ორ კუთხეს მიმდებარე ეწოდება, თუ მათ აქვთ ერთი გვერდი საერთო, ხოლო ამ კუთხის მეორე მხარე არის დამატებითი სხივები. სურათზე 20, კუთხეები AOB და BOC მიმდებარეა.

მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180°

თეორემა 1. მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180°.

მტკიცებულება. სხივი OB (იხ. სურ. 1) გადის გაშლილი კუთხის გვერდებს შორის. Ამიტომაც ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

თეორემა 1-დან გამომდინარეობს, რომ თუ ორი კუთხე ტოლია, მაშინ მათი მიმდებარე კუთხეები ტოლია.

ვერტიკალური კუთხეები ტოლია

ორ კუთხეს ვერტიკალური ეწოდება, თუ ერთი კუთხის გვერდები მეორის გვერდების დამატებითი სხივებია. ორი სწორი ხაზის გადაკვეთაზე წარმოქმნილი კუთხეები AOB და COD, BOD და AOC, ვერტიკალურია (ნახ. 2).

თეორემა 2. ვერტიკალური კუთხეები ტოლია.

მტკიცებულება. განვიხილოთ ვერტიკალური კუთხეები AOB და COD (იხ. სურ. 2). კუთხე BOD არის AOB და COD თითოეული კუთხის მიმდებარედ. 1 თეორემით ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

აქედან ვასკვნით, რომ ∠ AOB = ∠ COD.

დასკვნა 1. მართი კუთხის მიმდებარე კუთხე არის მართი კუთხე.

განვიხილოთ ორი გადამკვეთი სწორი ხაზი AC და BD (ნახ. 3). ისინი ქმნიან ოთხ კუთხეს. თუ ერთ-ერთი მათგანი სწორია (კუთხე 1 ნახ. 3-ზე), მაშინ დანარჩენი კუთხეებიც მართია (კუთხეები 1 და 2, 1 და 4 მიმდებარეა, კუთხეები 1 და 3 ვერტიკალურია). ამ შემთხვევაში, ისინი ამბობენ, რომ ეს ხაზები იკვეთება სწორი კუთხით და უწოდებენ პერპენდიკულურს (ან ორმხრივ პერპენდიკულურს). AC და BD წრფეების პერპენდიკულარულობა შემდეგნაირად აღინიშნება: AC ⊥ BD.

სეგმენტის პერპენდიკულური ბისექტორი არის წრფე ამ სეგმენტის პერპენდიკულარული და გადის მის შუა წერტილში.

AN - წრფის პერპენდიკულარული

განვიხილოთ სწორი ხაზი a და წერტილი A, რომელიც არ დევს მასზე (სურ. 4). დავუკავშიროთ A წერტილი სეგმენტს H წერტილს სწორი a ხაზით. სეგმენტს AN ეწოდება A წერტილიდან a წრფემდე დახატული პერპენდიკულური, თუ AN და a წრფეები პერპენდიკულარულია. H წერტილს პერპენდიკულარულის ფუძე ეწოდება.

სახატავი კვადრატი

შემდეგი თეორემა მართალია.

თეორემა 3. ნებისმიერი წერტილიდან, რომელიც არ დგას წრფეზე, შესაძლებელია ამ წრფეზე პერპენდიკულარულის დახატვა და უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთი.

ნახაზზე წერტილიდან სწორ ხაზამდე პერპენდიკულარის დასახატად გამოიყენეთ სახაზავი კვადრატი (სურ. 5).

კომენტარი. თეორემის ფორმულირება ჩვეულებრივ შედგება ორი ნაწილისგან. ერთი ნაწილი საუბრობს იმაზე, რაც მოცემულია. ამ ნაწილს თეორემის პირობა ეწოდება. მეორე ნაწილი საუბრობს იმაზე, რაც დასამტკიცებელია. ამ ნაწილს თეორემის დასკვნა ეწოდება. მაგალითად, თეორემა 2-ის პირობაა, რომ კუთხეები ვერტიკალურია; დასკვნა - ეს კუთხეები ტოლია.

ნებისმიერი თეორემა შეიძლება დეტალურად გამოითქვას სიტყვებით ისე, რომ მისი მდგომარეობა იწყება სიტყვით „თუ“ და დასკვნა სიტყვით „მაშინ“. მაგალითად, თეორემა 2 შეიძლება დეტალურად იყოს ჩამოყალიბებული შემდეგნაირად: „თუ ორი კუთხე ვერტიკალურია, მაშინ ისინი ტოლია“.

