ღილაკზე „არქივის ჩამოტვირთვა“ დაწკაპუნებით თქვენ სრულიად უფასოდ გადმოტვირთავთ თქვენთვის საჭირო ფაილს.
სანამ ამ ფაილს ჩამოტვირთავთ, იფიქრეთ იმ კარგ ესეებზე, ტესტებზე, კურსებზე, დისერტაციებზე, სტატიებსა და სხვა დოკუმენტებზე, რომლებიც თქვენს კომპიუტერში არ არის მოთხოვნილი. ეს თქვენი საქმეა, ის უნდა მონაწილეობდეს საზოგადოების განვითარებაში და სარგებელს მოუტანს ხალხს. იპოვეთ ეს ნამუშევრები და წარუდგინეთ ცოდნის ბაზას.
ჩვენ და ყველა სტუდენტი, კურსდამთავრებულები, ახალგაზრდა მეცნიერები, რომლებიც იყენებენ ცოდნის ბაზას სწავლასა და მუშაობაში, ძალიან მადლობელი ვიქნებით თქვენი.

დოკუმენტით არქივის ჩამოსატვირთად, ქვემოთ მოცემულ ველში შეიყვანეთ ხუთნიშნა ნომერი და დააჭირეთ ღილაკს „არქივის ჩამოტვირთვა“

მსგავსი დოკუმენტები

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა მარტივი გამეორების მეთოდით. ფუნქციის პოლინომური ინტერპოლაცია ნიუტონის მეთოდით გაყოფილი სხვაობებით. ფუნქციის საშუალო კვადრატული მიახლოება. ფუნქციების რიცხვითი ინტეგრაცია გაუსის მეთოდით.

კურსის სამუშაო, დამატებულია 04/14/2009


რიცხვითი მეთოდები არის ალგორითმების ერთობლიობა, რომელიც იძლევა მათემატიკური ამოცანების მიახლოებითი (რიცხობრივი) ამონახსნების მიღების საშუალებას. ორი სახის შეცდომა, რომლებიც წარმოიქმნება პრობლემების გადაჭრისას. ფუნქციის ნულების პოვნა. ნახევრად გაყოფის მეთოდი. აკორდის მეთოდი

ლექციების კურსი, დამატებულია 03/06/2009


განსაზღვრული ინტეგრალის ცნება, მისი გეომეტრიული მნიშვნელობა. განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლის რიცხვითი მეთოდები. ფორმულები მართკუთხედებისა და ტრაპეციებისთვის. Mathcad პაკეტის გამოყენება ინტეგრალების გამოსათვლელად, გაანგარიშების შედეგების შემოწმება Mathcad-ის გამოყენებით.

კურსის სამუშაო, დამატებულია 03/11/2013


წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნის რიცხვითი მეთოდები: გაუსიანი, მარტივი გამეორება, სეიდელი. ფუნქციების მიახლოების და ინტერპოლაციის მეთოდები: განუსაზღვრელი კოეფიციენტები, უმცირესი კვადრატები. არაწრფივი განტოლებების ამონახსნები და განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლა.

კურსის სამუშაო, დამატებულია 04/27/2011


ინტერპოლაციის შეცდომის შეფასების მეთოდები. ინტერპოლაცია ალგებრული მრავალწევრებით. საუკეთესო საშუალო კვადრატული მიახლოების ალგებრული მრავალწევრების აგება. ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებისთვის კოშის ამოცანის ამოხსნის რიცხვითი მეთოდები.

ლაბორატორიული სამუშაო, დამატებულია 14.08.2010წ


არაწრფივი განტოლებების ამოხსნა ტანგენტის მეთოდით (ნიუტონი), ამ პროცესის თავისებურებები და ეტაპები. ფუნქციების ინტერპოლაციის მექანიზმი და რიცხვითი ინტეგრაცია. პირველი რიგის ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებების სავარაუდო ამოხსნა ეილერის მეთოდით.

კურსის სამუშაო, დამატებულია 16/12/2015


უპირობო ექსტრემის ძიების რიცხვითი მეთოდები. შეუზღუდავი მინიმიზაციის პრობლემები. ფუნქციის მინიმუმის გამოთვლა კოორდინატთა დაღმართის მეთოდით. ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანების ამოხსნა გრაფიკული და სიმპლექსის მეთოდების გამოყენებით. MathCAD პროგრამასთან მუშაობა.

კურსის სამუშაო, დამატებულია 04/30/2011

3. ფუნქციის საშუალო კვადრატული მიახლოება

3.1 პრობლემის განცხადება

შეიმუშავეთ ალგორითმის დიაგრამა და დაწერეთ პროგრამა Turbo Pascal 7.0-ში, რათა შეასრულოს კვანძებში მითითებული ფუნქციის ძირეული საშუალო კვადრატული დაახლოება.

3.2 ამოცანის მათემატიკური ფორმულირება

მოდით იყოს ფუნქციების ერთობლიობა, რომელიც მიეკუთვნება ფუნქციების ხაზოვან სივრცეს. ინტერპოლირებული და ინტერპოლირებული ფუნქციების საშუალო სიახლოვეში ვგულისხმობთ ინტეგრალის შეფასების შედეგს

, (3.1)

სად არის წონის ფუნქცია.

