ფორმის გამოხატვა დაურეკა ვექტორების წრფივი კომბინაცია A 1 , A 2 ,...,A nშანსებით λ 1, λ 2 ,...,λ n.

ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოკიდებულების განსაზღვრა

ვექტორული სისტემა A 1 , A 2 ,...,A nდაურეკა წრფივად დამოკიდებული, თუ არსებობს რიცხვების არანულოვანი ნაკრები λ 1, λ 2 ,...,λ n, რომელშიც ვექტორთა წრფივი კომბინაცია λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nნულოვანი ვექტორის ტოლიაანუ განტოლებათა სისტემა: აქვს არანულოვანი გამოსავალი.
ნომრების ნაკრები λ 1, λ 2 ,...,λ n ნულოვანია, თუ რიცხვებიდან ერთი მაინც λ 1, λ 2 ,...,λ n განსხვავდება ნულიდან.

ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოუკიდებლობის განსაზღვრა

ვექტორული სისტემა A 1 , A 2 ,...,A nდაურეკა წრფივი დამოუკიდებელი, თუ ამ ვექტორების წრფივი კომბინაცია λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nნულოვანი ვექტორის ტოლია მხოლოდ რიცხვების ნულოვანი ნაკრებისთვის λ 1, λ 2 ,...,λ n ანუ განტოლებათა სისტემა: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θაქვს უნიკალური ნულოვანი გადაწყვეტა.

მაგალითი 29.1

შეამოწმეთ არის თუ არა ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოკიდებული

გამოსავალი:

1. ჩვენ ვადგენთ განტოლებათა სისტემას:

2. ჩვენ ვხსნით გაუსის მეთოდით. სისტემის ჟორდანანოს გარდაქმნები მოცემულია ცხრილში 29.1. გაანგარიშებისას სისტემის მარჯვენა მხარეები არ იწერება, რადგან ისინი ნულის ტოლია და არ იცვლება იორდანიის გარდაქმნების დროს.

3. ცხრილის ბოლო სამი რიგიდან ჩამოწერეთ გადაწყვეტილი სისტემა, რომელიც ექვივალენტურია ორიგინალისისტემა:

4. ჩვენ ვიღებთ სისტემის ზოგად გადაწყვეტას:

5. თქვენი შეხედულებისამებრ დააყენეთ უფასო ცვლადის მნიშვნელობა x 3 =1, ჩვენ ვიღებთ კონკრეტულ არანულოვან ამონახსნებს X=(-3,2,1).

პასუხი: ამგვარად, რიცხვების არანულოვანი სიმრავლისთვის (-3,2,1) ვექტორების წრფივი კომბინაცია უდრის ნულოვანი ვექტორის -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. აქედან გამომდინარე, ვექტორული სისტემა წრფივად დამოკიდებული.

ვექტორული სისტემების თვისებები

ქონება (1)
თუ ვექტორთა სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ ვექტორებიდან ერთი მაინც გაფართოვდება სხვების მიხედვით და, პირიქით, თუ სისტემის ვექტორებიდან ერთი მაინც გაფართოვებულია სხვების მიხედვით, მაშინ ვექტორთა სისტემა წრფივია დამოკიდებული.

ქონება (2)
თუ ვექტორების რომელიმე ქვესისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ მთელი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

ქონება (3)
თუ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, მაშინ მისი რომელიმე ქვესისტემა წრფივად დამოუკიდებელია.

ქონება (4)
ვექტორთა ნებისმიერი სისტემა, რომელიც შეიცავს ნულოვან ვექტორს, წრფივია დამოკიდებული.

ქონება (5)
m-განზომილებიანი ვექტორების სისტემა ყოველთვის წრფივად არის დამოკიდებული, თუ ვექტორების რაოდენობა n მეტია მათ განზომილებაში (n>m).

