Натуральные числа
Числа, применяемые для счета, называются натуральными числами Цифра нуль не относится к натуральным числам.
Однозначные числа: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 Двузначные : 24,56,и т.д. Трехзначные : 348,569 и т.д. Многозначные : 23,562,456789 ит.д.
Разбиение числа на группы по 3 цифры, начиная справа, называется классами : первые три цифры – класс единиц, следующие три цифры – класс тысяч, далее миллионы и т.д.
Отрезком называют линию, проведенную из точки А в точку В. Называют АВ или ВА А В Длину отрезка АВ называют расстоянием между точками А и В.
Единицы измерения длины:
1) 10 см = 1 дм
2) 100 см = 1 м
3) 1 см = 10 мм
4) 1 км = 1000 м
Плоскость – это поверхность, которая не имеет краев, безгранично простирающаяся во всех направлениях. Прямая не имеет начала и конца. Две прямые, имеющие одну общую точку – пересекаются . Луч – это часть прямой, которая имеет начало и не имеет конца (ОА и ОВ). Лучи, на которые точка разбивает прямую, называют дополнительными друг другу.
Координатный луч:
0 1 2 3 4 5 6 О Е А В Х О(0), Е(1), А(2), В(3) – координаты точек. Из двух натуральных чисел меньше то, которое при счете называют раньше, и больше то, которое при счете называют позже. Единица – самое маленькое натуральное число. Результат сравнения двух чисел записывают в виде неравенства: 5 < 8, 5670 > 368. Число 8 меньше, чем 28 и больше, чем 5, можно записать в виде двойного неравенства: 5 < 8 < 28
Сложение и вычитание натуральных чисел
Сложение
Числа, которые складывают, называют слагаемыми. Результат сложения называют суммой.
Свойства сложения:
1. Переместительное свойство: Сумма чисел не изменяется при перестановке слагаемых: a + b = b + a (a и b – любые натуральные числа и 0) 2. Сочетательное свойство: Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом к полученной сумме – второе слагаемое: a + (b + с) = (a + b) +с = a + b + с (a, b и с – любые натуральные числа и 0).
3. Сложение с нулем: От прибавления нуля число не изменяется:
а + 0 = 0 + а = a (a – любое натуральное число).
Сумму длин сторон многоугольника называют периметром этого многоугольника .
Вычитание
Действие, по которому по сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое, называют вычитанием .
Число, из которого вычитают, называют уменьшаемым , число, которое вычитают, называют вычитаемым , результат вычитания называют разностью. Разность двух чисел показывает, на сколько первое число больше второго или на сколько второе число меньше первого.
Свойства вычитания:
1. Свойство вычитания суммы из числа : Для того, чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а потом из полученной разности вычесть второе слагаемое:
a – (b + c) = (a - b) – с = a – b – с (b + с > a или b + с = a).
2. Свойство вычитания числа из суммы : Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое
(a + b) – с = a + (b - с) , если с < b или с = b
(a + b) – с = (a - c) + b , если с < a или с = a.
3. Свойство вычитания нуля : Если из числа вычесть нуль, то оно не изменится:
a – 0 = a (a – любое натуральное число)
4. Свойство вычитания из числа этого же числа : Если из числа вычесть это число, получится нуль:
a – a = 0 (a – любое натуральное число).
Числовые и буквенные выражения
Записи действий называют числовыми выражениями. Число, получаемое в результате выполнения всех указанных действий, называют значением выражения.
Умножение и деление натуральных чисел
Умножение натуральных чисел и его свойства
Умножить число m на натуральное число n - значит найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно m.
Выражение m · n и значение этого выражения называют произведением чисел m и n. Числа m и n называют множителями.
Свойства умножения :
1. Переместительное свойство умножения: Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей:
a · b = b · а
2. Сочетательное свойство умножения: Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель:
a · (b · с) = (а · b) · c.
3. Свойство умножения на единицу: Сумма n слагаемых, каждое из которых равно 1, равна n:
1 · n = n
4. Свойство умножения на ноль: Сумма n слагаемых, каждое из которых равно нулю, равна нулю:
0 · n = 0
Знак умножения можно опускать: 8 · х = 8х,
или а · b = ab,
или a · (b + с) = a(b + с)
Деление
Действие, по которому по произведению и одному из множителей находят другой множитель, называют делением.