ამ მიახლოებას ეწოდება ფესვის საშუალო კვადრატი.

3.3 პრობლემის გადაჭრის არსებული რიცხვითი მეთოდების მიმოხილვა

ფესვ-საშუალო კვადრატის მიახლოების პრობლემა ჩნდება გამოყენებითი კვლევის ბევრ სფეროში, მაგალითად, ექსპერიმენტული მონაცემების სტატისტიკურ დამუშავებაში რეგრესიის ანალიზის გამოყენებით, მოდელის პარამეტრების შეფასებისას, ფილტრაციის პრობლემების დროს და ა.შ.

როდესაც f(x i), i=1..m მიახლოებითი ფუნქციის განსაზღვრისას გაურკვევლობის დონე საკმარისად დიდია, რაც დამახასიათებელია ექსპერიმენტული მონაცემების დასამუშავებლად, აზრი არ აქვს ინტერპოლაციის პირობების დაკმაყოფილების მოთხოვნას; გარდა ამისა, f(x i) ფუნქციის მითითებისთვის ქულების რაოდენობა ხშირად ძალიან დიდია. ეს ყველაფერი ინტერპოლაციის გამოყენებას არაპერსპექტიულს ხდის მაღალგანზომილებიანი პრობლემის ცუდი პირობითობისა და ინტერპოლაციის პროცესის კონვერგენციის პრობლემების გამო.

ერთ-ერთი უმარტივესი და ამიტომ ფართოდ გამოყენებული მიახლოებითი ფუნქციაა ალგებრული მრავალწევრი

ფესვ-საშუალო კვადრატის მიახლოების მეთოდი უზრუნველყოფს Pn(x) მრავალწევრის აგებას, მნიშვნელობის მინიმიზაციის საფუძველზე.

განხილული მიახლოების მეთოდი ამცირებს მიახლოებითი პოლინომის ფესვ-საშუალო კვადრატის გადახრას მიახლოებითი ფუნქციიდან, მაგრამ არ იძლევა გარანტიას მნიშვნელოვანი ლოკალური შეცდომების წინააღმდეგ. ამ შესაძლებლობის თავიდან ასაცილებლად გამოიყენება საუკეთესო ერთგვაროვანი მიახლოების პოლინომები.

პარამეტრულ სივრცეში a 0 , a 1 ,...,a n. არსებობს D(a) ფუნქციის მინიმიზაციის პრობლემის გადაჭრის სხვადასხვა მიდგომა. მათგან უმარტივესი იწვევს წრფივი ალგებრული განტოლებების ნორმალური სისტემის ამოხსნის აუცილებლობას

თუმცა, უკვე n > 5-ისთვის ასეთი სისტემის მატრიცა აღმოჩნდება ისეთი ცუდ მდგომარეობაში, რომ (3.4)-დან მიღებული j-ის მნიშვნელობები ნაკლებად გამოდგება P n (x) გამოსათვლელად. ამიტომ, თუ საჭიროა უმაღლესი ხარისხის საუკეთესო საშუალო კვადრატული მიახლოების პოლინომების აგება, გამოიყენება სხვა ალგორითმები, მაგალითად, სინგულარული მნიშვნელობის დაშლის მეთოდი.

3.4 ამოცანის გადაჭრის რიცხვითი მეთოდი

ორი პრობლემა შეიძლება განვიხილოთ:

1 - აირჩიეთ ფუნქცია ისე, რომ უტოლობა დაკმაყოფილდეს

2 - იპოვნეთ საუკეთესო მიახლოება, ე.ი. ისეთ ფუნქციას რომ მიმართება მოქმედებს

. (3.6)

მოდით გავაფართოვოთ ფუნქცია ხაზოვანი დამოუკიდებელი ფუნქციების სისტემაში:

. (3.7)

მომავალში, აღნიშვნის შესამცირებლად, ჩვენ გამოვიყენებთ სკალარული პროდუქტის განმარტებას ფუნქციების სივრცეში:

.

(3.7) (3.6) პირობით ჩანაცვლებით, ვიღებთ

ამ გამოთქმის დიფერენცირება და წარმოებულების ნულთან გათანაბრება, მივიღებთ

. (3.8)

ამ სისტემის განმსაზღვრელი არის ფუნქციების გრამის განმსაზღვრელი. მათი წრფივი დამოუკიდებლობის გამო, ეს განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი. შესაბამისად, სისტემიდან (3.8) შეიძლება მოიძებნოს კოეფიციენტები, რომლებიც განსაზღვრავენ ფუნქციას (3.6) და მინიმუმამდე ამცირებენ შეცდომის ინტეგრალს. . ამრიგად, საუკეთესო ფესვის საშუალო კვადრატის მიახლოება არსებობს და ის უნიკალურია.