ვექტორული სისტემის საფუძველი

ვექტორული სისტემის საფუძველი A 1 , A 2 ,..., A n ასეთ ქვესისტემას B 1 , B 2 ,...,B r ეწოდება(თითოეული ვექტორი B 1,B 2,...,B r არის ერთ-ერთი ვექტორი A 1, A 2,..., A n), რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ პირობებს:
1. B 1 ,B 2 ,...,B rვექტორთა წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა;
2. ნებისმიერი ვექტორია ჯ სისტემა A 1 , A 2 ,..., A n წრფივად გამოიხატება B 1 , B 2 ,..., B r ვექტორების მეშვეობით

რ— საფუძველში შემავალი ვექტორების რაოდენობა.

თეორემა 29.1 ვექტორთა სისტემის ერთეულ საფუძველზე.

თუ m განზომილებიანი ვექტორების სისტემა შეიცავს m სხვადასხვა ერთეულ ვექტორებს E 1 E 2 ,..., E m , მაშინ ისინი ქმნიან სისტემის საფუძველს.

ვექტორთა სისტემის საფუძვლის პოვნის ალგორითმი

A 1 ,A 2 ,...,A n ვექტორების სისტემის საფუძვლის მოსაძებნად საჭიროა:

• შექმენით ვექტორთა სისტემის შესაბამისი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• მოიტანე ეს სისტემა

დაე ლ - ხაზოვანი სივრცე მოედანზე რ . დაე А1, а2, ..., ან (*) ვექტორების სასრულ სისტემა ლ . ვექტორი IN = a1× A1 + a2× A2 + … + ან× ან (16) ე.წ ვექტორების ხაზოვანი კომბინაცია ( *), ან ამბობენ, რომ ეს არის ვექტორი IN წრფივად გამოხატული ვექტორების სისტემის მეშვეობით (*).

განმარტება 14. ვექტორთა სისტემა (*) ეწოდება ხაზობრივად დამოკიდებული , თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ არსებობს კოეფიციენტების არანულოვანი ნაკრები a1, a2, … , ისეთი, რომ a1× A1 + a2× A2 + … + ან× ან = 0. თუ a1× A1 + a2× A2 + … + ან× ან = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, მაშინ სისტემა (*) გამოძახებულია ხაზობრივად დამოუკიდებელი.

ხაზოვანი დამოკიდებულებისა და დამოუკიდებლობის თვისებები.

10. თუ ვექტორთა სისტემა შეიცავს ნულოვან ვექტორს, მაშინ ის წრფივად არის დამოკიდებული.

მართლაც, თუ სისტემაში (*) ვექტორი A1 = 0, ეს არის 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × Аn = 0 .

20. თუ ვექტორთა სისტემა შეიცავს ორ პროპორციულ ვექტორს, მაშინ ის წრფივად არის დამოკიდებული.

დაე A1 = ლ×a2. შემდეგ 1× A1 -l× A2 + 0× A3 + … + 0× ა N= 0.

30. ვექტორთა სასრული სისტემა (*) n ³ 2-ისთვის წრფივად არის დამოკიდებული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი ერთ-ერთი ვექტორი მაინც არის ამ სისტემის დარჩენილი ვექტორების წრფივი კომბინაცია.

Þ მოდით (*) იყოს წრფივად დამოკიდებული. შემდეგ არის არანულოვანი კოეფიციენტების ნაკრები a1, a2, …, an, რომლისთვისაც a1× A1 + a2× A2 + … + ან× ან = 0 . ზოგადობის დაკარგვის გარეშე შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ a1 ¹ 0. მაშინ არსებობს A1 = ×a2× A2 + … + ×an× ა N. ასე რომ, ვექტორი A1 არის დარჩენილი ვექტორების წრფივი კომბინაცია.

Ü ერთ-ერთი ვექტორი (*) იყოს სხვების წრფივი კომბინაცია. შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ეს არის პირველი ვექტორი, ე.ი. A1 = B2 A2+ … + ბნ ა N, აქედან გამომდინარე (–1)× A1 + b2 A2+ … + ბნ ა N= 0 , ანუ (*) წრფივია დამოკიდებული.

