"დიჰედრული კუთხე" - იპოვეთ მანძილი B წერტილიდან სიბრტყემდე. კუთხე C არის მწვავე. სამკუთხედი ABC ბლაგვია. კუთხე C ბლაგვია. მანძილი წერტილიდან ხაზამდე. ტეტრაედრონში DАВС ყველა კიდე ტოლია. კუთხე დახრილებს შორის. მანძილი დახრილ ბაზებს შორის. დიედრული კუთხის წრფივი კუთხეები ტოლია. წრფივი კუთხის აგების ალგორითმი.

"დიჰედრული კუთხის გეომეტრია" - კუთხე RSV - წრფივი დიედრული კუთხისთვის AC კიდით. იპოვეთ (იხ.) დიედრული კუთხის კიდე და სახეები. მოდელი შეიძლება იყოს მოცულობითი ან დასაკეცი. დიედრული კუთხის მონაკვეთი კიდეზე პერპენდიკულარული სიბრტყით. კიდეები. ხაზი CP პერპენდიკულარულია CA კიდეზე (სამი პერპენდიკულარულის თეორემით). კუთხე RKV - ხაზოვანი დიედრული კუთხისთვის RSAV-ით.

"სამკუთხედი" - სამკუთხედის ტოლობის ნიშნები. მოცემულია: Оabc – სამკუთხედის კუთხე; ?(ბ; გ) = ?; ?(ა; გ) = ?; ?(ა; ბ) = ?. გაკვეთილი 6. შედეგები. 1) სწორი ხაზისა და სიბრტყის კუთხის გამოსათვლელად გამოიყენება ფორმულა: სამი კოსინუსის ფორმულა. . მოცემულია სამკუთხა კუთხე Oabc. სამკუთხა კუთხე. თეორემა. ჩვეულებრივ სამკუთხა პირამიდაში სიბრტყის კუთხე მწვერვალზე 120?-ზე ნაკლებია.

"სამკუთხედი და მრავალწახნაგოვანი კუთხეები" - დოდეკედრის სამკუთხედი კუთხეები. რომბის დოდეკედრის სამკუთხედი და ოთხკუთხედი კუთხეები. ოქტაედრის ტეტრაედრული კუთხეები. ტეტრაედრის სამკუთხედი კუთხეები. მრავალწახნაგოვანი კუთხეების გაზომვა. დავალება. მრავალწახნაგოვანი კუთხეები. იკოსედრონის ხუთკუთხა კუთხეები. ვერტიკალური მრავალწახნაგოვანი კუთხეები. პირამიდის სამკუთხა კუთხე. მოდით SA1…An იყოს ამოზნექილი n-ფენიანი კუთხე.

„კუთხე სწორ წრფესა და სიბრტყეს შორის“ - რეგულარულ მე-6 პრიზმაში A...F1, რომლის კიდეები 1-ის ტოლია, იპოვეთ კუთხე AC1-სა და ADE1 სიბრტყეს შორის. რეგულარულ მე-6 პრიზმაში A...F1, რომლის კიდეები 1-ის ტოლია, იპოვეთ კუთხე სწორ ხაზსა AA1-სა და სიბრტყეს ACE1-ს შორის. კუთხე სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის. რეგულარულ მე-6 პრიზმაში A...F1, რომლის კიდეები 1-ის ტოლია, იპოვეთ კუთხე AB1 წრფესა და ADE1 სიბრტყეს შორის.