Число, которое делят, называют делимым ; число, на которое делят, называют делителем , результат деления называют частным .
Частное показывает, во сколько раз делимое больше, чем делитель.
На нуль делить нельзя!
Свойства деления:
1. При делении любого числа на 1 получается это же число:
а: 1 = а.
2. При делении числа на это же число, получается единица:
а: а = 1.
3. При делении нуля на число получается нуль:
0: а = 0.
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделит на другой множитель. 5х = 45 х = 45: 5 х = 9
Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель. х: 15 = 3 х = 3 · 15 х = 45
Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное. 48: х = 4 х = 48: 4 х = 12
Деление с остатком
Остаток всегда меньше делителя.
Если остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка или, иначе, нацело. Чтобы найти делимое a при делении с остатком, надо умножить неполное частное с на делитель b и к полученному произведению прибавить остаток d.
а = с · b + d
Упрощение выражений
Свойства умножения:
1. Распределительное свойство умножения относительно сложения: Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения:
(а + b)с = ас + bc.
2. Распределительное свойство умножения относительно вычитания: Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе:
(а - b)с = ас - bc .
3а + 7а = (3 + 7)а = 10а
Порядок выполнения действий
Сложение и вычитание чисел называют действиями первой ступени, а умножение и деление чисел – действиями второй ступени.
Правила порядка выполнения действий:
1. Если в выражении нет скобок и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо.
2. Если выражение содержит действия первой и второй ступени и в нем нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, потом – действия первой ступени.
3. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2)
Каждое выражение задает программу своего вычисления. Она состоит из команд.
Степень числа. Квадрат и куб числа
Произведение, в котором все множители равны друг другу, записывают короче: а · а · а · а · а · а = а6 Читают: а в шестой степени. Число а называют основанием степени, число 6 – показателем степени, а выражение а6 - называют степенью.
Произведение n и n называют квадратом числа n и обозначают n2 (эн в квадрате):
n2 = n · n
Произведение n · n · n называют кубом числа n и обозначают n3 (эн в кубе): n3 = n · n · n
Первая степень числа равна самому числу. Если в числовое выражение входят степени чисел, то их значения вычисляют до выполнения остальных действий.
Площади и объемы
Запись какого-нибудь правила с помощью букв называют формулой. Формула пути:
s = vt, где s – путь, v – скорость, t – время.
v = s: t
t = s: v
Площадь. Формула площади прямоугольника.
Чтобы найти площадь прямоугольника, надо его длину умножить на ширину. S = ab, где S – это площадь, a – длина, b – ширина
Две фигуры называют равными, если одну из них можно наложить на вторую так, что эти фигуры совпадут. Площади равных фигур равны. Периметры равных фигур равны.
Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей. Площадь каждого треугольника равна половине площади всего прямоугольника
Квадрат – это прямоугольник с равными сторонами.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны:
Единицы измерения площадей
Квадратный миллиметр – мм2
Квадратный сантиметр – см2
Квадратный дециметр – дм2
Квадратный метр –м2
Квадратный километр – км2
Площади полей измеряют в гектарах (га). Гектар – это площадь квадрата со стороной 100 м.
Площади небольших участков земли измеряют в арах (а).
Ар (сотка) – площадь квадрата со стороной 10 м.
1 га = 10 000 м2
1 дм2 = 100 см2
1 м2 = 100 дм2 = 10 000 см2
Если длина и ширина прямоугольника измерены в разных единицах, то их надо выразить в одних единицах для вычисления площади.
Прямоугольный параллелепипед
Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 прямоугольников, каждый из которых называют гранью.
Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны.
Стороны граней называют ребрами параллелепипеда , а вершины граней – вершинами параллелепипеда .
У прямоугольного параллелепипеда 12 ребер и 8 вершин.
Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения длину, ширину и высоту
Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения одинаковые. Поверхность куба состоит из 6 равных квадратов.
Объем прямоугольного параллелепипеда: Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, надо его длину умножить на ширину и на высоту.