კომენტარი. ბოლო თვისების გამოყენებით ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ვექტორთა უსასრულო სისტემის წრფივი დამოკიდებულება და დამოუკიდებლობა.

განმარტება 15. ვექტორული სისტემა А1, а2, ..., ან , … (**) ეწოდება ხაზობრივად დამოკიდებული, თუ მისი ერთ-ერთი ვექტორი მაინც არის სხვა ვექტორების გარკვეული სასრული რაოდენობის წრფივი კომბინაცია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, სისტემა (**) იწოდება ხაზობრივად დამოუკიდებელი.

40. ვექტორთა სასრული სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი არც ერთი ვექტორი არ შეიძლება წრფივად გამოხატული იყოს მისი დარჩენილი ვექტორებით.

50. თუ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, მაშინ მისი რომელიმე ქვესისტემაც წრფივად დამოუკიდებელია.

60. თუ ვექტორთა მოცემული სისტემის რომელიმე ქვესისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ მთელი სისტემაც წრფივად არის დამოკიდებული.

მოდით მივცეთ ვექტორთა ორი სისტემა А1, а2, ..., ან , … (16) და В1, В2, …, Вs,… (17). თუ სისტემის (16) თითოეული ვექტორი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც სისტემის (17) სასრული რაოდენობის ვექტორების წრფივი კომბინაცია, მაშინ სისტემა (17) წრფივად გამოხატულია სისტემის მეშვეობით (16).

განმარტება 16. ორ ვექტორულ სისტემას ე.წ ექვივალენტი , თუ თითოეული მათგანი წრფივად არის გამოხატული მეორის მეშვეობით.

თეორემა 9 (ძირითადი წრფივი დამოკიდებულების თეორემა).

Იყოს – ვექტორების ორი სასრული სისტემა ლ . თუ პირველი სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია და წრფივად გამოხატულია მეორეში, მაშინ ნ£ s.

მტკიცებულება.მოდი ვიჩვენოთ, რომ ნ> ს.თეორემის პირობების მიხედვით

(21)

ვინაიდან სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, თანასწორობა (18) Û X1=x2=…=xN=0.აქ შევცვალოთ ვექტორების გამოსახულებები: …+=0 (19). აქედან გამომდინარე (20). პირობები (18), (19) და (20) აშკარად ექვივალენტურია. მაგრამ (18) კმაყოფილდება მხოლოდ მაშინ, როცა X1=x2=…=xN=0.ვნახოთ, როდის არის ტოლობა (20). თუ მისი ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია, მაშინ ეს აშკარად მართალია. მათი ნულის გათანაბრებით, ვიღებთ სისტემას (21). ვინაიდან ამ სისტემას აქვს ნული, მაშინ ის

ერთობლივი ვინაიდან განტოლებათა რაოდენობა უცნობთა რიცხვზე მეტია, სისტემას აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები. ამიტომ მას აქვს არანულოვანი X10, x20, ..., xN0. ამ მნიშვნელობებისთვის ტოლობა (18) იქნება ჭეშმარიტი, რაც ეწინააღმდეგება იმ ფაქტს, რომ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია. ასე რომ, ჩვენი ვარაუდი მცდარია. აქედან გამომდინარე, ნ£ s.

შედეგი.თუ ვექტორების ორი ეკვივალენტური სისტემა სასრული და წრფივად დამოუკიდებელია, მაშინ ისინი შეიცავს ვექტორების ერთსა და იმავე რაოდენობას.

განმარტება 17. ვექტორული სისტემა ე.წ ვექტორთა მაქსიმალური წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა ხაზოვანი სივრცე ლ , თუ იგი წრფივად დამოუკიდებელია, მაგრამ მასში რაიმე ვექტორის დამატებისას ლ , არ შედის ამ სისტემაში, ხდება წრფივი დამოკიდებული.

თეორემა 10. ვექტორების ნებისმიერი ორი სასრული მაქსიმალური წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა ლ შეიცავდეს იგივე რაოდენობის ვექტორებს.