მაგალითი 1.ერთ-ერთი მიმდებარე კუთხე არის 44°. რის ტოლია მეორე?

გამოსავალი. მოდი, სხვა კუთხის ხარისხიანი ზომა ავღნიშნოთ x-ით, შემდეგ თეორემა 1-ით.
44° + x = 180°.
მიღებული განტოლების ამოხსნით, ვხვდებით, რომ x = 136°. ამიტომ, მეორე კუთხე არის 136°.

მაგალითი 2.მოდით, COD კუთხე 21-ზე იყოს 45°. რა არის AOB და AOC კუთხეები?

გამოსავალი. კუთხეები COD და AOB ვერტიკალურია, ამიტომ თეორემა 1.2-ით ისინი ტოლია, ანუ ∠ AOB = 45°. AOC კუთხე არის COD კუთხის გვერდით, რაც ნიშნავს თეორემა 1-ის მიხედვით.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

მაგალითი 3.იპოვეთ მიმდებარე კუთხეები, თუ ერთი მათგანი 3-ჯერ დიდია მეორეზე.

გამოსავალი. უფრო მცირე კუთხის ხარისხიანი ზომა x-ით ავღნიშნოთ. მაშინ უფრო დიდი კუთხის გრადუსის ზომა იქნება 3x. ვინაიდან მიმდებარე კუთხეების ჯამი უდრის 180°-ს (თეორემა 1), მაშინ x + 3x = 180°, საიდანაც x = 45°.
ეს ნიშნავს, რომ მიმდებარე კუთხეებია 45° და 135°.

მაგალითი 4.ორი ვერტიკალური კუთხის ჯამი არის 100°. იპოვნეთ ოთხივე კუთხის ზომა.

გამოსავალი. მოდით, ნახაზი 2 აკმაყოფილებდეს ამოცანის პირობებს. ვერტიკალური კუთხეები COD-მდე AOB ტოლია (თეორემა 2), რაც ნიშნავს, რომ მათი ხარისხის ზომები ასევე ტოლია. ამიტომ, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (მათი ჯამი პირობის მიხედვით არის 100°). კუთხე BOD (ასევე კუთხე AOC) არის COD კუთხის მიმდებარედ და, შესაბამისად, თეორემა 1-ით
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

კუთხეები, რომლებშიც ერთი მხარე საერთოა, ხოლო მეორე მხარეები დევს იმავე სწორ ხაზზე (სურათზე, კუთხეები 1 და 2 მიმდებარეა). ბრინჯი. ხელოვნებამდე. მიმდებარე კუთხეები... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

მიმდებარე კუთხეები- კუთხეები, რომლებსაც აქვთ საერთო წვერო და ერთი საერთო გვერდი, ხოლო მათი ორი გვერდი ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე დევს... დიდი პოლიტექნიკური ენციკლოპედია

იხილეთ კუთხე... დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

მიმდებარე კუთხეები, ორი კუთხე, რომელთა ჯამია 180°. თითოეული ეს კუთხე ავსებს მეორეს სრულ კუთხეს... სამეცნიერო და ტექნიკური ენციკლოპედიური ლექსიკონი

იხილეთ კუთხე. * * * მიმდებარე კუთხეები მიმდებარე კუთხეები, იხ. კუთხე (იხ. კუთხე) ... ენციკლოპედიური ლექსიკონი

- (კუთხეები მიმდებარედ) რომელთაც აქვთ საერთო წვერო და საერთო გვერდი. ძირითადად ეს სახელწოდება ეხება ისეთ C. კუთხეებს, რომელთა დანარჩენი ორი მხარე დევს წვეროზე დახატული ერთი სწორი ხაზის საპირისპირო მიმართულებით ... ენციკლოპედიური ლექსიკონი F.A. ბროკჰაუსი და ი.ა. ეფრონი

იხილეთ კუთხე... ბუნებისმეტყველება. ენციკლოპედიური ლექსიკონი

ორი სწორი ხაზი იკვეთება, რათა შეიქმნას წყვილი ვერტიკალური კუთხე. ერთი წყვილი შედგება A და B კუთხებისაგან, მეორე კი C და D. გეომეტრიაში ორ კუთხეს ვერტიკალური ეწოდება, თუ ისინი იქმნება ორის გადაკვეთით... ვიკიპედია