V = abc , V – объем, a длина, b – ширина, c – высота
Объем куба:
Единицы измерения объемов:
Кубический миллиметр – мм3
Кубический сантиметр – см3
Кубический дециметр – дм3
Кубический метр – мм3
Кубический километр – км3
1 м3 = 1000 дм3 = 1000 л
1 л = 1 дм3 = 1000 см3
1 см3 = 1000 мм3 1 км3 = 1 000 000 000 м3
Окружность и круг
Замкнутая линия, находящаяся на одинаковом расстоянии от данной точки называется окружностью.
Часть плоскости, которая лежит внутри окружности называют кругом.
Данная точка – называется центром и круга, и окружности.
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, называют радиусом окружности .
Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр, называют диаметром окружности .
Диаметр равен двум радиусам.
Можно записать с помощью букв.
1. Переместительное свойство сложения записывают так: а + b = b + а.
В этом равенстве буквы а и b могут принимать любые натуральные значения и значение 0.
3. Свойство нуля при сложении можно записать так: Здесь буква а может иметь любое значение.
4. Свойство вычитания суммы из числа записывают с помощью букв следующим образом:
a - (b + с) = a - b - с. Здесь b + с < а или b + с = а.
5. Свойство вычитания числа из суммы записывают с помощью букв так:
(а + b) - с = а + (b - с), если с < Ь или о = b;
(а + b) - с = (а - с) + Ь, если с < а или с = а.
6. Свойства нуля при вычитании можно записать так: а - 0 = а; а - а = 0.
Здесь а может принимать любые натуральные значения и значение 0.
Прочитайте записанные с помощью букв свойства сложения и вычитания.
337. Запишите сочетательное свойство сложения с помощью букв а, b и с. Замените буквы их значениями: a = 9873, b = 6914, с = 10 209 - и проверьте получившееся числовое равенство.
338. Запишите свойство вычитания суммы из числа с помощью букв a, b и с. Замените буквы их значениями: a = 243, b = 152, с = 88 - и проверьте получившееся числовое равенство.
339. Запишите свойство вычитания числа из суммы двумя способами. Проверьте получившиеся числовые равенства, заменив буквы их значениями:
a) a = 98, b = 47 и с = 58;
б) а = 93, b = 97 и с = 95.
340. а) На рисунке 42 с помощью циркуля найдите точки М(а + b) и N(а - b).
б) Объясните по рисунку 43 смысл сочетательного свойства сложения.
в) Объясните с помощью рисунков остальные свойства сложения и вычитания.
341. Из свойств сложения следует:
56 + х + 14 = х + 56 + 14 = x + (56 + 14) = х + 70.
По этому образцу упростите выражение :
а) 23 + 49 + m; в) х + 54 + 27;
б) 38 + n + 27; г) 176 4- у + 24.
342. Найдите значение выражения, предварительно упростив его:
а) 28 + m + 72 при m = 87; в) 228 + k + 272 при k = 48;
б) n + 49 + 151 при n = 63; г) 349 + р + 461 при р = 115.
343. Из свойств вычитания следует:
28 - (15 + с) = 28 - 15 - с = 13 - с,
а - 64 - 26 = а - (64 + 26) = а - 90.
Какое свойство вычитания применено в этих примерах ? Используя это свойство вычитания, упростите выражение:
а) 35 - (18 + у);
б) m- 128 - 472.
344. Из свойств сложения и вычитания следует:
137 - с - 27 « 137 - (с + 27) = 137 - (27 + с) = 137 - 27 - с = 110 - с.
Какие свойства сложения и вычитания применены в этом примере?
Используя эти свойства, упростите выражение:
а) 168 - (х + 47);
б) 384 - m - 137.
345. Из свойств вычитания следует:
(154 + b) - 24 = (154 - 24) + b = 130 + b;
а - 10 + 15 = (а - 10) + 15 = (а + 15) - 10 = а + (15 - 10) = a + 5.
Какое свойство вычитания применяется в этом примере?
Используя это свойство, упростите выражение:
а) (248 + m) - 24; в) b + 127 - 84; д) (12 - k) + 24;
б) 189 + n - 36; г) а - 30 + 55; е) х - 18 + 25.
346. Найдите значение выражения, предварительно упростив его:
а) а - 28 - 37 при а = 265; в) 237 + с + 163 при с = 194; 188;
б) 149 + b - 99 при b = 77; г) d - 135 + 165 при d = 239; 198.