მტკიცებულებაგამომდინარეობს იქიდან, რომ ვექტორების ნებისმიერი ორი მაქსიმალური წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა ეკვივალენტურია .

ადვილია იმის დამტკიცება, რომ სივრცის ვექტორების ნებისმიერი წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა ლ შეიძლება გაფართოვდეს ვექტორების მაქსიმალურ წრფივად დამოუკიდებელ სისტემამდე ამ სივრცეში.

მაგალითები:

1. ყველა კოლინარული გეომეტრიული ვექტორის სიმრავლეში, ნებისმიერი სისტემა, რომელიც შედგება ერთი არანულოვანი ვექტორისგან, მაქსიმალურად წრფივად დამოუკიდებელია.

2. ყველა თანაპლენარული გეომეტრიული ვექტორის სიმრავლეში ნებისმიერი ორი არასწორხაზოვანი ვექტორი წარმოადგენს მაქსიმალურ წრფივ დამოუკიდებელ სისტემას.

3. სამგანზომილებიანი ევკლიდური სივრცის ყველა შესაძლო გეომეტრიული ვექტორების სიმრავლეში სამი არათანაბრანული ვექტორის ნებისმიერი სისტემა მაქსიმალურად წრფივად დამოუკიდებელია.

4. ყველა მრავალწევრის სიმრავლეში გრადუსი არ არის უფრო მაღალი ვიდრე ნრეალური (რთული) კოეფიციენტებით მრავალწევრთა სისტემა 1, x, x2, ... , xnარის მაქსიმალურად წრფივი დამოუკიდებელი.

5. რეალური (რთული) კოეფიციენტების მქონე ყველა მრავალწევრის სიმრავლეში მაქსიმალური წრფივად დამოუკიდებელი სისტემის მაგალითებია.

ა) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

ბ) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)N, ...

6. განზომილების მატრიცების ნაკრები მ´ ნარის წრფივი სივრცე (შეამოწმეთ ეს). ამ სივრცეში მაქსიმალური წრფივი დამოუკიდებელი სისტემის მაგალითია მატრიცული სისტემა E11= , E12 =, …, Eმნ = .

მიეცით ვექტორთა სისტემა C1, c2, ..., შდრ (*). (*) ვექტორების ქვესისტემას უწოდებენ მაქსიმალური წრფივი დამოუკიდებელი ქვესისტემასისტემები ( *) , თუ ის წრფივად დამოუკიდებელია, მაგრამ ამ სისტემის რომელიმე სხვა ვექტორის მასში დამატებისას ხდება წრფივად დამოკიდებული. თუ სისტემა (*) სასრულია, მაშინ მისი ნებისმიერი მაქსიმალური წრფივი დამოუკიდებელი ქვესისტემა შეიცავს ვექტორების ერთსა და იმავე რაოდენობას. (თვითონ დაამტკიცეთ). სისტემის მაქსიმალურ წრფივად დამოუკიდებელ ქვესისტემაში (*) ვექტორების რაოდენობას უწოდებენ წოდება ეს სისტემა. ცხადია, ვექტორების ეკვივალენტურ სისტემებს აქვთ იგივე რიგები.

მოდით იყოს ვექტორების კრებული განზომილებიანი არითმეტიკული სივრცეში .

განმარტება 2.1.ვექტორების კრებული დაურეკა წრფივი დამოუკიდებელივექტორთა სისტემა, თუ თანასწორობა ფორმისაა

შესრულებულია მხოლოდ რიცხვითი პარამეტრების ნულოვანი მნიშვნელობებით .

თუ თანასწორობა (2.1) შეიძლება დაკმაყოფილდეს იმ პირობით, რომ კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც განსხვავდება ნულიდან, მაშინ ვექტორთა ასეთი სისტემა ეწოდება წრფივად დამოკიდებული .

მაგალითი 2.1.შეამოწმეთ ვექტორების წრფივი დამოუკიდებლობა

გამოსავალი.შევქმნათ ფორმის ტოლობა (2.1)

ამ გამოხატვის მარცხენა მხარე შეიძლება გახდეს ნული მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ პირობა დაკმაყოფილებულია , რაც ნიშნავს, რომ სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია.

მაგალითი 2.1.იქნება ვექტორები ხაზოვანი დამოუკიდებელი?

გამოსავალი.თანასწორობის შემოწმება ადვილია მართალია ღირებულებებისთვის , . ეს ნიშნავს, რომ ვექტორთა ეს სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

თეორემა 2.1. თუ ვექტორთა სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ ამ სისტემიდან ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი სისტემის დარჩენილი ვექტორების წრფივი კომბინაცია (ან სუპერპოზიცია).

მტკიცებულება. დავუშვათ, რომ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოკიდებული. შემდეგ, განსაზღვრებით, არის რიცხვების ნაკრები , რომელთა შორის ერთი რიცხვი მაინც განსხვავდება ნულისაგან და ტოლობა (2.1) მოქმედებს:

ზოგადობის დაკარგვის გარეშე, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ არანულოვანი კოეფიციენტი არის, ანუ . შემდეგ ბოლო ტოლობა შეიძლება დაიყოს და შემდეგ გამოვხატოთ ვექტორად:

.

ამრიგად, ვექტორი წარმოდგენილია ვექტორების სუპერპოზიციის სახით . თეორემა 1 დადასტურებულია.

შედეგი. თუ არის წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების ერთობლიობა, მაშინ ამ სიმრავლიდან არც ერთი ვექტორი არ შეიძლება გამოიხატოს სხვების მიხედვით.

თეორემა 2.2. თუ ვექტორთა სისტემა შეიცავს ნულოვან ვექტორს, მაშინ ასეთი სისტემა აუცილებლად იქნება წრფივი დამოკიდებული.

მტკიცებულება. დაე, ვექტორი იყოს ნულოვანი ვექტორი, ანუ .

შემდეგ ვირჩევთ მუდმივებს ( ) შემდეგნაირად:

, .

ამ შემთხვევაში თანასწორობა (2.1) დაკმაყოფილებულია. პირველი წევრი მარცხნივ უდრის ნულს იმის გამო, რომ არის ნულოვანი ვექტორი. დარჩენილი ტერმინები ხდება ნულოვანი ნულოვანი მუდმივებზე გამრავლებისას ( ). ამრიგად,

ზე , რაც ნიშნავს ვექტორებს წრფივად დამოკიდებული. თეორემა 2.2 დადასტურებულია.

შემდეგი კითხვა, რომელზეც უნდა ვუპასუხოთ, არის რა ვექტორთა უდიდეს რაოდენობას შეუძლია შექმნას წრფივი დამოუკიდებელი სისტემავ ნ- განზომილებიანი არითმეტიკული სივრცე. 2.1 პუნქტში, ბუნებრივი საფუძველი (1.4) განიხილებოდა:

დადგინდა, რომ განზომილებიანი სივრცის თვითნებური ვექტორი არის ბუნებრივი საფუძვლის ვექტორების წრფივი კომბინაცია, ანუ თვითნებური ვექტორი. გამოიხატება ბუნებრივ საფუძველზე, როგორც

, (2.2)

სად არის ვექტორის კოორდინატები, რომლებიც ზოგიერთი რიცხვია. მერე თანასწორობა

შესაძლებელია მხოლოდ და, შესაბამისად, ვექტორებისთვის ბუნებრივი საფუძველი ქმნის ხაზობრივად დამოუკიდებელ სისტემას. თუ ამ სისტემას დავუმატებთ თვითნებურ ვექტორს , მაშინ 1 თეორემას დასკვნაზე დაყრდნობით სისტემა იქნება დამოკიდებული, ვინაიდან ვექტორი გამოიხატება ვექტორებით ფორმულის მიხედვით (2.2).