"მრავალედრული კუთხე" - ამოზნექილი მრავალწახნაგოვანი კუთხეები. მრავალწახნაგოვანი კუთხეები. სახეების რაოდენობის მიხედვით მრავალწახნაგოვანი კუთხეებია სამკუთხედი, ოთხკუთხედი, ხუთწახნაგოვანი და სხვ. გ) იკოსაედრული. სამკუთხედის ორი სიბრტყე კუთხეა 70° და 80°. აქედან გამომდინარე,? ASB+? BSC+? A.S.C.< 360° . Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

სულ 9 პრეზენტაციაა

ეს გაკვეთილი განკუთვნილია თვითშესწავლათემა "დიჰედრული კუთხე". ამ გაკვეთილზე მოსწავლეები გაეცნობიან ერთ-ერთ ყველაზე მნიშვნელოვან გეომეტრიულ ფიგურას, დიედრალურ კუთხეს. ასევე გაკვეთილზე ვისწავლით, თუ როგორ უნდა განვსაზღვროთ მოცემული გეომეტრიული ფიგურის წრფივი კუთხე და რა არის ფიგურის ფუძეზე დიედრული კუთხე.

გავიმეოროთ რა არის კუთხე სიბრტყეზე და როგორ იზომება იგი.

ბრინჯი. 1. თვითმფრინავი

განვიხილოთ α სიბრტყე (ნახ. 1). წერტილიდან შესახებორი სხივი გამოდის - OBდა OA.

განმარტება. ერთი წერტილიდან გამომავალი ორი სხივით წარმოქმნილ ფიგურას კუთხე ეწოდება.

კუთხე იზომება გრადუსით და რადიანებით.

გავიხსენოთ რა არის რადიანი.

ბრინჯი. 2. რადიანი

თუ გვაქვს ცენტრალური კუთხე, რომლის რკალის სიგრძე რადიუსის ტოლია, მაშინ ასეთ ცენტრალურ კუთხეს 1 რადიანის კუთხე ეწოდება. ,∠ AOB= 1 რად (ნახ. 2).

რადიანებსა და გრადუსებს შორის ურთიერთობა.

გახარებული.

გავიგეთ, მიხარია. (). შემდეგ,

განმარტება. დიჰედრული კუთხესწორი ხაზით წარმოქმნილ ფიგურას ეწოდება ადა ორი ნახევრად სიბრტყე საერთო საზღვრით ა, არ ეკუთვნის იმავე თვითმფრინავს.

ბრინჯი. 3. ნახევრად თვითმფრინავები

განვიხილოთ ორი ნახევრად სიბრტყე α და β (ნახ. 3). მათი საერთო საზღვარია ა. ამ ფიგურას დიედრული კუთხე ეწოდება.

ტერმინოლოგია

ნახევრად სიბრტყეები α და β არის დიედრული კუთხის სახეები.

პირდაპირ აარის დიედრული კუთხის კიდე.

საერთო ზღვარზე ადიჰედრული კუთხე, აირჩიეთ თვითნებური წერტილი შესახებ(ნახ. 4). ნახევრად სიბრტყეში α წერტილიდან შესახებაღადგინე პერპენდიკულარი OAსწორ ხაზზე ა. იმავე წერტილიდან შესახებმეორე ნახევარ სიბრტყეში β ვაშენებთ პერპენდიკულარს OBკიდემდე ა. კუთხე მიიღო AOB, რომელსაც დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე ეწოდება.

ბრინჯი. 4. დიჰედრული კუთხის გაზომვა

მოდით დავამტკიცოთ ყველა წრფივი კუთხის ტოლობა მოცემული დიედრული კუთხისთვის.

გვქონდეს დიედრული კუთხე (სურ. 5). მოდით ავირჩიოთ წერტილი შესახებდა პერიოდი O 1სწორ ხაზზე ა. ავაშენოთ წერტილის შესაბამისი წრფივი კუთხე შესახებ, ანუ ვხატავთ ორ პერპენდიკულარს OAდა OBα და β სიბრტყეებში შესაბამისად კიდემდე ა. ჩვენ ვიღებთ კუთხეს AOB- დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე.

ბრინჯი. 5. მტკიცებულების ილუსტრაცია

წერტილიდან O 1დავხატოთ ორი პერპენდიკულარი OA 1და OB 1კიდემდე აα და β სიბრტყეებში შესაბამისად და ვიღებთ მეორე წრფივ კუთხეს A 1 O 1 B 1.