ფუნქციების ორთონორმალური სისტემის გამოყენებისას სისტემა (3.8) გამარტივებულია:

,

იმათ. არის ფურიეს კოეფიციენტები და საუკეთესო მიახლოება არის ფურიეს სერია, რომელიც მთავრდება რომელიმე ტერმინზე.

დადასტურებულია, რომ ნებისმიერ წრფივად ნორმირებულ სივრცეში, ფორმის (3.4) წრფივი მიახლოებით, საუკეთესო მიახლოება არსებობს, თუმცა ის შეიძლება არ იყოს ერთადერთი.

იმ შემთხვევებში, როდესაც ფუნქციები არ არის ორთოგონალური, გრამის განმსაზღვრელი მცირდება, უახლოვდება ნულს. შემდეგ სისტემა ცუდ მდგომარეობაში ხდება და მისი ამოხსნა იძლევა დიდ შეცდომას. ამ სიტუაციაში, როგორც წესი, ჯამში მიიღება არაუმეტეს ხუთი ან ექვსი ვადა (3.7).

ყველაზე ხშირად გამოყენებული მრავალწევრებია ლეჟანდრის, ჩებისევის, ლაგერის, ჰერმიტის მრავალწევრები, ორთოგონალური მოცემული წონით.

განვიხილოთ სპეციალური შემთხვევა, როდესაც საჭიროა ცხრილში მოცემული ფუნქციის საუკეთესო მიახლოების პოვნა. წერტილთა სასრულ სიმრავლეზე განსაზღვრული რეალური ფუნქციებისთვის, სკალარული ნამრავლი განისაზღვრება ფორმულით

, (3.9)

სად არის მითითებული კვანძების რაოდენობა.

საუკეთესო ფესვ-საშუალო კვადრატის მიახლოების პირობა იწერება შემდეგნაირად:

. (3.10)

სჯეროდა , სადაც და ამ მრავალწევრის ჩანაცვლებით (3.10), მივდივართ სისტემაში (3.8), რომელშიც სკალარული პროდუქტები გამოითვლება (3.9) მიხედვით. აღწერილ მიახლოების პროცედურას ეწოდება უმცირესი კვადრატების მეთოდი.

უმცირესი კვადრატების მეთოდის ყველაზე გავრცელებული ვერსია შეესაბამება სიმძლავრის ფუნქციების შემთხვევას, ე.ი. , და .

განტოლებათა სისტემა (3.8) შემდეგ იღებს ფორმას

, , (3.11)

ჩამოყალიბდეს აბსტრაქციისა და განზოგადების უფრო მაღალი დონე, ვიდრე ის, რაზეც ორიენტირებული იყო ტრადიციული სწავლება“. შესაბამისად, სწავლების ტრადიციულ ფორმებს არ ძალუძს დაწყებითი სკოლის მოსწავლეების მათემატიკური აზროვნება უფრო მაღალ დონეზე აიყვანოს. როგორ წყვეტს ამ პრობლემას არატრადიციული განათლება? მათემატიკური აზროვნების რა თვისებებს ავითარებს არასტანდარტული ამოცანების ამოხსნა? ვო-...

სხვადასხვა ტოპოლოგიის საფუძველზე აგებული ქსელი. მენეჯერების პროფესიული საქმიანობისთვის განკუთვნილი აპლიკაციური სისტემების პროგრამული უზრუნველყოფა მოიცავს: · სისტემურ პროგრამულ უზრუნველყოფას; · ძირითადი აპლიკაციის პროგრამული პაკეტები; · კომპიუტერების ქსელის მხარდაჭერის ინსტრუმენტები ლოკალურ და გლობალურ ქსელებში; · აპლიკაციის პროგრამირების სისტემები; · სატესტო პროგრამული უზრუნველყოფა. ...

ალტმანის დისკრეტული ფუნქციების გასათანაბრებლად და ამით თეორიაში უწყვეტობის იდეის დანერგვის მიზნით, გამოყენებული იქნა ფესვი-საშუალო კვადრატული ინტეგრალური მიახლოება სხვადასხვა ხარისხის მრავალწევრებით.

ცნობილია, რომ თანაბარი მანძილის კვანძებში ინტერპოლაციის პოლინომების თანმიმდევრობა აუცილებლად არ ემთხვევა ფუნქციას, მაშინაც კი, თუ ფუნქცია უსასრულოდ დიფერენცირებადია. სავარაუდო ფუნქციისთვის, კვანძების შესაფერისი განლაგების გამოყენებით, შესაძლებელია მრავალწევრის ხარისხის შემცირება. . ალტმანის ფუნქციების სტრუქტურა ისეთია, რომ უფრო მოსახერხებელია ფუნქციის მიახლოების გამოყენება არა ინტერპოლაციის გზით, არამედ ნორმალიზებულ ხაზოვან სივრცეში საუკეთესო საშუალო კვადრატული მიახლოების აგებით. საუკეთესო მიახლოების აგებისას განვიხილოთ ძირითადი ცნებები და ინფორმაცია. მიახლოების და ოპტიმიზაციის ამოცანები დასმულია ხაზოვან ნორმირებულ სივრცეებში.

მეტრული და წრფივი ნორმირებული სივრცეები

მათემატიკაში ყველაზე ფართო ცნებები მოიცავს "კომპლექტს" და "რუქას". ცნებები "კომპლექტი", "კომპლექტი", "კოლექცია", "ოჯახი", "სისტემა", "კლასი" არამკაცრ სიმრავლეების თეორიაში სინონიმად ითვლება.

ტერმინი "ოპერატორი" იდენტურია ტერმინი "რუკების". ტერმინები „ოპერაცია“, „ფუნქცია“, „ფუნქციური“, „ღონისძიება“ ცნება „რუკის“ განსაკუთრებული შემთხვევებია.

ტერმინებმა „სტრუქტურა“ და „სივრცე“ ასევე შეიძინეს ფუნდამენტური მნიშვნელობა მათემატიკური თეორიების აქსიომატურ კონსტრუქციაში. მათემატიკური სტრუქტურები მოიცავს სიმრავლე-თეორიულ სტრუქტურებს (მოწესრიგებული და ნაწილობრივ დალაგებული სიმრავლეები); აბსტრაქტული ალგებრული სტრუქტურები (ნახევრადჯგუფები, ჯგუფები, რგოლები, გაყოფის რგოლები, ველები, ალგებრები, გისოსები); დიფერენციალური სტრუქტურები (გარე დიფერენციალური ფორმები, ბოჭკოვანი სივრცეები) , , , , , , .

სტრუქტურა გაგებულია, როგორც სასრული ნაკრები, რომელიც შედგება მატარებლის (მთავარი ნაკრები), რიცხვითი ველის (დამხმარე ნაკრები) და მატარებლის ელემენტებზე და ველის ნომრებზე განსაზღვრული რუკებისგან. თუ რთული რიცხვების სიმრავლე მიიღება მატარებლად, მაშინ ის ასრულებს როგორც ძირითადი, ასევე დამხმარე სიმრავლის როლს. ტერმინი „სტრუქტურა“ იდენტურია „სივრცის“ ცნებისა.

სივრცის დასადგენად, ჯერ უნდა განისაზღვროს მატარებლის ნაკრები თავისი ელემენტებით (წერტილებით), რომლებიც აღინიშნება ლათინური და ბერძნული ასოებით.

მატარებელი შეიძლება იყოს რეალური (ან რთული) ელემენტების ნაკრები: რიცხვები; ვექტორები, ; მატრიცები, ; თანმიმდევრობები, ; ფუნქციები;

შემდეგ კომპლექტებს შეუძლიათ აგრეთვე იმოქმედონ გადამზიდავ ელემენტებად: რეალური ღერძი, სიბრტყე, სამგანზომილებიანი (და მრავალგანზომილებიანი) სივრცე, პერმუტაცია, მოძრაობა; აბსტრაქტული კომპლექტები.

განმარტება. მეტრიკული სივრცე არის სტრუქტურა, რომელიც ქმნის სამეულს, სადაც რუქა არის ორი არგუმენტის არაუარყოფითი რეალური ფუნქცია M-დან ნებისმიერი x და y და აკმაყოფილებს სამ აქსიომას.

• 1- არანეგატიურობა; , ზე.
• 2- - სიმეტრია;
• 3- - რეფლექსურობის აქსიომა.

სად არის მანძილი ელემენტებს შორის.

მეტრულ სივრცეში მითითებულია მეტრიკა და ყალიბდება მატარებლის სიმრავლიდან ორი ელემენტის სიახლოვის კონცეფცია.

განმარტება. რეალური წრფივი (ვექტორული) სივრცე არის სტრუქტურა, სადაც რუქა არის მიკუთვნებული ელემენტების დამატების დანამატი ოპერაცია, ხოლო რუქა არის ელემენტზე რიცხვის გამრავლების ოპერაცია.

ოპერაცია ნიშნავს, რომ ნებისმიერი ორი ელემენტისთვის მესამე ელემენტი ცალსახად არის განსაზღვრული, რომელსაც ეწოდება მათი ჯამი და აღინიშნება, და მოქმედებს შემდეგი აქსიომები.

კომუტაციური თვისება.

ასოციაციური საკუთრება.

მასში არის სპეციალური ელემენტი, რომელიც აღინიშნება იმით, რომ ნებისმიერისთვის ის მოქმედებს.

ვინმესთვის არსებობს, ისეთი რომ.

ელემენტს უწოდებენ საპირისპირო და აღინიშნება მეშვეობით.

ოპერაცია ნიშნავს, რომ ნებისმიერი ელემენტისთვის და ნებისმიერი რიცხვისთვის არის განსაზღვრული ელემენტი, აღინიშნება და დაკმაყოფილებულია აქსიომები:

წრფივი სივრცის ელემენტს (წერტილს) ვექტორსაც უწოდებენ. აქსიომები 1 - 4 განსაზღვრავს ჯგუფს (დანამატს), რომელსაც ეწოდება მოდული, რომელიც არის სტრუქტურა.

თუ სტრუქტურაში ოპერაცია არ ემორჩილება არცერთ აქსიომას, მაშინ ასეთ სტრუქტურას ჯგუფოიდი ეწოდება. ეს სტრუქტურა უკიდურესად ღარიბია; ის არ შეიცავს ასოციაციურობის რაიმე აქსიომას, მაშინ სტრუქტურას ეწოდება მონოიდი (ნახევრადჯგუფი).

სტრუქტურაში, რუკების და 1-8 აქსიომების გამოყენებით, მითითებულია წრფივობის თვისება.

ასე რომ, წრფივი სივრცე არის ჯგუფური მოდული, რომლის სტრუქტურას ემატება კიდევ ერთი ოპერაცია - მატარებლის ელემენტების გამრავლება რიცხვზე 4 აქსიომით. თუ ოპერაციის ნაცვლად, სხვა ჯგუფურ ოპერაციასთან ერთად დავაზუსტებთ ელემენტების გამრავლების 4 აქსიომას და დავადგენთ განაწილების აქსიომას, მაშინ წარმოიქმნება სტრუქტურა, რომელსაც ველი ეწოდება.

განმარტება. წრფივი ნორმირებული სივრცე არის სტრუქტურა, რომელშიც რუკა აკმაყოფილებს შემდეგ აქსიომებს:

• 1. და თუ და მხოლოდ თუ.
• 2. , .
• 3. , .

და ასე შემდეგ სულ 11 აქსიომაში.

მაგალითად, თუ მოდული, რომელსაც აქვს სამივე ნორმის თვისება, დაემატება რეალური რიცხვების ველის სტრუქტურას, სადაც არის რეალური რიცხვები, მაშინ რეალური რიცხვების ველი იქცევა ნორმალურ სივრცედ.

ნორმის შემოღების ორი გავრცელებული გზა არსებობს: ან ჰომოგენურად ამოზნექილი ფუნქციის ინტერვალის ფორმის ცალსახად მითითებით, ან სკალარული ნამრავლის მითითებით.

მოდით, მაშინ ფუნქციის ტიპი შეიძლება განისაზღვროს მრავალი გზით, მნიშვნელობის შეცვლით:

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

ამოცანასთან მიახლოების მეორე გავრცელებული გზა არის სივრცის სტრუქტურაში სხვა რუკის შეყვანა (ორი არგუმენტის ფუნქცია, რომელიც ჩვეულებრივ აღინიშნება და ეწოდება სკალარული პროდუქტი).

განმარტება. ევკლიდური სივრცე არის სტრუქტურა, რომელშიც სკალარული პროდუქტი შეიცავს ნორმას და აკმაყოფილებს აქსიომებს:

• 4. , და თუ და მხოლოდ თუ

ევკლიდეს სივრცეში ნორმა წარმოიქმნება ფორმულით

სკალარული პროდუქტის 1 - 4 თვისებებიდან გამომდინარეობს, რომ ნორმის ყველა აქსიომა დაკმაყოფილებულია. თუ სკალარული პროდუქტი ფორმაშია, მაშინ ნორმა გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით

სივრცის ნორმის დაზუსტება შეუძლებელია სკალარული პროდუქტის გამოყენებით.

სკალარული ნამრავლის მქონე სივრცეებში ჩნდება ისეთი თვისებები, რომლებიც არ არსებობს ხაზოვან ნორმალურ სივრცეებში (ელემენტების ორთოგონალურობა, პარალელოგრამის ტოლობა, პითაგორას თეორემა, აპოლონიუსის იდენტურობა, პტოლემეოსის უტოლობა. სკალარული პროდუქტის დანერგვა იძლევა მიახლოების ამოცანების უფრო ეფექტურად გადაჭრის გზებს. .

განმარტება. ელემენტების უსასრულო თანმიმდევრობას წრფივი ნორმირებული სივრცეში ეწოდება ნორმა-კონვერგენციული (უბრალოდ კონვერგენციული ან შეზღუდვის მქონე), თუ არსებობს ისეთი ელემენტი, რომ ნებისმიერისთვის არის ისეთი რიცხვი, რომელიც დამოკიდებულია იმაზე, რომ

განმარტება. ელემენტების თანმიმდევრობას ფუნდამენტური ეწოდება, თუ რომელიმესთვის არის რიცხვი იმისდა მიხედვით, თუ რა დაკმაყოფილებულია (ტრენოგინ კოლმოგოროვი, კანტოროვიჩი, გვ. 48)

განმარტება. ბანახის სივრცე არის სტრუქტურა, რომელშიც ნებისმიერი ფუნდამენტური თანმიმდევრობა ემთხვევა ნორმას.

განმარტება. ჰილბერტის სივრცე არის სტრუქტურა, რომელშიც ნებისმიერი ფუნდამენტური თანმიმდევრობა იყრის თავს სკალარული პროდუქტის მიერ წარმოქმნილ ნორმასთან მიმართებაში.

ლაბორატორიული სამუშაოები

ცხრილით მოცემული ფუნქციების საშუალო კვადრატული მიახლოება უმცირესი კვადრატის მეთოდის გამოყენებით

სამიზნე: მოსწავლეების გაცნობა ცხრილით განსაზღვრული ფუნქციების ინტერპოლაციისა და მიახლოების ძირითადი მეთოდების შესახებ. ასეთი ფუნქციების დაახლოების სფეროში მიღებული ცოდნის პრაქტიკაში კონსოლიდაცია.

დავალება: ასწავლოს სტუდენტებს მიღებული თეორიული ცოდნის პრაქტიკული გამოყენება მრავალწევრებით ექსპერიმენტული შედეგების გათანაბრების ამოცანების ამოხსნისას, როგორც ასეთი ამოცანების ალგორითმიზაციაში, ასევე მათ პროგრამირებაში.

თეორიული დებულებები

ინტერპოლაცია და დაახლოება

პრაქტიკაში, სიტუაცია ხშირად ხდება, როდესაც ზოგიერთი ფუნქციონირებს ვ(x) მოცემულია მისი მნიშვნელობების ცხრილით ცალკეულ წერტილებზე X = x 0 , x 1 , … , x n [ა, ბ], მაგალითად, მოწყობილობის დისკრეტული წაკითხვები დროთა განმავლობაში, მაგრამ ფუნქცია უნდა გამოითვალოს ვ(x) ზოგიერთ შუალედურ წერტილში. ეს პრობლემა შეიძლება მოგვარდეს დაახლოებით ფუნქციის შეცვლით ვ(x) უფრო მარტივი უწყვეტი ფუნქცია ფ(x). ასეთი ჩანაცვლების ორი ძირითადი გზა არსებობს: ინტერპოლაციადა დაახლოება.

არსი ინტერპოლაცია– ასეთი ადვილად გამოთვლილი ფუნქციის აგებაში ფ(x), რომელიც ემთხვევა ფუნქციას ვ(x) წერტილებში X = x 0 , x 1 , … , x n. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფუნქციის გრაფიკი ფ(x) თვითმფრინავში ოჰოოუნდა გაიაროს ქულები X = x 0 , x 1 , … , x n, რომელშიც მითითებულია ფუნქცია ვ(x). ამავე დროს, ქულა X = x 0 , x 1 , … , x nეწოდება ინტერპოლაციის კვანძები და ფუნქცია ფ(x) – ინტერპოლაცია. უმეტეს შემთხვევაში, პოლინომები არჩეულია ინტერპოლაციის ფუნქციად. ამრიგად, წრფივი ინტერპოლაცია შედგება წერტილების მარტივი თანმიმდევრული კავშირისგან ( x 0 , ვ(x 0)), (x 1 , ვ(x 1)), … ,

(x n, ვ(x n)) სწორი სეგმენტებით, ე.ი. მშენებლობაში ნპირველი ხარისხის მრავალწევრები. ფუნქციის ღირებულება ვ(x) წერტილში X*, სად X* (x i,x i +1), მე = 0, 1, … , ნ– 1, გამოითვლება ამ შემთხვევაში საკმაოდ მარტივად:

ვ(x*) = ვ(x i) + · ( X*–x i).

კვადრატული ინტერპოლაცია შედგება პარაბოლებით ინტერპოლაციის კვანძების თანმიმდევრული სამეულის შეერთებისგან. კუბური ინტერპოლაცია – ოთხმაგი – კუბური პარაბოლები და ა.შ. ხარისხის ინტერპოლაციის პოლინომები ( ნ– 1) არის გლუვი ფუნქციები, რომლებიც გადის ყველა ინტერპოლაციის კვანძში. ფუნქციის კავშირზე დამატებითი პირობების დაწესებისას ფ(x) წერტილებზე ( x 1 , ვ(x 1)), (x 2 , ვ(x 2)), … , (x n -1 , ვ(x n-1)) ვიღებთ ე.წ სლაინის ინტერპოლაცია. შემუშავებულია მრავალი მეთოდი ინტერპოლაციის პოლინომების ასაგებად: ნიუტონი, სტერლინგი, ლაგრანჟი და ა.შ.

ხშირ შემთხვევაში, ფუნქციის მნიშვნელობების არსებობა ნ+ 1 კვანძი, მოსახერხებელია ინტერპოლაციის პოლინომის ნაცვლად ხარისხის მრავალწევრის პოვნა მ<ნ, რაც კარგად დაახლოვდება მოცემულ ფუნქციას. ამავე დროს, ფუნქციების დამთხვევის მოთხოვნა ვ(x) და ფ(x) წერტილებში ( x 0 , ვ(x 0)), (x 1 , ვ(x 1)), … , (x n, ვ(x n)) ჩანაცვლებულია ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის მთლიანი გადახრის მინიმიზაციის მოთხოვნით ვ(x) და ფ(x) წერტილებში X = x 0 , x 1 , … , x n.