ეს მაგალითი გვიჩვენებს, რომ ში ნ-განზომილებიანი არითმეტიკული სივრცე არსებობს ხაზოვანი დამოუკიდებელი ვექტორებისგან შემდგარი სისტემები. და თუ ამ სისტემას ერთ ვექტორს მაინც დავუმატებთ, მივიღებთ წრფივად დამოკიდებული ვექტორების სისტემას. დავამტკიცოთ, რომ თუ ვექტორების რაოდენობა აღემატება სივრცის განზომილებას, მაშინ ისინი წრფივად არიან დამოკიდებული.

თეორემა 2.3.განზომილებიანი არითმეტიკული სივრცეში არ არსებობს სისტემა, რომელიც შედგება მეტი წრფივი დამოუკიდებელი ვექტორები.

მტკიცებულება. განვიხილოთ თვითნებური განზომილებიანი ვექტორები:

………………………

დაე . შევქმნათ ვექტორების წრფივი კომბინაცია (2.3) და გავუტოლოთ ნულს:

ვექტორული თანასწორობა (2.4) კოორდინატებისთვის სკალარული ტოლობების ტოლია ვექტორები :

(2.5)

ეს თანასწორობები ქმნიან უცნობებთან ერთგვაროვანი განტოლებების სისტემას . ვინაიდან უცნობის რაოდენობა უფრო მეტია, ვიდრე განტოლებების რაოდენობა ( ), მაშინ 1-ლი ნაწილის 9.3 თეორემის დასკვნის საფუძველზე, ერთგვაროვან სისტემას (2.5) აქვს არანულოვანი ამონახსნები. შესაბამისად, თანასწორობა (2.4) მოქმედებს ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის , რომელთა შორის ყველა არ არის ნულის ტოლი, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორთა სისტემა (2.3) წრფივად არის დამოკიდებული. თეორემა 2.3 დადასტურებულია.

შედეგი. განზომილებიანი სივრცეში არის სისტემები, რომლებიც შედგება წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორებისგან და ნებისმიერი სისტემა, რომელიც შეიცავს ვექტორებზე მეტს, იქნება წრფივად დამოკიდებული.

განმარტება 2.2.წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების სისტემა ეწოდება სივრცის საფუძველი, თუ სივრცეში რომელიმე ვექტორი შეიძლება გამოისახოს ამ წრფივი დამოუკიდებელი ვექტორების წრფივი კომბინაცია.

2.3. ხაზოვანი ვექტორული ტრანსფორმაცია

განვიხილოთ ორი ვექტორი და -განზომილებიანი არითმეტიკული სივრცე.

განმარტება 3.1.თუ ყოველი ვექტორი თუ ერთი და იგივე სივრცის ვექტორი ასოცირდება, მაშინ ჩვენ ვამბობთ, რომ მოცემულია განზომილებიანი არითმეტიკული სივრცის გარკვეული ტრანსფორმაცია.

ჩვენ აღვნიშნავთ ამ ტრანსფორმაციას. ჩვენ ვექტორს სურათს დავარქმევთ. ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ თანასწორობა

. (3.1)

განმარტება 3.2.ტრანსფორმაციას (3.1) დაერქმევა წრფივი, თუ ის აკმაყოფილებს შემდეგ თვისებებს:

, (3.2)

, (3.3)

სად არის თვითნებური სკალარი (რიცხვი).

მოდით განვსაზღვროთ ტრანსფორმაცია (3.1) კოორდინატთა სახით. მოდით ვექტორების კოორდინატები და დამოკიდებულებით შებოჭილი

(3.4)

ფორმულები (3.4) განსაზღვრავს ტრანსფორმაციას (3.1) კოორდინატულ ფორმაში. შანსები ( ) თანასწორობის სისტემები (3.4) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მატრიცის სახით

ეწოდება ტრანსფორმაციის მატრიცა (3.1).

შემოვიღოთ სვეტის ვექტორები

,

რომლის ელემენტებია ვექტორების კოორდინატები და შესაბამისად, ასე და . ჩვენ ამიერიდან სვეტის ვექტორებს დავარქმევთ ვექტორებს.