სხივები O 1 A 1და OAთანამიმართულები, რადგან ისინი დევს ერთსა და იმავე ნახევრად სიბრტყეში და ერთმანეთის პარალელურია, როგორც ორი პერპენდიკულარი იმავე წრფეზე. ა.

ანალოგიურად, სხივები დაახლოებით 1 1-შიდა OBთანადადგმული არიან, რაც ნიშნავს ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1როგორც კუთხეები თანამიმართული გვერდებით, რისი დამტკიცებაც იყო საჭირო.

წრფივი კუთხის სიბრტყე პერპენდიკულარულია დიედრული კუთხის კიდეზე.

დაამტკიცე: ა ⊥ AOB.

ბრინჯი. 6. მტკიცებულების ილუსტრაცია

მტკიცებულება:

OA ⊥ ამშენებლობით, OB ⊥ აკონსტრუქციით (სურ. 6).

ჩვენ ვხვდებით, რომ ხაზი აორი გადამკვეთი ხაზის პერპენდიკულარული OAდა OBთვითმფრინავიდან AOB, რაც ნიშნავს რომ ის სწორია ასიბრტყეზე პერპენდიკულარული OAVრისი დამტკიცება იყო საჭირო.

დიედრული კუთხე იზომება მისი წრფივი კუთხით. ეს ნიშნავს, რომ რამდენი გრადუსიანი რადიანი შეიცავს ხაზოვან კუთხეს, იმდენივე გრადუსიანი რადიანი შეიცავს მის დიედრალურ კუთხეს. ამის შესაბამისად გამოირჩევა დიედრული კუთხეების შემდეგი ტიპები.

მწვავე (სურ. 6)

დიედრული კუთხე მწვავეა, თუ მისი წრფივი კუთხე მკვეთრია, ე.ი. .

სწორი (სურ. 7)

დიედრული კუთხე სწორია, როცა მისი წრფივი კუთხეა 90° - ბლაგვი (სურ. 8)

დიედრული კუთხე ბლაგვია, როცა მისი წრფივი კუთხე ბლაგვია, ე.ი. .

ბრინჯი. 7. მართი კუთხე

ბრინჯი. 8. ბლაგვი კუთხე

ხაზოვანი კუთხეების აგების მაგალითები რეალურ ფიგურებში

ABCდ- ტეტრაედონი.

1. ააგეთ დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე კიდით AB.

ბრინჯი. 9. პრობლემის ილუსტრაცია

მშენებლობა:

საუბარია კიდეზე წარმოქმნილ დიედრალურ კუთხეზე ABდა კიდეები ABდდა ABC(ნახ. 9).

მოდით გავაკეთოთ პირდაპირი დნსიბრტყეზე პერპენდიკულარული ABC, ნ- პერპენდიკულარულის საფუძველი. დავხატოთ დახრილი დმსწორი ხაზის პერპენდიკულარული AB,მ- დახრილი ბაზა. სამი პერპენდიკულარულის თეორემით დავასკვნით, რომ ირიბი პროექცია ნმასევე ხაზის პერპენდიკულარულად AB.

ანუ წერტილიდან მაღდგენილია კიდეზე ორი პერპენდიკულარი ABორ მხარეს ABდდა ABC. მივიღეთ წრფივი კუთხე დMN.

შეამჩნია, რომ AB, დიედრული კუთხის კიდე, წრფივი კუთხის სიბრტყის პერპენდიკულარული, ანუ სიბრტყეზე. დMN. პრობლემა მოგვარებულია.

კომენტარი. დიედრული კუთხე შეიძლება აღვნიშნოთ შემდეგნაირად: დABC, სად

AB- ზღვარი და წერტილები დდა თანდაწექი კუთხის სხვადასხვა მხარეს.

2. ააგეთ დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე კიდით AC.

დავხატოთ პერპენდიკულარი დნთვითმფრინავამდე ABCდა მიდრეკილი დნსწორი ხაზის პერპენდიკულარული AC.სამი პერპენდიკულარული თეორემის გამოყენებით ვხვდებით, რომ НN- ირიბი პროექცია დნთვითმფრინავამდე ABC,ასევე ხაზის პერპენდიკულარულად AC.დNH- დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე კიდეებით AC.

ტეტრაედრში დABCყველა კიდე თანაბარია. Წერტილი მ- ნეკნის შუა AC. დაამტკიცე რომ კუთხე დMV- ხაზოვანი დიჰედრული კუთხე შენდ, ანუ დიჰედრული კუთხე კიდით AC. მისი ერთ-ერთი სახეა ACდ, მეორე - DIA(ნახ. 10).

ბრინჯი. 10. პრობლემის ილუსტრაცია

გამოსავალი:

სამკუთხედი ADC- ტოლგვერდა, DM- მედიანა და, შესაბამისად, სიმაღლე. ნიშნავს, დმ ⊥ AC.ანალოგიურად, სამკუთხედი აINC- ტოლგვერდა, INმ- მედიანა და, შესაბამისად, სიმაღლე. ნიშნავს, VM ⊥ AC.

ამრიგად, წერტილიდან მნეკნები ACდიჰედრული კუთხე აღადგინა ორი პერპენდიკულარი DMდა VMამ კიდემდე დიჰედრული კუთხის სახეებში.

ასე რომ, ∠ DMINარის დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე, რისი დამტკიცებაც იყო საჭირო.

ასე რომ, ჩვენ განვსაზღვრეთ დიედრული კუთხე, დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე.

შემდეგ გაკვეთილზე ჩვენ შევხედავთ წრფეებისა და სიბრტყეების პერპენდიკულარულობას, შემდეგ გავიგებთ, თუ რა არის ორმხრივი კუთხე ფიგურების ფუძესთან.

ცნობების სია თემაზე "დიჰედრული კუთხე", "დიჰედრული კუთხე გეომეტრიული ფიგურების ფუძეზე"

1. გეომეტრია. 10-11 კლასები: სახელმძღვანელო ზოგადი განათლებისთვის საგანმანათლებო ინსტიტუტები/ Sharygin I.F - M.: Bustard, 1999. - 208 გვ.: ill.
2. გეომეტრია. მე-10 კლასი: სახელმძღვანელო ამისთვის საგანმანათლებო ინსტიტუტებიმათემატიკის სიღრმისეული და სპეციალიზებული შესწავლით / ე. ვ.პოტოსკუევი, ლ.ი.ზვალიჩი. - მე-6 გამოცემა, სტერეოტიპი. - M.: Bustard, 2008. - 233 გვ.: ავად.

1. Yaklass.ru ().
2. E-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().
4. Tutoronline.ru ().

Საშინაო დავალებათემაზე „დიჰედრული კუთხე“, ფიგურების ფუძეზე დიედრული კუთხის განსაზღვრა

გეომეტრია. 10-11 კლასები: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის (საბაზო და პროფილის დონეები) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - მე-5 გამოცემა, შესწორებული და გაფართოებული - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 გვ.: ill.

ამოცანები 2, 3 გვ.

რა არის ხაზოვანი დიედრული კუთხე? როგორ ავაშენოთ იგი?

ABCდ- ტეტრაედონი. ააგეთ დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე კიდეებით:

ა) INდბ) დთან.

ABCდ.ა. 1 ბ 1 C 1 დ 1 - კუბი დიედრული კუთხის ხაზოვანი კუთხის აგება A 1 ABCნეკნით AB. განსაზღვრეთ მისი ხარისხის საზომი.

