება საპოვნელად ცვლადი სისტემებიწრფივი განტოლებების დიდი რაოდენობით.

გაუსის მეთოდი ძალიან ჰგავს ამონახსნებს ჩანაცვლებით და ალგებრული მიმატებით, მაგრამ უფრო სისტემატურია. სასკოლო კურსში გაუსის მეთოდით ამონახსნები გამოიყენება 3 და 4 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდის მიზანია სისტემის შემცირება ინვერსიული ტრაპეციის სახით. ალგებრული გარდაქმნებისა და ჩანაცვლების საშუალებით სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში გვხვდება ერთი ცვლადის მნიშვნელობა. მეორე განტოლება არის გამოხატულება 2 უცნობით, ხოლო 3 და 4 არის, შესაბამისად, 3 და 4 ცვლადით.

სისტემის აღწერილ ფორმამდე მიყვანის შემდეგ, შემდგომი ამოხსნა მცირდება ცნობილი ცვლადების თანმიმდევრულ ჩანაცვლებამდე სისტემის განტოლებებში.

მე-7 კლასის სასკოლო სახელმძღვანელოებში, გაუსის მეთოდით ამოხსნის მაგალითი აღწერილია შემდეგნაირად:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, საფეხურზე (3) მიიღეს ორი განტოლება: 3x 3 -2x 4 =11 და 3x 3 +2x 4 =7. რომელიმე განტოლების ამოხსნა საშუალებას მოგცემთ გაარკვიოთ x ​​n-ის ერთ-ერთი ცვლადი.

მე-5 თეორემა, რომელიც ტექსტშია ნახსენები, წერს, რომ თუ სისტემის ერთ-ერთი განტოლება შეიცვალა ეკვივალენტით, მაშინ მიღებული სისტემაც ორიგინალის ეკვივალენტური იქნება.

გაუსის მეთოდი სტუდენტებისთვის რთული გასაგებია უმაღლესი სკოლა, მაგრამ ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო გზებიმათემატიკისა და ფიზიკის კლასებში გაღრმავებულ სასწავლო პროგრამებზე ჩარიცხული ბავშვების გამომგონებლობის განვითარება.

ჩაწერის გამარტივებისთვის, გამოთვლები ჩვეულებრივ კეთდება შემდეგნაირად:

განტოლებების და თავისუფალი ტერმინების კოეფიციენტები იწერება მატრიცის სახით, სადაც მატრიცის თითოეული მწკრივი შეესაბამება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებას. გამოყოფს განტოლების მარცხენა მხარეს მარჯვნიდან. რომაული ციფრები მიუთითებს სისტემაში განტოლებათა რაოდენობაზე.

ჯერ ჩაწერეთ მატრიცა, რომლითაც უნდა იმუშავოთ, შემდეგ კი ყველა მოქმედება, რომელიც შესრულებულია ერთ-ერთი მწკრივით. შედეგად მიღებული მატრიცა იწერება "ისრის" ნიშნის შემდეგ და საჭირო ალგებრული ოპერაციები გრძელდება შედეგის მიღწევამდე.

შედეგი უნდა იყოს მატრიცა, რომელშიც ერთ-ერთი დიაგონალი უდრის 1-ს, ხოლო ყველა სხვა კოეფიციენტი ნულის ტოლია, ანუ მატრიცა მცირდება ერთეულ ფორმამდე. არ უნდა დაგვავიწყდეს გამოთვლების შესრულება განტოლების ორივე მხარეს რიცხვებით.

ჩაწერის ეს მეთოდი ნაკლებად შრომატევადია და საშუალებას გაძლევთ არ გადაიტანოთ ყურადღება მრავალი უცნობის ჩამოთვლით.

ნებისმიერი გადაწყვეტის მეთოდის უფასო გამოყენება მოითხოვს ზრუნვას და გარკვეულ გამოცდილებას. ყველა მეთოდი არ არის გამოყენებული. გადაწყვეტილებების პოვნის ზოგიერთი მეთოდი უფრო სასურველია ადამიანის საქმიანობის კონკრეტულ სფეროში, ზოგი კი საგანმანათლებლო მიზნებისთვის არსებობს.