დამატებითი კუთხეების წყვილი, რომლებიც ავსებენ ერთმანეთს 90 გრადუსამდე. თუ ორი დამატებითი კუთხე მეზობელია (ანუ მათ აქვთ საერთო წვერო და გამოყოფილია მხოლოდ... ... ვიკიპედია

დამატებითი კუთხეების წყვილი, რომლებიც ავსებენ ერთმანეთს 90 გრადუსამდე დამატებითი კუთხეები არის კუთხეების წყვილი, რომლებიც ავსებენ ერთმანეთს 90 გრადუსამდე. თუ ორი შემავსებელი კუთხეა... ვიკიპედიასთან

წიგნები

• გეომეტრიაში მტკიცებულების შესახებ, A.I Fetisov ერთხელ, სასწავლო წლის დასაწყისში, მომიწია საუბრის მოსმენა ორ გოგონას შორის. მათგან უფროსი მეექვსე კლასში გადავიდა, უმცროსი მეხუთეში. გოგონებმა გაკვეთილებზე მიღებული შთაბეჭდილებები გაუზიარეს...
• გეომეტრია. მე-7 კლასი. ყოვლისმომცველი რვეული ცოდნის კონტროლისთვის, I. S. Markova, S. P. Babenko. სახელმძღვანელოში წარმოდგენილია საკონტროლო და საზომი მასალები (CMM) გეომეტრიაში მე-7 კლასის მოსწავლეთა ცოდნის მიმდინარე, თემატური და საბოლოო ხარისხის კონტროლის ჩასატარებლად. სახელმძღვანელოს შინაარსი...

გეომეტრიის კურსის შესწავლის პროცესში საკმაოდ ხშირად ჩნდება ცნებები "კუთხე", "ვერტიკალური კუთხეები", "მიმდებარე კუთხეები". თითოეული ტერმინის გაგება დაგეხმარებათ პრობლემის გააზრებასა და სწორად გადაჭრაში. რა არის მიმდებარე კუთხეები და როგორ განვსაზღვროთ ისინი?

მიმდებარე კუთხეები - ცნების განმარტება

ტერმინი "მიმდებარე კუთხეები" ახასიათებს ორ კუთხეს, რომლებიც წარმოიქმნება საერთო სხივით და ორი დამატებითი ნახევარხაზი, რომლებიც დევს იმავე სწორ ხაზზე. სამივე სხივი ერთი და იგივე წერტილიდან გამოდის. საერთო ნახევარხაზი ერთდროულად არის როგორც ერთი, ასევე მეორე კუთხის გვერდი.

მიმდებარე კუთხეები - ძირითადი თვისებები

1. მიმდებარე კუთხეების ფორმულირებიდან გამომდინარე, ადვილი შესამჩნევია, რომ ასეთი კუთხეების ჯამი ყოველთვის ქმნის საპირისპირო კუთხეს, რომლის გრადუსის ზომაა 180°:

• თუ μ და η მიმდებარე კუთხეებია, მაშინ μ + η = 180°.
• იცოდეთ ერთ-ერთი მიმდებარე კუთხის სიდიდე (მაგალითად, μ), შეგიძლიათ მარტივად გამოთვალოთ მეორე კუთხის ხარისხი (η) გამოსახულებით η = 180° - μ.

2. კუთხეების ეს თვისება გვაძლევს საშუალებას გამოვიტანოთ შემდეგი დასკვნა: მართი კუთხის მიმდებარე კუთხეც მართალი იქნება.

3. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების (sin, cos, tg, ctg) გათვალისწინებით, მიმდებარე კუთხეების μ და η შემცირების ფორმულებზე დაყრდნობით, მართებულია შემდეგი:

• sini = sin (180° - μ) = sinμ,
• cos = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

მიმდებარე კუთხეები - მაგალითები

მაგალითი 1

მოცემულია სამკუთხედი წვეროებით M, P, Q – ΔMPQ. იპოვეთ ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM კუთხეების მიმდებარე კუთხეები.

• მოდით გავაგრძელოთ სამკუთხედის თითოეული მხარე სწორი ხაზით.
• იმის ცოდნა, რომ მიმდებარე კუთხეები ავსებენ ერთმანეთს შებრუნებული კუთხით, ჩვენ ვხვდებით, რომ:

კუთხის მიმდებარედ ∠QMP არის ∠LMP,

კუთხის მიმდებარედ ∠MPQ არის ∠SPQ,

∠PQM კუთხის მიმდებარედ არის ∠HQP.