სტუდენტების მომზადება მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩასაბარებლად, როგორც წესი, იწყება ძირითადი ფორმულების გამეორებით, მათ შორის, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ კუთხე სიბრტყეებს შორის. მიუხედავად იმისა, რომ გეომეტრიის ეს მონაკვეთი საკმარისად დეტალურად არის დაფარული შიგნით სკოლის სასწავლო გეგმა, ბევრ კურსდამთავრებულს სჭირდება ძირითადი მასალის გამეორება. იმის გაგება, თუ როგორ უნდა იპოვოთ კუთხე სიბრტყეებს შორის, საშუალო სკოლის მოსწავლეებს შეეძლებათ სწრაფად გამოთვალონ სწორი პასუხი პრობლემის გადაჭრისას და დაითვალონ ღირსეული ქულების მიღება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩაბარების შედეგებზე.

ძირითადი ნიუანსი

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ კითხვა, თუ როგორ უნდა იპოვოთ დიჰედრული კუთხე, არ იწვევს სირთულეებს, ჩვენ გირჩევთ მიჰყვეთ ამოხსნის ალგორითმს, რომელიც დაგეხმარებათ გაუმკლავდეთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანებს.

ჯერ უნდა დაადგინოთ სწორი ხაზი, რომლის გასწვრივაც თვითმფრინავები კვეთენ.

შემდეგ თქვენ უნდა აირჩიოთ წერტილი ამ ხაზზე და დახაზოთ მასზე ორი პერპენდიკულარი.

შემდეგი ნაბიჯი არის პერპენდიკულარებით წარმოქმნილი დიედრული კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის პოვნა. ამის გაკეთების ყველაზე მოსახერხებელი გზაა მიღებული სამკუთხედის დახმარებით, რომლის ნაწილიც კუთხეა.

პასუხი იქნება კუთხის მნიშვნელობა ან მისი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.

შკოლკოვოს საგამოცდო ტესტისთვის მომზადება თქვენი წარმატების გასაღებია

წინა დღეს გაკვეთილების დროს ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩაბარებაბევრი სკოლის მოსწავლე აწყდება განმარტებებისა და ფორმულების პოვნის პრობლემას, რაც მათ საშუალებას აძლევს გამოთვალონ კუთხე 2 სიბრტყეს შორის. სასკოლო სახელმძღვანელო ყოველთვის არ არის ხელთ, როცა საჭიროა. და იპოვონ საჭირო ფორმულებიდა მათი სწორი გამოყენების მაგალითები, მათ შორის ინტერნეტში თვითმფრინავებს შორის კუთხის პოვნა ინტერნეტში, რაც ზოგჯერ დიდ დროს მოითხოვს.

მათემატიკური პორტალი „შკოლკოვო“ გთავაზობთ ახალი მიდგომასახელმწიფო გამოცდისთვის მოსამზადებლად. ჩვენს ვებ-გვერდზე გაკვეთილები დაეხმარება სტუდენტებს გამოავლინონ ყველაზე რთული სექციები და შეავსონ ცოდნის ხარვეზები.

ჩვენ მოვამზადეთ და ნათლად წარმოვადგინეთ ყველა საჭირო მასალა. ძირითადი განმარტებები და ფორმულები წარმოდგენილია განყოფილებაში „თეორიული ინფორმაცია“.

მასალის უკეთ გასაგებად, ასევე გთავაზობთ შესაბამისი სავარჯიშოების შესრულებას. დიდი არჩევანისხვადასხვა ხარისხის სირთულის ამოცანები, მაგალითად, წარმოდგენილია "კატალოგის" განყოფილებაში. ყველა დავალება შეიცავს დეტალურ ალგორითმს სწორი პასუხის საპოვნელად. სავარჯიშოების სია საიტზე მუდმივად ავსებს და ახლდება.

იმ პრობლემების გადაჭრის დროს, რომლებიც მოითხოვს ორ სიბრტყეს შორის კუთხის პოვნას, სტუდენტებს აქვთ შესაძლებლობა შეინახონ ნებისმიერი დავალება ინტერნეტში, როგორც „რჩეულები“. ამის წყალობით ისინი შეძლებენ მასთან დაბრუნებას საჭირო თანხადრო და განიხილოს მისი გადაწყვეტილების პროგრესი სკოლის მასწავლებელიან დამრიგებელი.

პრეზენტაციის გადახედვის გამოსაყენებლად, შექმენით ანგარიში თქვენთვის ( ანგარიში) Google და შედით: https://accounts.google.com

სლაიდის წარწერები:

DIHEDRAL ANGLE მათემატიკის მასწავლებელი GOU საშუალო სკოლა No10 ერემენკო მ.ა.

გაკვეთილის ძირითადი მიზნები: გაეცანით ორმხრივი კუთხის ცნებას და ხაზოვანი კუთხის განხილვას ამ ცნებების გამოსაყენებლად.

განმარტება: დიედრული კუთხე არის ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება ორი ნახევრად სიბრტყით საერთო საზღვრის სწორი ხაზით.

დიედრული კუთხის სიდიდე არის მისი წრფივი კუთხის სიდიდე. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB - ხაზოვანი დიედრული კუთხე ACD B

დავამტკიცოთ, რომ დიედრული კუთხის ყველა წრფივი კუთხე ერთმანეთის ტოლია. განვიხილოთ ორი წრფივი კუთხე AOB და A 1 OB 1. სხივები OA და OA 1 დევს ერთ სახეზე და პერპენდიკულარულია OO 1-ზე, ამიტომ ისინი თანამიმართულები არიან. სხივები OB და OB 1 ასევე ერთობლივად არის მიმართული. მაშასადამე, ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (კუთხების მსგავსად თანამართული გვერდებით).

დიედრული კუთხეების მაგალითები:

განმარტება: კუთხე ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის არის ამ სიბრტყეების მიერ წარმოქმნილი დიედრული კუთხეებიდან ყველაზე პატარა.

ამოცანა 1: A ... D 1 კუბში იპოვეთ კუთხე ABC და CDD 1 სიბრტყეს შორის. პასუხი: 90 o.

ამოცანა 2: A ... D 1 კუბში იპოვეთ კუთხე ABC და CDA 1 სიბრტყეს შორის. პასუხი: 45 o.

ამოცანა 3: A ... D 1 კუბში იპოვეთ კუთხე ABC და BDD 1 სიბრტყეს შორის. პასუხი: 90 o.

ამოცანა 4: A ... D 1 კუბში იპოვეთ კუთხე ACC 1 და BDD 1 სიბრტყეებს შორის. პასუხი: 90 o.

ამოცანა 5: A ... D 1 კუბში იპოვეთ კუთხე BC 1 D და BA 1 D სიბრტყეებს შორის. ამოხსნა: O იყოს B D-ის შუა წერტილი. A 1 OC 1 – A 1 B D C 1 დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე.

ამოცანა 6: ტეტრაედრონში DABC ყველა კიდე ტოლია, წერტილი M არის AC კიდის შუა. დაამტკიცეთ, რომ ∠ DMB არის დიედრული კუთხის BACD წრფივი კუთხე.

ამოხსნა: ABC და ADC სამკუთხედები რეგულარულია, შესაბამისად, BM ⊥ AC და DM ⊥ AC და, შესაბამისად, ∠ DMB არის DACB დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე.

ამოცანა 7: ABC სამკუთხედის B წვეროდან, რომლის გვერდი AC დევს α სიბრტყეში, ამ სიბრტყეზე პერპენდიკულარული BB 1 არის გამოყვანილი. იპოვეთ მანძილი B წერტილიდან AC სწორ წრფემდე და α სიბრტყემდე, თუ AB=2, ∠ВАC=150 0 და ორკუთხედი ВАСВ 1 უდრის 45 0-ს.

ამოხსნა: ABC არის ბლაგვი სამკუთხედი ბლაგვი A კუთხით, ამიტომ BC სიმაღლის ფუძე დგას AC გვერდის გაფართოებაზე. VK – მანძილი B წერტილიდან AC-მდე. BB 1 – მანძილი B წერტილიდან α სიბრტყემდე

2) ვინაიდან AC ⊥BK, მაშინ AC⊥KB 1 (თეორემის შებრუნებული თეორემით დაახლოებით სამი პერპენდიკულარი). ამიტომ, ∠VKV 1 არის დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე BASV 1 და ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0, VK=VA·sin 30 0, VK =1. ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· ცოდვა 45 0 , ВВ 1 =

ორ განსხვავებულ სიბრტყეს შორის კუთხის სიდიდე შეიძლება განისაზღვროს სიბრტყეების ნებისმიერი ფარდობითი პოზიციისთვის.

ტრივიალური შემთხვევა, თუ თვითმფრინავები პარალელურია. მაშინ მათ შორის კუთხე ითვლება ნულის ტოლი.

არატრივიალური შემთხვევა, თუ თვითმფრინავები იკვეთება. ეს საქმე შემდგომი განხილვის საგანია. პირველ რიგში, ჩვენ გვჭირდება დიედრული კუთხის კონცეფცია.

9.1 დიჰედრული კუთხე

დიედრული კუთხე არის ორი ნახევრად სიბრტყე საერთო სწორი ხაზით (რომელსაც დიედრული კუთხის კიდე ეწოდება). ნახ. 50 გვიჩვენებს დიედრალურ კუთხეს, რომელიც წარმოიქმნება ნახევრად სიბრტყეებით და; ამ დიჰედრული კუთხის კიდე არის სწორი ხაზი a, საერთო ამ ნახევრად სიბრტყეებისთვის.

ბრინჯი. 50. დიჰედრული კუთხე

დიედრული კუთხე შეიძლება გაიზომოს გრადუსებში ან რადიანებში ერთი სიტყვით, შეიყვანეთ დიედრული კუთხის კუთხური მნიშვნელობა. ეს კეთდება შემდეგნაირად.

ნახევრად სიბრტყეებით წარმოქმნილი დიჰედრული კუთხის კიდეზე და ვიღებთ თვითნებურ წერტილს M. დავხატოთ MA და MB სხივები, რომლებიც დევს შესაბამისად ამ ნახევრად სიბრტყეში და კიდეზე პერპენდიკულარულად (სურ. 51).

ბრინჯი. 51. წრფივი დიედრული კუთხე

შედეგად მიღებული კუთხე AMB არის დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე. კუთხე " = \AMB არის ზუსტად ჩვენი დიედრული კუთხის კუთხის მნიშვნელობა.

განმარტება. კუთხოვანი მნიშვნელობადიედრული კუთხე არის მოცემული დიედრული კუთხის წრფივი კუთხის სიდიდე.

დიედრული კუთხის ყველა წრფივი კუთხე ერთმანეთის ტოლია (ბოლოს და ბოლოს, ისინი ერთმანეთისგან მიიღება პარალელური გადანაცვლებით). Ამიტომაც ამ განმარტებასსწორია: მნიშვნელობა " არ არის დამოკიდებული M წერტილის კონკრეტულ არჩევანზე დიედრული კუთხის კიდეზე.

9.2 სიბრტყეებს შორის კუთხის განსაზღვრა

როდესაც ორი სიბრტყე იკვეთება, მიიღება ოთხი დიედრული კუთხე. თუ მათ აქვთ ერთი და იგივე ზომა (თითოეული 90), მაშინ სიბრტყეებს პერპენდიკულარული ეწოდება; მაშინ სიბრტყეებს შორის კუთხე არის 90.

თუ ყველა დიედრული კუთხე არ არის ერთნაირი (ანუ არის ორი მწვავე და ორი ბლაგვი), მაშინ სიბრტყეებს შორის კუთხე არის მწვავე დიედრული კუთხის მნიშვნელობა (ნახ. 52).

ბრინჯი. 52. კუთხე სიბრტყეებს შორის

9.3 პრობლემის გადაჭრის მაგალითები

მოდით შევხედოთ სამ პრობლემას. პირველი მარტივია, მეორე და მესამე არის დაახლოებით C2 დონეზე მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის შესახებ.

ამოცანა 1. იპოვეთ კუთხე წესიერი ტეტრაედნის ორ სახეს შორის.

გამოსავალი. დაე, ABCD იყოს რეგულარული ტეტრაედონი. დავხატოთ შესაბამისი სახეების AM და DM მედიანები, ასევე ტეტრაედრის DH სიმაღლე (სურ. 53).

ბრინჯი. 53. დავალება 1

როგორც მედიანები, AM და DM ასევე სიმაღლეა ტოლგვერდა სამკუთხედები ABC და DBC. მაშასადამე, კუთხე " = \AMD არის დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება ABC და DBC სახეებით. მას ვპოულობთ სამკუთხედიდან DHM:

			დილის 1 საათი

პასუხი: arccos 1 3 .

ამოცანა 2. ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდაში SABCD (S წვერით) გვერდითი კიდე ფუძის გვერდის ტოლია. წერტილი K არის SA კიდის შუა. იპოვნეთ კუთხე სიბრტყეებს შორის

გამოსავალი. წრფე BC არის AD-ის პარალელურად და, შესაბამისად, სიბრტყის ADS-ის პარალელურად. მაშასადამე, KBC სიბრტყე კვეთს ADS სიბრტყეს KL სწორი ხაზის გასწვრივ BC-ის პარალელურად (ნახ. 54).

ბრინჯი. 54. დავალება 2

ამ შემთხვევაში, KL ასევე იქნება AD წრფის პარალელურად; ამრიგად, KL არის ADS სამკუთხედის შუა ხაზი, ხოლო წერტილი L არის DS-ის შუა წერტილი.

ვიპოვოთ პირამიდის SO სიმაღლე. დაე N იყოს DO-ს შუა. მაშინ LN არის DOS სამკუთხედის შუა ხაზი და, შესაბამისად, LN k SO. ეს ნიშნავს, რომ LN არის ABC სიბრტყის პერპენდიკულარული.

N წერტილიდან ვამცირებთ პერპენდიკულარულ NM-ს BC სწორ ხაზზე. სწორი ხაზი NM იქნება დახრილი LM-ის პროექცია ABC სიბრტყეზე. სამი პერპენდიკულარული თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ LM ასევე პერპენდიკულარულია BC.

ამრიგად, კუთხე " = \LMN არის დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება KBC და ABC ნახევრად სიბრტყეებით. ამ კუთხეს ვეძებთ LMN მართკუთხა სამკუთხედიდან.

პირამიდის კიდე ტოლი იყოს a. ჯერ ვიპოვით პირამიდის სიმაღლეს:

SO=გვ

გამოსავალი. ვთქვათ L იყოს A1 K და AB წრფეების გადაკვეთის წერტილი. შემდეგ თვითმფრინავი A1 KC კვეთს ABC სიბრტყეს CL სწორი ხაზის გასწვრივ (ნახ.55).

ა C

ბრინჯი. 55. პრობლემა 3

სამკუთხედები A1 B1 K და KBL ტოლია ფეხით და მწვავე კუთხით. ამიტომ, სხვა ფეხები ტოლია: A1 B1 = BL.

განვიხილოთ სამკუთხედი ACL. მასში BA = BC = BL. კუთხე CBL არის 120; შესაბამისად, \BCL = 30 . ასევე, \BCA = 60. ამიტომ \ACL = \BCA + \BCL = 90.

მაშ, LC? AC. მაგრამ ხაზი AC ემსახურება როგორც A1 C ხაზის პროექციას ABC სიბრტყეზე. სამი პერპენდიკულარულის თეორემით დავასკვნათ, რომ LC ? A1 C.

ამრიგად, A1 CA კუთხე არის A1 KC და ABC ნახევრად სიბრტყეების მიერ წარმოქმნილი დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე. ეს არის სასურველი კუთხე. ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედიდან A1 AC ვხედავთ, რომ ის უდრის 45-ს.