347. На отрезке АВ отмечены точки С и D, причем точка С лежит между точками А и D. Составьте выражение для длины отрезка:
а) АВ если АС = 453 мм, CD = х мм и DB = 65 мм. Найдите значение получившегося выражения при х = 315; 283.
б) АС, если АВ = 214 мм, CD = 84 мм и DB = у мм. Найдите значение получившегося выражения при у = 28; 95.
348. Токарь выполнил заказ на изготовление одинаковых деталей за три дня. В первый день он изготовил 23 детали, во второй день - на b деталей больше, чем в первый день, а в третий день - на четыре детали меньше, чем в первый день. Сколько деталей изготовил токарь за эти три дня? Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение при b = 7 и b = 9.
349. Вычислите устно:
350. Найдите половину, четверть и треть каждого из чисел: 12; 36; 60; 84; 120.
а) 37 2 и 45 - 17;
б) 156: 12 и 31 7.
362. По дороге движутся навстречу друг другу пешеход и велосипедист. Сейчас расстояние между ними 52 км. Скорость пешехода 4 км/ч, а скорость велосипедиста 9 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 1 ч; через 2 ч; через 4 ч? Через сколько часов пешеход и велосипедист встретятся?
363. Найдите значение выражения:
1) 1032: (5472: 19: 12);
2) 15 732: 57: (156: 13).
364. Упростите выражение:
а) 37 + m + 56; в) 49 - 24 - k;
б) n - 45 - 37; г) 35 - t - 18.
365. Упростите выражение и найдите его значение:
а) 315 - р + 185 при р = 148; 213;
б) 427 - l - 167 при I = 59; 260.
366. Мотогонщик преодолел первый участок трассы за 54 с, второй - за 46 с, а третий - на п с быстрее, чем второй. Сколько времени затратил мотогонщик на прохождение этих трех участков? Найдите значение полученного выражения, если п = 9; 17; 22.
367. В треугольнике одна сторона 36 см, другая на 4 см меньше, а третья на х см больше первой стороны. Найдите периметр треугольника. Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение при х = 4 и х = 8.
368. Турист на автобусе проехал 40 км, что в 5 раз больше того пути, который он прошел пешком. Какой общий путь проделал турист?
369. От города до села 24 км. Из города вышел человек и идет со скоростью 6 км/ч. Изобразите на шкале расстояний (одно деление шкалы - 1 км) положение пешехода через 1 ч после выхода из города; через 2 ч; через 3 ч и т. д. Когда он придет в село?
370. Верно или неверно неравенство:
а) 85 678 > 48 - (369 - 78);
б) 7508 + 8534 < 26 038?
371. Найдите значение выражения:
а) 36 366-17 366: (200 - 162);
б) 2 355 264: 58 + 1 526 112: 56;
в) 85 408 - 408 (155 - 99);
г) 417 908 + 6073 56 + 627 044.
Н.Я. ВИЛЕНКИН, B. И. ЖОХОВ, А. С. ЧЕСНОКОВ, C. И. ШВАРЦБУРД, Математика 5 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений
Планирование математике, материалы по математике 5 класса скачать , учебники онлайн
Понятие вычитания лучше всего рассмотреть на примере. Вы решили попить чай с конфетами. В вазе лежало 10 конфет. Вы съели 3 конфеты. Сколько конфет осталось в вазе? Если мы от 10 вычтем 3 то, в вазе останется 7 конфет. Запишем задачу математически:
Подробно разберем запись:
10 – это число от которого мы отнимаем или которое уменьшаем, поэтому его называют уменьшаемым
.
3 – это число, которое мы вычитаем. Поэтому его называют вычитаемым
.
7 – это число результат вычитания или еще его называют разностью
. Разность показывает на сколько первое число (10) больше второго числа (3) или насколько второе число (3) меньше первого числа (10).
Если вы сомневаетесь правильно ли нашли разность, нужно сделать проверку . К разности прибавить второе число: 7+3=10
При вычитании л уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого.
Делаем вывод из сказанного. Вычитание – это действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находится второе слагаемое.
В буквенном виде это выражение будет выглядеть так:
a — b = c
a – уменьшаемое,
b – вычитаемое,
c – разность.
Свойства вычитания суммы из числа.
13 — (3 + 4)=13 — 7=6
13 — 3 — 4 = 10 — 4=6
Пример можно решить двумя способами. Первый способ, найти сумму чисел (3+4), а потом вычесть от общего числа (13). Второй способ, от общего числа (13) вычесть первое слагаемое(3), а потом из полученной разности отнять второе слагаемое(4).
В буквенном виде свойство вычитания суммы из числа будет выглядеть так:
a — (b + c) = a — b — c
Свойство вычитания числа из суммы.
(7 + 3) — 2 = 10 — 2 = 8
7 + (3 — 2) = 7 + 1 = 8
(7 — 2) + 3 = 5 + 3 = 8
Чтобы вычесть из суммы число, можно это число вычесть из одного слагаемого, а потом к полученному результату разности прибавить второе слагаемое. При условии слагаемое будет больше вычитаемого числа.
В буквенном виде свойство вычитания числа из суммы будет выглядеть так:
(7 + 3) — 2 = 7 + (3 — 2)
(a +
b) —
c=
a + (b — с)
, при условии b > c
(7 + 3) — 2=(7 — 2) + 3
(a + b) — c=(a — c) + b
, при условии a > c
Свойство вычитания с нулем.
10 — 0 = 10
a — 0 = a
Если из числа вычесть нуль то, будет тоже самое число.
10 — 10 = 0
a —
a = 0
Если из числа вычесть тоже самое число то, будет нуль.
Вопросы по теме:
В примере 35 — 22 = 13 назовите уменьшаемое, вычитаемое и разность.
Ответ: 35 – уменьшаемое, 22 – вычитаемое, 13 – разность.
Если числа одинаковые, чему равна их разность?
Ответ: нуль.
Сделайте проверку вычитания 24 — 16 = 8?
Ответ: 16 + 8 = 24
Таблица вычитания натуральных чисел от 1 до 10.
Примеры на задачи по теме «Вычитание натуральных чисел».
Пример №1:
Вставьте пропущенное число: а)20 — … = 20 б) 14 — … + 5 = 14
Ответ: а) 0 б) 5
Пример №2:
Можно ли выполнить вычитание: а) 0 — 3 б) 56 — 12 в) 3 — 0 г) 576 — 576 д) 8732 — 8734
Ответ: а) нет б) 56 — 12 = 44 в) 3 — 0 = 3 г) 576 — 576 = 0 д) нет
Пример №3:
Прочитайте выражение: 20 — 8
Ответ: “От двадцати отнять восемь” или “из двадцати вычесть восемь”. Правильно произносить слова
Итак, в общем случае вычитание натуральных чисел НЕ обладает переместительным свойством . Запишем это утверждение с помощью букв. Если a и b неравные натуральные числа, то a−b≠b−a . Например, 45−21≠21−45 .
Свойство вычитания суммы двух чисел из натурального числа.
Следующее свойство связано с вычитанием из натурального числа суммы двух чисел. Давайте рассмотрим пример, который даст нам понимание этого свойства.
Представим, что у нас в руках находится 7 монет. Мы сначала решаем сохранить 2 монеты, но, подумав, что этого будет мало, решаем сохранить еще одну монету. На основании смысла сложения натуральных чисел можно утверждать, что в этом случае мы приняли решение сохранить количество монет, которое определяется суммой 2+1 . Итак, берем две монеты, добавляем к ним еще одну монету и помещаем их в копилку. При этом количество монет, оставшихся у нас в руках, определяется разностью 7−(2+1) .
А теперь представим, что у нас есть 7 монет, и мы помещаем в копилку 2 монеты, а после этого - еще одну монету. Математически этот процесс описывается следующим числовым выражением: (7−2)−1 .
Если пересчитать монеты, которые остаются в руках, то и в первом и во втором случаях мы имеем 4 монеты. То есть, 7−(2+1)=4 и (7−2)−1=4 , следовательно, 7−(2+1)=(7−2)−1 .
Рассмотренный пример позволяет нам сформулировать свойство вычитания суммы двух чисел из данного натурального числа. Вычесть из данного натурального числа данную сумму двух натуральных чисел - это все равно, что из данного натурального числа вычесть первое слагаемое данной суммы, после чего из полученной разности вычесть второе слагаемое .
Напомним, что мы придали смысл вычитанию натуральных чисел лишь для случая, когда уменьшаемое больше, чем вычитаемое, или равно ему. Поэтому мы можем вычесть из данного натурального числа данную сумму лишь тогда, когда эта сумма не больше, чем уменьшаемое натуральное число. Заметим, что при выполнении этого условия, каждое из слагаемых не превосходит натурального числа, из которого вычитается сумма.
С помощью букв свойство вычитания суммы двух чисел из данного натурального числа записывается в виде равенства a−(b+c)=(a−b)−c , где a , b и c – некоторые натуральные числа, причем выполняются условия a>b+c или a=b+c .
Рассмотренное свойство, а также сочетательное свойство сложения натуральных чисел , позволяют выполнять вычитание суммы трех и большего количества чисел из данного натурального числа .
Свойство вычитания натурального числа из суммы двух чисел.
Переходим к следующему свойству, которое связано с вычитанием данного натурального числа из данной суммы двух натуральных чисел. Рассмотрим примеры, которые помогут нам «увидеть» это свойство вычитания натурального числа из суммы двух чисел.
Пусть у нас в первом кармане находятся 3 конфеты, а во втором – 5 конфет, и пусть нам нужно отдать 2 конфеты. Мы это можем сделать разными способами. Разберем их по очереди.
Во-первых, мы можем сложить все конфеты в один карман, после чего оттуда достать 2 конфеты и отдать их. Опишем эти действия математически. После того, как мы сложим конфеты в один карман, их количество будет определяться суммой 3+5 . Теперь из общего количества конфет мы отдадим 2 конфеты, при этом оставшееся у нас количество конфет будет определяться следующей разностью (3+5)−2 .
Во-вторых, мы можем отдать 2 конфеты, достав их из первого кармана. В этом случае разность 3−2 определяет оставшееся количество конфет в первом кармане, а общее количество оставшихся у нас конфет будет определяться суммой (3−2)+5 .
В-третьих, мы можем отдать 2 конфеты из второго кармана. Тогда разность 5−2 будет соответствовать количеству оставшихся конфет во втором кармане, а общее оставшееся количество конфет определит сумма 3+(5−2) .
Ясно, что во всех случаях у нас останется одинаковое количество конфет. Следовательно, справедливы равенства (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) .
Если бы нам пришлось отдать не 2 , а 4 конфеты, то мы могли бы это сделать двумя способами. Во-первых, отдать 4 конфеты, предварительно сложив их все в один карман. В этом случае оставшееся количество конфет определяется выражением вида (3+5)−4 . Во-вторых, мы могли отдать 4 конфеты из второго кармана. В этом случае общее количество конфет дает следующая сумма 3+(5−4) . Понятно, что и в первом и во втором случае у нас останется одинаковое количество конфет, следовательно, справедливо равенство (3+5)−4=3+(5−4) .
Проанализировав результаты, полученные при решении предыдущих примеров, мы можем сформулировать свойство вычитания данного натурального числа из данной суммы двух чисел. Вычесть из данной суммы двух чисел данное натуральное число – это все равно, что вычесть данное число из одного из слагаемых, после чего сложить полученную разность и другое слагаемое . Следует оговориться, что вычитаемое число НЕ должно быть больше, чем слагаемое, из которого это число вычитается.
Запишем свойство вычитания натурального числа из суммы с помощью букв. Пусть a , b и c – некоторые натуральные числа. Тогда при условии, что a больше или равно c , справедливо равенство (a+b)−c=(a−c)+b , а при выполнении условия, что b больше или равно c , справедливо равенство (a+b)−c=a+(b−c) . Если и a и b больше или равно c , то справедливы оба последних равенства, и их можно записать следующим образом: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .
По аналогии можно сформулировать свойство вычитания натурального числа из суммы трех и большего количества чисел. В этом случае данное натуральное число можно вычесть из любого слагаемого (конечно, если оно больше или равно вычитаемому числу), и к полученной разности прибавить оставшиеся слагаемые.
Чтобы наглядно представить озвученное свойство, можно представить, что у нас много карманов, и в них находятся конфеты. Пусть нам нужно отдать 1 конфету. Понятно, что мы можем отдать 1 конфету из любого кармана. При этом не важно, из какого именно кармана мы ее отдадим, так как это не влияет на то количество конфет, которое у нас останется.
Приведем пример. Пусть a , b , c и d – некоторые натуральные числа. Если a>d или a=d , то разность (a+b+c)−d равна сумме (a−d)+b+c . Если b>d или b=d , то (a+b+c)−d=a+(b−d)+c . Если же c>d или c=d , то справедливо равенство (a+b+c)−d=a+b+(c−d) .
Следует отметить, что свойство вычитания натурального числа из суммы трех и большего количества чисел не является новым свойством, так как оно следует из свойств сложения натуральных чисел и свойства вычитания числа из суммы двух чисел.
Список литературы.
- Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
- Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.
Тема, которой посвящен этот урок, - «Свойства сложения».На нем вы познакомитесь с переместительным и сочетательным свойствами сложения, рассмотрев их на конкретных примерах. Узнаете, в каких случаях можно ими пользоваться, чтобы сделать процесс вычисления более простым. Проверочные примеры помогут определить, насколько хорошо вы усвоили изученный материал.
Урок: Свойства сложения
Внимательно посмотрите на выражение:
9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3
Нам нужно найти его значение. Давайте это сделаем.
9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40
Результат выражения 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Скажите, удобно ли было вычислять? Вычислять было не совсем удобно. Посмотрите еще раз на числа этого выражения. Нельзя ли их поменять местами так, чтобы вычисления были более удобными?
Если мы перегруппируем числа по-другому:
9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40
Окончательный результат выражения 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Мы видим, что результаты выражений получились одинаковые.
Слагаемые можно менять местами, если это удобно для вычислений, и значение суммы от этого не изменится.
В математике существует закон: Переместительный закон сложения . Он гласит, что от перестановки слагаемых сумма не изменяется.
Дядя Федор и Шарик поспорили. Шарик находил значение выражения так, как оно записано, а дядя Федор сказал, что знает другой, более удобный способ вычисления. Видите ли вы более удобный способ вычисления?
Шарик решал выражение так, как оно записано. А дядя Федор, сказал, что знает закон, который разрешает менять слагаемые местами, и поменял местами числа 25 и 3.
37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62
37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40
Мы видим, что результат остался таким же, но считать стало гораздо проще.
Посмотрите на следующие выражения и прочитайте их.
6 + (24 + 51) = 81 (к 6 прибавить сумму 24 и 51)
Нет ли удобного способа для вычисления?
Мы видим, что если прибавить 6 и 24, то мы получим круглое число. К круглому числу всегда легче что-то прибавлять. Возьмем в скобки сумму чисел 6 и 24.
(6 + 24) + 51 = …
(к сумме чисел 6 и 24 прибавить 51)
Вычислим значение выражения и посмотрим, изменилось ли значение выражения?
6 + 24 = 30
30 + 51 = 81
Мы видим, что значение выражения осталось прежним.
Потренируемся еще на одном примере.
(27 + 19) + 1 = 47 (к сумме чисел 27 и 19 прибавить 1)
Какие числа удобно сгруппировать так, чтобы получился удобный способ?
Вы догадались, что это числа 19 и 1. Сумму чисел 19 и 1 возьмем в скобки.
27 + (19 + 1) = …
(к 27 прибавить сумму чисел 19 и 1)
Найдем значение этого выражения. Мы помним, что сначала выполняется действие в скобках.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47
Значение нашего выражения осталось таким же.
Сочетательный закон сложения : два соседних слагаемых можно заменить их суммой.
Теперь потренируемся пользоваться обоими законами. Нам нужно вычислить значение выражения:
38 + 14 + 2 + 6 = …
Сначала воспользуемся переместительным свойством сложения, которое разрешает менять слагаемые местами. Поменяем местами слагаемые 14 и 2.
38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …
Теперь воспользуемся сочетательным свойством, которое разрешает нам два соседних слагаемых заменять их суммой.
38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…
Сначала узнаем значение суммы 38 и 2.
Теперь сумму 14 и 6.
3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» ().
Сделай дома
1. Вычислите сумму слагаемых по-разному:
а) 5 + 3 + 5 б) 7 + 8 + 13 в) 24 + 9 + 16
2. Вычислите результаты выражений:
а) 19 + 4 + 16 + 1 б) 8 + 15 + 12 + 5 в) 20 + 9 + 30 + 1
3. Вычислите сумму удобным способом:
а) 10 + 12 + 8 + 20 б) 17 + 4 + 3 + 16 в) 9 + 7 + 21 + 13