ჩვენ უკვე ვიცნობთ კონცეფციას წრფივი განტოლება ორი უცნობით. განტოლებები შეიძლება იყოს ერთ პრობლემაში ცალკე ან რამდენიმე განტოლებაში ერთდროულად. ასეთ შემთხვევებში, განტოლებები გაერთიანებულია განტოლებათა სისტემაში.

რა არის წრფივი განტოლებათა სისტემა

განტოლებათა სისტემა- ეს არის ორი ან მეტი განტოლება, რომლებისთვისაც აუცილებელია მათი ყველა საერთო ამონახსნის პოვნა. ჩვეულებრივ, განტოლებათა სისტემის დასაწერად, ისინი იწერება სვეტში და იწერება ერთი საერთო ხვეული ფრჩხილი. ქვემოთ მოცემულია წრფივი განტოლებების სისტემის ჩანაწერი.

(4x + 3y = 6
(2x + y = 4

ეს ჩანაწერი ნიშნავს, რომ მოცემულია ორი განტოლების სისტემა ორი ცვლადით. სისტემაში სამი განტოლება რომ იყოს, მაშინ ვისაუბრებდით სამი განტოლების სისტემაზე. და ასე შემდეგ ნებისმიერი რაოდენობის განტოლებისთვის.

თუ სისტემაში არსებული ყველა განტოლება წრფივია, მაშინ ჩვენ ვამბობთ, რომ მოცემულია წრფივი განტოლებათა სისტემა. ზემოთ მოცემულ მაგალითში წარმოდგენილია ორი წრფივი განტოლების სისტემა. როგორც ზემოთ აღინიშნა, სისტემას შეიძლება ჰქონდეს ზოგადი გადაწყვეტილებები. ტერმინ „ზოგად გადაწყვეტაზე“ ქვემოთ ვისაუბრებთ.

Რა არის გამოსავალი?

ორი უცნობის მქონე ორი განტოლების სისტემის ამონახსნი არის რიცხვების წყვილი (x,y), რომ თუ ამ რიცხვებს შევცვლით სისტემის განტოლებებში, მაშინ სისტემის თითოეული განტოლება გადაიქცევა ნამდვილ ტოლობაში.

მაგალითად, გვაქვს ორი წრფივი განტოლების სისტემა. პირველი განტოლების ამონახსნი იქნება ყველა წყვილი რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს ამ განტოლებას.

მეორე განტოლებისთვის გამოსავალი იქნება რიცხვების წყვილი, რომლებიც აკმაყოფილებენ ამ განტოლებას. თუ არის რიცხვების წყვილი, რომელიც აკმაყოფილებს როგორც პირველ, ასევე მეორე განტოლებებს, მაშინ რიცხვების ეს წყვილი იქნება ამონახსნი ორი წრფივი განტოლების სისტემისთვის ორ უცნობში.

გრაფიკული გადაწყვეტა

გრაფიკულად, წრფივი განტოლების ამონახსნი არის სიბრტყეზე გარკვეული ხაზის ყველა წერტილი.

წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის გვექნება რამდენიმე სწორი ხაზი (განტოლებათა რაოდენობის მიხედვით). და განტოლებათა სისტემის ამონახსნი იქნება წერტილი, სადაც ყველა წრფე იკვეთება. თუ ასეთი წერტილი არ არსებობს, მაშინ სისტემას არ ექნება გადაწყვეტილებები. წერტილი, სადაც ყველა წრფე იკვეთება, ეკუთვნის თითოეულ ამ წრფეს, ამიტომ ამონახსანს ზოგადი ეწოდება.

სხვათა შორის, სისტემის განტოლებების გამოსახვა და მათი საერთო წერტილის პოვნა განტოლებათა სისტემის ამოხსნის ერთ-ერთი გზაა. ამ მეთოდს გრაფიკული ეწოდება.

წრფივი განტოლებების ამოხსნის სხვა გზები

არსებობს წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის სხვა გზები ორ ცვლადში. ორი უცნობი წრფივი განტოლების სისტემების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები.