განმარტებები:

ექსტრემალურიმოვუწოდებთ ფუნქციის მაქსიმალურ ან მინიმალურ მნიშვნელობას მოცემულ კომპლექტზე.

ექსტრემალური წერტილიარის წერტილი, სადაც მიიღწევა ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობა.

მაქსიმალური ქულაარის წერტილი, სადაც მიიღწევა ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა.

მინიმალური ქულაარის წერტილი, სადაც მიღწეულია ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობა.

ახსნა.

სურათზე x = 3 წერტილის სიახლოვეს ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას (ანუ ამ კონკრეტული წერტილის სიახლოვეს არ არის უფრო მაღალი წერტილი). x = 8-ის სამეზობლოში მას კვლავ აქვს მაქსიმალური მნიშვნელობა (მოდით კიდევ ერთხელ განვმარტოთ: სწორედ ამ სამეზობლოში არ არის უფრო მაღალი წერტილი). ამ წერტილებში მატება მცირდება. ეს არის მაქსიმალური ქულები:

x max = 3, x max = 8.

x = 5 წერტილის სიახლოვეს მიიღწევა ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობა (ანუ x = 5-ის სიახლოვეს ქვემოთ წერტილი არ არის). ამ დროს კლება ზრდის ადგილს ტოვებს. ეს არის მინიმალური ქულა:

მაქსიმალური და მინიმალური ქულებია ფუნქციის უკიდურესი წერტილებიდა ფუნქციის მნიშვნელობები ამ წერტილებში არის მისი უკიდურესობები.

ფუნქციის კრიტიკული და სტაციონარული წერტილები:

ექსტრემისთვის აუცილებელი პირობა:

საკმარისი პირობა ექსტრემისთვის:

სეგმენტზე ფუნქცია წ = ვ(x) შეუძლია მიაღწიოს თავის მინიმალურ ან მაქსიმალურ მნიშვნელობას კრიტიკულ წერტილებში ან სეგმენტის ბოლოებში.

უწყვეტი ფუნქციის შესწავლის ალგორითმიწ = ვ(x) ერთფეროვნებისა და ექსტრემისთვის:

კრიტიკული წერტილები– ეს ის წერტილებია, რომლებშიც ფუნქციის წარმოებული უდრის ნულს ან არ არსებობს. თუ წარმოებული 0-ის ტოლია, მაშინ ფუნქცია ამ ეტაპზე იღებს ადგილობრივი მინიმალური ან მაქსიმალური. ასეთ წერტილებზე გრაფიკზე ფუნქციას აქვს ჰორიზონტალური ასიმპტოტი, ანუ ტანგენსი არის Ox ღერძის პარალელურად.

ასეთ წერტილებს ე.წ სტაციონარული. თუ უწყვეტი ფუნქციის გრაფიკზე ხედავთ „კეხს“ ან „ხვრელს“, გახსოვდეთ, რომ მაქსიმუმი ან მინიმუმი მიღწეულია კრიტიკულ წერტილში. მაგალითისთვის ავიღოთ შემდეგი დავალება.

მაგალითი 1. იპოვეთ y=2x^3-3x^2+5 ფუნქციის კრიტიკული წერტილები.
გამოსავალი. კრიტიკული წერტილების პოვნის ალგორითმი შემდეგია:

ასე რომ, ფუნქციას აქვს ორი კრიტიკული წერტილი.

შემდეგი, თუ თქვენ გჭირდებათ ფუნქციის შესწავლა, მაშინ ჩვენ განვსაზღვრავთ წარმოებულის ნიშანს კრიტიკული წერტილიდან მარცხნივ და მარჯვნივ. თუ წარმოებული ცვლის ნიშანს „-“-დან „+“-მდე კრიტიკულ წერტილში გავლისას, მაშინ ფუნქცია იღებს ადგილობრივი მინიმალური. თუ "+"-დან "-"-მდე უნდა ადგილობრივი მაქსიმუმი.

მეორე ტიპის კრიტიკული წერტილებიეს არის წილადი და ირაციონალური ფუნქციების მნიშვნელის ნულები

ლოგარითმული და ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, რომლებიც არ არის განსაზღვრული ამ წერტილებში


მესამე ტიპის კრიტიკული წერტილებიაქვს ცალმხრივი უწყვეტი ფუნქციები და მოდულები.
მაგალითად, ნებისმიერ მოდულ ფუნქციას აქვს მინიმალური ან მაქსიმუმი შესვენების წერტილში.

მაგალითად მოდული y = | x -5 | წერტილში x = 5 აქვს მინიმუმი (კრიტიკული წერტილი).
წარმოებული მასში არ არსებობს, მაგრამ მარჯვნივ და მარცხნივ იღებს მნიშვნელობებს 1 და -1, შესაბამისად.

შეეცადეთ განსაზღვროთ ფუნქციების კრიტიკული წერტილები

1)
2)
3)
4)
5)

თუ პასუხი არის y, თქვენ მიიღებთ მნიშვნელობას
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
მაშინ უკვე იცი როგორ მოვძებნოთ კრიტიკული წერტილებიდა შეძლებს გაუმკლავდეს მარტივ ტესტს ან ტესტებს.

წინა დისკუსიებში ჩვენ საერთოდ არ გამოვიყენეთ დიფერენციალური გამოთვლების ტექნიკური მეთოდები.

ძნელია არ ვაღიაროთ, რომ ჩვენი ელემენტარული მეთოდები უფრო მარტივი და პირდაპირია, ვიდრე ანალიზის მეთოდები. ზოგადად, როდესაც საქმე ეხება კონკრეტულ მეცნიერულ პრობლემას, სჯობს მის ინდივიდუალურ მახასიათებლებს მივყვეთ, ვიდრე დაეყრდნოთ მხოლოდ ზოგადი მეთოდებითუმცა, მეორე მხრივ, ზოგადი პრინციპი, რომელიც განმარტავს გამოყენებული სპეციალური პროცედურების მნიშვნელობას, რა თქმა უნდა, ყოველთვის წამყვანი როლი უნდა შეასრულოს. ეს არის ზუსტად დიფერენციალური გამოთვლების მეთოდების მნიშვნელობა ექსტრემალური პრობლემების განხილვისას. დაფიქსირდა ში თანამედროვე მეცნიერებაგანზოგადების სურვილი საქმის მხოლოდ ერთ მხარეს წარმოადგენს, რადგან ის, რაც მათემატიკაში ნამდვილად სასიცოცხლო მნიშვნელობისაა, უეჭველად, განისაზღვრება განხილული პრობლემების ინდივიდუალური მახასიათებლებით და გამოყენებული მეთოდებით.

Მისი ისტორიული განვითარებადიფერენციალურ კალკულუსზე ძალიან დიდი გავლენა იქონია ინდივიდუალურმა პრობლემებმა, რომლებიც დაკავშირებულია ყველაზე დიდი და ყველაზე დაბალი ღირებულებებირაოდენობები კავშირი ექსტრემალურ პრობლემებსა და დიფერენციალურ გამოთვლებს შორის შეიძლება გავიგოთ შემდეგნაირად. VIII თავში დეტალურად შევისწავლით f(x) ფუნქციის f"(x) წარმოებულს და მის გეომეტრიულ მნიშვნელობას. იქ დავინახავთ, რომ მოკლედ რომ ვთქვათ, წარმოებული f"(x) არის დახრილობა. მრუდის ტანგენსი y = f(x)წერტილში (x, y). გეომეტრიულად აშკარაა, რომ მაქსიმალური ან მინიმალური წერტილებში გლუვი მრუდი y = f(x)მრუდის ტანგენსი აუცილებლად უნდა იყოს ჰორიზონტალური, ანუ დახრილობა უნდა იყოს ნული. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ პირობას ექსტრემალური წერტილებისთვის f"(x) = 0.

იმის გასაგებად, თუ რას ნიშნავს f"(x) წარმოებულის გაქრობა, განვიხილოთ ნახ. 191-ზე ნაჩვენები მრუდი. ჩვენ აქ ვხედავთ ხუთ წერტილს A, B, C, D, ?, რომლებშიც მრუდის ტანგენსი ჰორიზონტალურია. ავღნიშნოთ f(x)-ის შესაბამისი მნიშვნელობები ამ წერტილებში ა ბ ც დ ე. f(x)-ის უდიდესი მნიშვნელობა (ნახატზე ნაჩვენები ფართობის ფარგლებში) მიიღწევა D წერტილში, ყველაზე პატარა A წერტილში. B წერტილში არის მაქსიმუმი - იმ გაგებით, რომ ყველა წერტილში რაღაც უბანიწერტილები B, f(x)-ის მნიშვნელობა b-ზე ნაკლებია, თუმცა D-თან ახლოს წერტილებში f(x)-ის მნიშვნელობა მაინც b-ზე მეტია. ამ მიზეზით, ჩვეულებრივ უნდა ითქვას, რომ B წერტილში არის ფუნქციის შედარებითი მაქსიმუმი f(x), ხოლო D წერტილში - აბსოლუტური მაქსიმუმი.ანალოგიურად, C წერტილში არის შედარებით მინიმალური,და A წერტილში - აბსოლუტური მინიმუმი.დაბოლოს, რაც შეეხება E წერტილს, მასში არც მაქსიმუმია და არც მინიმუმი, თუმცა თანასწორობა მაინც რეალიზებულია. f"(x) = Q, აქედან გამომდინარეობს, რომ f"(x) წარმოებულის გაუჩინარება არის საჭირო, მაგრამ საერთოდ არა საკმარისიგლუვი ფუნქციის კიდურის გამოჩენის პირობა f(x); სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნებისმიერ წერტილში, სადაც არის ექსტრემუმი (აბსოლუტური ან ფარდობითი), თანასწორობა ნამდვილად ხდება f"(x) = 0, მაგრამ არა ყველა წერტილში, სადაც f"(x) = 0, ექსტრემალური უნდა იყოს. იმ წერტილებს, რომლებზეც წარმოებული f"(x) ქრება, მიუხედავად იმისა, არის თუ არა მათში უკიდურესი, ე.წ. სტაციონარული.შემდგომი ანალიზი იწვევს მეტ-ნაკლებად რთულ პირობებს f(x) ფუნქციის უფრო მაღალ წარმოებულებთან დაკავშირებით და სრულად ახასიათებს მაქსიმუმებს, მინიმებსა და სხვა სტაციონარული წერტილებს.