მაგალითი 2

ერთი მიმდებარე კუთხის ღირებულებაა 35°. რა არის მეორე მიმდებარე კუთხის ხარისხი?

• ორი მიმდებარე კუთხე ემატება 180°-ს.
• თუ ∠μ = 35°, მაშინ მის მიმდებარედ ∠η = 180° – 35° = 145°.

მაგალითი 3

დაადგინეთ მიმდებარე კუთხეების მნიშვნელობები, თუ ცნობილია, რომ ერთი მათგანის გრადუსული ზომა სამჯერ მეტია მეორე კუთხის გრადუსზე.

• ერთი (პატარა) კუთხის სიდიდე ავღნიშნოთ – ∠μ = λ.
• მაშინ, ამოცანის პირობების მიხედვით, მეორე კუთხის მნიშვნელობა იქნება ∠η = 3λ.
• მიმდებარე კუთხეების ძირითადი თვისებიდან გამომდინარე, მიჰყვება μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

ეს ნიშნავს, რომ პირველი კუთხე არის ∠μ = λ = 45°, ხოლო მეორე კუთხე არის ∠η = 3λ = 135°.

ტერმინოლოგიის გამოყენების უნარი, ისევე როგორც მიმდებარე კუთხეების ძირითადი თვისებების ცოდნა, დაგეხმარებათ მრავალი გეომეტრიული პრობლემის გადაჭრაში.

Კითხვა 1.რომელ კუთხეებს უწოდებენ მიმდებარედ?
უპასუხე.ორ კუთხეს მეზობლად უწოდებენ, თუ მათ ერთი გვერდი აქვთ საერთო, ხოლო ამ კუთხის მეორე მხარე არის დამატებითი ნახევარხაზები.
სურათზე 31, კუთხეები (a 1 b) და (a 2 b) მიმდებარეა. მათ საერთო აქვთ b მხარე, ხოლო გვერდები a 1 და a 2 დამატებითი ნახევარხაზებია.

კითხვა 2.დაამტკიცეთ, რომ მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180°.
უპასუხე. თეორემა 2.1.მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180°.
მტკიცებულება.მიეცით კუთხე (a 1 b) და კუთხე (a 2 b) მიმდებარე კუთხეები (იხ. სურ. 31). სხივი b გადის სწორი კუთხის a 1 და 2 გვერდებს შორის. მაშასადამე, კუთხეების (a 1 b) და (a 2 b) ჯამი გაშლილი კუთხის ტოლია, ანუ 180°. ქ.ე.დ.

კითხვა 3.დაამტკიცეთ, რომ თუ ორი კუთხე ტოლია, მაშინ მათი მიმდებარე კუთხეც ტოლია.
უპასუხე.

თეორემიდან 2.1 აქედან გამომდინარეობს, რომ თუ ორი კუთხე ტოლია, მაშინ მათი მიმდებარე კუთხეები ტოლია.
ვთქვათ, კუთხეები (a 1 b) და (c 1 d) ტოლია. ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომ კუთხეები (a 2 b) და (c 2 d) ასევე ტოლია.
მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180°. აქედან გამომდინარეობს, რომ a 1 b + a 2 b = 180° და c 1 d + c 2 d = 180°. აქედან გამომდინარე, a 2 b = 180° - a 1 b და c 2 d = 180° - c 1 d. ვინაიდან კუთხეები (a 1 b) და (c 1 d) ტოლია, მივიღებთ, რომ a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. ტოლობის ნიშნის გარდამავალობის თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ a 2 b = c 2 d. ქ.ე.დ.

კითხვა 4.რომელ კუთხეს ეწოდება მართალი (მწვავე, ბლაგვი)?
უპასუხე. 90°-ის ტოლ კუთხეს მართი კუთხე ეწოდება.
90°-ზე ნაკლებ კუთხეს მახვილი კუთხე ეწოდება.
90°-ზე მეტ და 180°-ზე ნაკლებ კუთხეს ბლაგვი ეწოდება.

კითხვა 5.დაამტკიცეთ, რომ მართი კუთხის მიმდებარე კუთხე მართია.
უპასუხე.მიმდებარე კუთხეების ჯამის თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ მართი კუთხის მიმდებარე კუთხე არის სწორი კუთხე: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

კითხვა 6.რა კუთხეებს უწოდებენ ვერტიკალურს?
უპასუხე.ორ კუთხეს ვერტიკალური ეწოდება, თუ ერთი კუთხის გვერდები ავსებს მეორის გვერდების ნახევარხაზებს.

კითხვა 7.დაამტკიცეთ, რომ ვერტიკალური კუთხეები ტოლია.
უპასუხე. თეორემა 2.2. ვერტიკალური კუთხეები ტოლია.
მტკიცებულება.მოდით (a 1 b 1) და (a 2 b 2) მოცემული ვერტიკალური კუთხეები (ნახ. 34). კუთხე (a 1 b 2) არის მიმდებარე კუთხესთან (a 1 b 1) და კუთხესთან (a 2 b 2). აქედან, მიმდებარე კუთხეების ჯამის თეორემის გამოყენებით, დავასკვნით, რომ თითოეული კუთხე (a 1 b 1) და (a 2 b 2) ავსებს კუთხეს (a 1 b 2) 180°-მდე, ე.ი. კუთხეები (a 1 b 1) და (a 2 b 2) ტოლია. ქ.ე.დ.

კითხვა 8.დაამტკიცეთ, რომ თუ ორი წრფის გადაკვეთისას ერთი კუთხე სწორია, მაშინ დანარჩენი სამი კუთხეც მართია.
უპასუხე.დავუშვათ, AB და CD წრფეები ერთმანეთს კვეთენ O წერტილში. დავუშვათ, კუთხე AOD არის 90°. ვინაიდან მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180°, მივიღებთ, რომ AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. კუთხე COB ვერტიკალურია AOD კუთხის მიმართ, ამიტომ ისინი ტოლია. ანუ კუთხე COB = 90°. კუთხე COA ვერტიკალურია BOD კუთხის მიმართ, ამიტომ ისინი ტოლია. ანუ კუთხე BOD = 90°. ამრიგად, ყველა კუთხე უდრის 90°-ს, ანუ ისინი ყველა მართი კუთხეა. ქ.ე.დ.

კითხვა 9.რომელ წრფეებს უწოდებენ პერპენდიკულურს? რა ნიშანი გამოიყენება ხაზების პერპენდიკულარობის აღსანიშნავად?
უპასუხე.ორ წრფეს უწოდებენ პერპენდიკულურს, თუ ისინი იკვეთება სწორი კუთხით.
ხაზების პერპენდიკულარულობა აღინიშნება ნიშნით \(\perp\). ჩანაწერი \(a\perp b\) იკითხება: "წრფე a პერპენდიკულარულია b წრფეზე."

კითხვა 10.დაამტკიცეთ, რომ წრფის ნებისმიერ წერტილში შეგიძლიათ დახაზოთ მასზე პერპენდიკულარული წრფე და მხოლოდ ერთი.
უპასუხე. თეორემა 2.3.თითოეული ხაზის საშუალებით შეგიძლიათ დახაზოთ მასზე პერპენდიკულარული ხაზი და მხოლოდ ერთი.
მტკიცებულება.მოდით a იყოს მოცემული წრფე და A მოცემული წერტილი მასზე. 1-ით ავღნიშნოთ a სწორი ხაზის ერთ-ერთი ნახევარწრფი A საწყისი წერტილით (სურ. 38). გამოვაკლოთ კუთხე (a 1 b 1) 90°-ის ტოლი a 1-ის ნახევარწრფეს. მაშინ b 1 სხივის შემცველი სწორი ხაზი იქნება a სწორი ხაზის პერპენდიკულარული.

დავუშვათ, რომ არსებობს კიდევ ერთი წრფე, რომელიც ასევე გადის A წერტილზე და პერპენდიკულარულია a წრფეზე. c 1-ით ავღნიშნოთ ამ წრფის ნახევარსტრიქონი, რომელიც მდებარეობს იმავე ნახევარსიბრტყეში b 1 სხივთან.
კუთხეები (a 1 b 1) და (a 1 c 1), თითოეული ტოლია 90°-ის, განლაგებულია ნახევარ სიბრტყეში a 1-ის ნახევარხაზიდან. მაგრამ ნახევარწრფიდან 1 მხოლოდ 90°-ის ტოლი კუთხის მოთავსება შეიძლება მოცემულ ნახევარსიბრტყეში. მაშასადამე, არ შეიძლება იყოს სხვა ხაზი, რომელიც გადის A წერტილში და პერპენდიკულარულია a წრფეზე. თეორემა დადასტურდა.