მშენებლობის ერთ-ერთი მთავარი მეთოდი დაახლოებაპოლინომი არის უმცირესი კვადრატების მეთოდი, რომელიც მოითხოვს, რომ ფუნქციის მნიშვნელობებსა და კვანძებში მიახლოებითი ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის კვადრატული გადახრების ჯამი მინიმალური უნდა იყოს. რატომ კვადრატები? იმის გამო, რომ თავად ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის გადახრები შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი, და მათი ჯამი არ იძლევა ჭეშმარიტ წარმოდგენას ფუნქციებს შორის განსხვავებაზე დადებითი და უარყოფითი მნიშვნელობების კომპენსაციის გამო. თქვენ შეგიძლიათ აიღოთ გადახრების მოდულები, მაგრამ ამ გადახრების დადებითი კვადრატები უფრო მოსახერხებელია გამოსაყენებლად.

ცხრილით განსაზღვრული ფუნქციების საშუალო კვადრატული დაახლოება

(უმცირესი კვადრატის მეთოდი)

შეუშვით კვანძები x 0 , x 1 , … , x nჩვენ გვაქვს ღირებულებები ზე 0 , ზე 1 , … , y nფუნქციები ვ(x). მრავალწევრებს შორის მხარისხი ( მ<ნ)

პ მ(x) = ა 0 + ა 1 x + ა 2 x 2 + … + მ x მ(1)

იპოვეთ ის, რომელიც გამოხატავს მინიმუმს

ს= .(2)

პოლინომის (1) კოეფიციენტები უცნობია. ჯამი (2) არის ამ კოეფიციენტების კვადრატული ფორმა. გარდა ამისა, ფორმულა (2) აჩვენებს, რომ ფუნქცია ს = ს(ა 0 , ა 1 , … , ვარ) არ შეუძლია მიიღოს უარყოფითი მნიშვნელობები. აქედან გამომდინარე, ფუნქციის მინიმალური სარსებობს.

ფუნქციის ექსტრემისთვის აუცილებელი პირობების გამოყენება ს = ს(ა 0 , ა 1 , … , ვარ), ვიღებთ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემას კოეფიციენტების დასადგენად ა 0 , ა 1 , … , ვარ:

, (კ = 0, 1, 2, … , მ)(3)

სჯეროდა ერთად გვ = , d გვ = , სისტემას (3) ვწერთ მატრიცის სახით

თანა = დ , (4)

თან = - სისტემის მატრიცა, ა = {ა 0 , ა 1 , … , ვარ} თ- უცნობის ვექტორი, დ = {დ 0 , დ 1 , … , დ მ} თ– სისტემის სწორი ნაწილების ვექტორი.

თუ კვანძებს შორის x 0 , x 1 , … , x nარანაირი შესატყვისი და მ ≤ ნ, მაშინ სისტემას (4) აქვს უნიკალური გადაწყვეტა ა 0 = ,ა 1 = , … , ვარ= . შემდეგ მრავალწევრი

= + x + x 2 + … + x მ

არის ხარისხის ერთადერთი მრავალწევრი მ, რომელსაც აქვს მინიმალური კვადრატული გადახრა ს* = სწთ.

ფუნქციის ფესვ-საშუალო კვადრატის მიახლოების შეცდომა ხასიათდება მნიშვნელობით δ = .

ფუნქციის მიახლოების უმარტივესი და ყველაზე ხშირად გამოყენებული ტიპი (საშუალო კვადრატული დაახლოება) არის წრფივი. მონაცემთა დაახლოება ( x i, y მე) ხორციელდება წრფივი ფუნქციით წ(X)= ნაჯახი+ბ. კოორდინატულ სიბრტყეზე ( x, წ) წრფივი ფუნქცია, როგორც ცნობილია, წარმოდგენილია სწორი ხაზით.

მაგალითი. გაასწორეთ წერტილთა სისტემა სწორ ხაზზე წ= ნაჯახი+ბ.

X	–1	0	1	2	3	4
ზე	0	2	3	3,5	3	4,5

სამუშაო ფურცლის აგება:

სამუშაო მაგიდა: არა.	x i	y მე	x i 2	x i y i	ცული i + b	ცული i + b–y მე	(ცული i + b–y მე) 2
1	–1	0	1	0	0,81	0,81	0,6561
2	0	2	0	0	1,55	–0,45	0,2025
3	1	3	1	3	2,29	–0,71	0,5041
4	2	3,5	4	7	3,03	–0,47	0,2209
5	3	3	9	9	3,77	0,77	0,5929
6	4	4,5	16	18	4,51	0,01	0,001
	9	16	31	37

a და b-ის განსაზღვრის სისტემა არის:ერთად მოვაგვაროთ

კრამერის ფორმულები:

Δ = = 105, Δ 1 = = 78, Δ 2 = = 163,

ა = = = 0,74, ბ = = = 1,55.

საჭირო განტოლება y= 0,74x+ 1,55.

ავიღოთ ნახევრად კვადრატული კოორდინატთა სისტემა. ეს არის კოორდინატთა სისტემა, რომელშიც აბსცისის ღერძზე მასშტაბი არის კვადრატული, ანუ დაყოფის მნიშვნელობები გამოსახულია გამოხატვის მიხედვით, აქ. მ -მასშტაბი სიგრძის ზოგიერთ ერთეულში, მაგალითად, სმ-ში.

წრფივი შკალა გამოსახულების შესაბამისად გამოსახულია ორდინატთა ღერძის გასწვრივ

მოდით გამოვსახოთ ექსპერიმენტული წერტილები ამ კოორდინატულ სისტემაზე. თუ ამ გრაფიკის წერტილები განლაგებულია დაახლოებით სწორ ხაზზე, მაშინ ეს ადასტურებს ჩვენს ვარაუდს, რომ დამოკიდებულება წსაწყისი xკარგად არის გამოხატული ფორმის (4.4) ფუნქციით. კოეფიციენტების მოსაძებნად ადა ბახლა შეგიძლიათ გამოიყენოთ ზემოთ განხილული ერთ-ერთი მეთოდი: დაჭიმული ძაფის მეთოდი, შერჩეული წერტილების მეთოდი ან საშუალო მეთოდი.

მჭიდრო ძაფის მეთოდიმოქმედებს ისევე, როგორც წრფივი ფუნქციისთვის.

შერჩეული ქულების მეთოდიჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ეს ასე. სწორხაზოვან გრაფიკზე აიღეთ ორი წერტილი (შორს ერთმანეთისგან). ჩვენ აღვნიშნავთ ამ წერტილების კოორდინატებს და ( x, y). მაშინ შეგვიძლია დავწეროთ

ორი განტოლების მოცემული სისტემიდან ვპოულობთ ადა ბჩაანაცვლეთ ისინი ფორმულაში (4.4) და მიიღეთ ემპირიული ფორმულის საბოლოო ფორმა.

თქვენ არ გჭირდებათ ხაზოვანი გრაფიკის შექმნა, მაგრამ აიღეთ რიცხვები, ( x, y) პირდაპირ მაგიდიდან. თუმცა, ქულების ასეთი არჩევანით მიღებული ფორმულა ნაკლებად ზუსტი იქნება.

მრუდი გრაფის სწორ გრაფად გადაქცევის პროცესს გაბრტყელება ეწოდება.

საშუალო მეთოდი. იგი გამოიყენება ისევე, როგორც წრფივი დამოკიდებულების შემთხვევაში. ექსპერიმენტულ ქულებს ვყოფთ ორ ჯგუფად, თითოეულ ჯგუფში ქულების ერთნაირი (ან თითქმის ერთნაირი) რაოდენობით. ტოლობას (4.4) გადავწერთ შემდეგნაირად

ვპოულობთ პირველი ჯგუფის ქულების ნარჩენების ჯამს და ვატოლებთ ნულს. ასე ვაკეთებთ მეორე ჯგუფის ქულებს. ჩვენ ვიღებთ ორ განტოლებას უცნობიებით ადა ბ. განტოლებათა სისტემის ამოხსნით, ვპოულობთ ადა ბ.

გაითვალისწინეთ, რომ ამ მეთოდის გამოყენებისას არ არის საჭირო მიახლოებითი სწორი ხაზის აგება. ნახევრად კვადრატულ კოორდინატულ სისტემაში სკატერის დიაგრამა საჭიროა მხოლოდ იმის დასადასტურებლად, რომ ფორმის (4.4) ფუნქცია შესაფერისია ემპირიული ფორმულისთვის.

მაგალითი. ქრონომეტრის მუშაობაზე ტემპერატურის გავლენის შესწავლისას მიღებული იქნა შემდეგი შედეგები:

ზ	-20	-15,4	-9,0	-5,4	-0,6	+4,8	+9,4
	2,6	2,01	1,34	1,08	0,94	1,06	1,25

ამ შემთხვევაში ჩვენ გვაინტერესებს არა თავად ტემპერატურა, არამედ მისი გადახრა. ამიტომ არგუმენტად ვიღებთ სად ტ- ტემპერატურა ცელსიუს გრადუსებში ჩვეულებრივი მასშტაბით.

დეკარტის კოორდინატთა სისტემაზე შესაბამისი წერტილების გამოსახვით, ჩვენ შევნიშნავთ, რომ პარაბოლა, რომლის ღერძი პარალელურია ორდინატთა ღერძით, შეიძლება მივიღოთ მიახლოებითი მრუდის სახით (ნახ. 4). ავიღოთ ნახევრად კვადრატული კოორდინატთა სისტემა და გამოვსახოთ მასზე ექსპერიმენტული წერტილები. ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს წერტილები საკმაოდ კარგად ჯდება სწორ ხაზზე. ასე რომ, ემპირიული ფორმულა

შეიძლება მოძებნოთ ფორმაში (4.4).

განვსაზღვროთ კოეფიციენტები ადა ბსაშუალო მეთოდის გამოყენებით. ამისათვის ექსპერიმენტულ პუნქტებს ვყოფთ ორ ჯგუფად: პირველ ჯგუფში - პირველი სამი ქულა, მეორეში - დარჩენილი ოთხი ქულა. ტოლობის (4.5) გამოყენებით ვპოულობთ თითოეული ჯგუფის ნარჩენების ჯამს და თითოეულ ჯამს ვატოლებთ ნულს.