განვიხილოთ შემდეგი ფიგურა.

იგი აჩვენებს y = x^3 – 3*x^2 ფუნქციის გრაფიკს. განვიხილოთ x = 0 წერტილის შემცველი რაღაც ინტერვალი, მაგალითად -1-დან 1-მდე. ასეთ ინტერვალს ასევე უწოდებენ x = 0 წერტილის მეზობლობას. როგორც გრაფიკიდან ჩანს, ამ სამეზობლოში ფუნქცია y = x. ^3 – 3*x^2 იღებს უმაღლესი ღირებულებაზუსტად x = 0 წერტილში.

მაქსიმალური და მინიმალური ფუნქცია

ამ შემთხვევაში x = 0 წერტილს ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი ეწოდება. ამის ანალოგიით x = 2 წერტილს ეწოდება y = x^3 – 3*x^2 ფუნქციის მინიმალური წერტილი. იმის გამო, რომ არსებობს ამ წერტილის სამეზობლო, რომელშიც მნიშვნელობა ამ ეტაპზე მინიმალური იქნება ამ უბნის ყველა სხვა მნიშვნელობას შორის.

Წერტილი მაქსიმუმ f(x) ფუნქციას ეწოდება x0 წერტილი, იმ პირობით, რომ არსებობს x0 წერტილის ისეთი სამეზობლო, რომ ყველა x-ისთვის, რომელიც არ არის x0-ის ტოლი ამ სამეზობლოდან, მოქმედებს f(x) უტოლობა.< f(x0).

Წერტილი მინიმალური f(x) ფუნქციას ეწოდება x0 წერტილი, იმ პირობით, რომ არსებობს x0 წერტილის ისეთი მეზობლობა, რომ ყველა x-ისთვის, რომელიც არ უდრის x0-ს ამ სამეზობლოდან, მოქმედებს უტოლობა f(x) > f(x0).

ფუნქციების მაქსიმალური და მინიმალური წერტილებში ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა არის ნული. მაგრამ ეს არ არის საკმარისი პირობა ფუნქციის არსებობისთვის მაქსიმალურ ან მინიმალურ წერტილში.

მაგალითად, ფუნქციას y = x^3 x = 0 წერტილში აქვს წარმოებული ნულის ტოლი. მაგრამ წერტილი x = 0 არ არის ფუნქციის მინიმალური ან მაქსიმალური წერტილი. მოგეხსენებათ, ფუნქცია y = x^3 იზრდება მთელი რიცხვითი ღერძის გასწვრივ.

ამრიგად, მინიმალური და მაქსიმალური ქულა ყოველთვის იქნება f’(x) = 0 განტოლების ფესვებს შორის. მაგრამ ამ განტოლების ყველა ფესვი არ იქნება მაქსიმალური ან მინიმალური ქულები.

სტაციონარული და კრიტიკული წერტილები

წერტილებს, რომლებშიც ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა ნულია, სტაციონარული წერტილები ეწოდება. ასევე შეიძლება იყოს მაქსიმალური ან მინიმალური წერტილები იმ წერტილებში, რომლებშიც ფუნქციის წარმოებული საერთოდ არ არსებობს. მაგალითად, y = |x| წერტილში x = 0 აქვს მინიმუმს, მაგრამ წარმოებული ამ ეტაპზე არ არსებობს. ეს წერტილი იქნება ფუნქციის კრიტიკული წერტილი.

ფუნქციის კრიტიკული წერტილები არის ის წერტილები, რომლებშიც წარმოებული ტოლია ნულის, ან წარმოებული ამ ეტაპზე არ არსებობს, ანუ ამ წერტილის ფუნქცია არადიფერენცირებადია. ფუნქციის მაქსიმუმის ან მინიმუმის საპოვნელად საკმარისი პირობა უნდა დაკმაყოფილდეს.

მოდით f(x) იყოს რაიმე დიფერენცირებადი ფუნქცია (a;b) ინტერვალზე. წერტილი x0 ეკუთვნის ამ ინტერვალს და f’(x0) = 0. მაშინ:

1. თუ სტაციონარული x0 წერტილის გავლისას ფუნქცია f(x) და მისი წარმოებული ცვლის ნიშანს, „პლუს“-დან „მინუსამდე“, მაშინ x0 წერტილი არის ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი.

2. თუ სტაციონარული x0 წერტილის გავლისას ფუნქცია f(x) და მისი წარმოებული ცვლის ნიშანს, „მინუს“-დან „პლუს“, მაშინ x0 წერტილი არის ფუნქციის მინიმალური წერტილი.