კითხვა 11.რა არის წრფის პერპენდიკულარული?
უპასუხე.მოცემული წრფის პერპენდიკულარი არის მოცემული წრფის პერპენდიკულარული წრფის სეგმენტი, რომელსაც აქვს მისი ერთ-ერთი ბოლო მათი გადაკვეთის წერტილში. სეგმენტის ამ ბოლოს ე.წ საფუძველიპერპენდიკულარული.

კითხვა 12.ახსენით, რისგან შედგება წინააღმდეგობრივი მტკიცებულება.
უპასუხე.მტკიცების მეთოდს, რომელიც ჩვენ გამოვიყენეთ თეორემა 2.3-ში, ეწოდება მტკიცება წინააღმდეგობით. მტკიცების ეს მეთოდი მოიცავს პირველ რიგში ვარაუდის გაკეთებას იმის საპირისპიროდ, რასაც თეორემა ამბობს. შემდეგ, მსჯელობით, აქსიომებსა და დადასტურებულ თეორემებზე დაყრდნობით მივდივართ დასკვნამდე, რომელიც ეწინააღმდეგება ან თეორემის პირობებს, ან ერთ-ერთ აქსიომას, ან ადრე დადასტურებულ თეორემას. ამის საფუძველზე ჩვენ ვასკვნით, რომ ჩვენი ვარაუდი მცდარი იყო და, შესაბამისად, თეორემის განცხადება მართალია.

კითხვა 13.რა არის კუთხის ბისექტრი?
უპასუხე.კუთხის ბისექტორი არის სხივი, რომელიც გამოდის კუთხის წვეროდან, გადის მის გვერდებს შორის და ყოფს კუთხეს შუაზე.

თითოეულ კუთხეს, მისი ზომის მიხედვით, აქვს საკუთარი სახელი:

კუთხის ტიპი	ზომა გრადუსებში	მაგალითი
ცხარე	90°-ზე ნაკლები
პირდაპირ	უდრის 90°. ნახატში მართი კუთხე ჩვეულებრივ აღინიშნება კუთხის ერთი მხრიდან მეორეზე დახატული სიმბოლოთი.
ბლანტი	90°-ზე მეტი, მაგრამ 180°-ზე ნაკლები
გაფართოვდა	უდრის 180° სწორი კუთხე უდრის ორი მართი კუთხის ჯამს, ხოლო მართი კუთხე არის სწორი კუთხის ნახევარი.
ამოზნექილი	180°-ზე მეტი, მაგრამ 360°-ზე ნაკლები
სრული	უდრის 360°

ორ კუთხეს უწოდებენ მიმდებარე, თუ მათ აქვთ ერთი მხარე საერთო, ხოლო დანარჩენი ორი მხარე ქმნის სწორ ხაზს:

კუთხეები MOPდა PONმიმდებარე, რადგან სხივი OP- საერთო მხარე და დანარჩენი ორი მხარე - OMდა ჩართულიაშეადგინეთ სწორი ხაზი.

მიმდებარე კუთხეების საერთო მხარე ეწოდება ირიბი სწორი, რომელზედაც დევს დანარჩენი ორი მხარე, მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც მიმდებარე კუთხეები ერთმანეთის ტოლი არ არის. თუ მიმდებარე კუთხეები ტოლია, მაშინ მათი საერთო მხარე იქნება პერპენდიკულარული.

მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180°.

ორ კუთხეს უწოდებენ ვერტიკალურითუ ერთი კუთხის გვერდები ავსებს მეორე კუთხის გვერდებს სწორ ხაზებს:

კუთხეები 1 და 3, ისევე როგორც კუთხეები 2 და 4, ვერტიკალურია.

ვერტიკალური კუთხეები ტოლია.

დავამტკიცოთ, რომ ვერტიკალური კუთხეები ტოლია:

∠1 და ∠2 ჯამი სწორი კუთხეა. ხოლო ∠3 და ∠2-ის ჯამი სწორი კუთხეა. ასე რომ, ეს ორი თანხა ტოლია:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

ამ თანასწორობაში მარცხნივ და მარჯვნივ არის იდენტური ტერმინი - ∠2. თანასწორობა არ დაირღვევა, თუ ეს ტერმინი მარცხნივ და მარჯვნივ არის გამოტოვებული. მერე მივიღებთ.