შემდეგ ტრანსფორმაცია (3.4) შეიძლება დაიწეროს მატრიცის სახით

. (3.5)

ტრანსფორმაცია (3.5) წრფივია მატრიცებზე არითმეტიკული მოქმედებების თვისებების გამო.

განვიხილოთ ზოგიერთი ტრანსფორმაცია, რომლის გამოსახულება არის ნულოვანი ვექტორი. მატრიცის სახით ეს ტრანსფორმაცია ასე გამოიყურება

, (3.6)

ხოლო კოორდინატთა სახით – წარმოადგენენ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემას

(3.7)

განმარტება 3.3.წრფივ ტრანსფორმაციას ეწოდება არასიგნორული, თუ წრფივი ტრანსფორმაციის მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, ე.ი. . თუ დეტერმინანტი გაქრება, მაშინ ტრანსფორმაცია გადაგვარებული იქნება .

ცნობილია, რომ სისტემას (3.7) აქვს ტრივიალური (აშკარა) ამონახსნი - ნული. ეს გამოსავალი უნიკალურია, თუ მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნული.

სისტემის არანულოვანი გადაწყვეტილებები (3.7) შეიძლება გამოჩნდეს, თუ წრფივი ტრანსფორმაცია გადაგვარებულია, ანუ თუ მატრიცის განმსაზღვრელი არის ნული.

განმარტება 3.4. ტრანსფორმაციის რანგი (3.5) არის ტრანსფორმაციის მატრიცის რანგი.

შეგვიძლია ვთქვათ, რომ იგივე რიცხვი უდრის მატრიცის წრფივად დამოუკიდებელი მწკრივების რაოდენობას.

მოდით მივმართოთ წრფივი ტრანსფორმაციის გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას (3.5).

მაგალითი 3.1.მოდით იყოს მოცემული წრფივი ტრანსფორმაციის მატრიცა , სადაც აიღეთ თვითნებური ვექტორი , სად და იპოვე მისი სურათი:
შემდეგ ვექტორი
.

თუ , მაშინ ვექტორი შეიცვლება სიგრძესაც და მიმართულსაც. ნახ. 1-ში.

თუ , შემდეგ მივიღებთ სურათს

,

ანუ ვექტორი
ან , რაც ნიშნავს, რომ ის მხოლოდ სიგრძეს შეიცვლის, მაგრამ მიმართულებას არ შეცვლის (სურ. 2).

მაგალითი 3.2.დაე , . მოდი ვიპოვოთ სურათი:

,

ანუ
, ან .

ვექტორი გარდაქმნის შედეგად მან შეცვალა მიმართულება საპირისპიროდ, ხოლო ვექტორის სიგრძე შენარჩუნდა (სურ. 3).

მაგალითი 3.3.განვიხილოთ მატრიცა ხაზოვანი ტრანსფორმაცია. ადვილია იმის ჩვენება, რომ ამ შემთხვევაში ვექტორის გამოსახულება მთლიანად ემთხვევა თავად ვექტორს (სურ. 4). მართლაც,

.

შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ვექტორების წრფივი ტრანსფორმაცია ცვლის თავდაპირველ ვექტორს სიგრძითაც და მიმართულებითაც. თუმცა, ზოგიერთ შემთხვევაში არის მატრიცები, რომლებიც გარდაქმნიან ვექტორს მხოლოდ მიმართულებით (მაგალითი 3.2) ან მხოლოდ სიგრძით (მაგალითი 3.1, შემთხვევა. ).

უნდა აღინიშნოს, რომ ყველა ვექტორი, რომელიც ერთსა და იმავე ხაზზე დევს, ქმნის წრფივად დამოკიდებული ვექტორების სისტემას.

დავუბრუნდეთ წრფივ ტრანსფორმაციას (3.5)

და განიხილეთ ვექტორების კოლექცია , რომლის გამოსახულება არის ნულოვანი ვექტორი, ასე რომ .

განმარტება 3.5. ვექტორების ერთობლიობა, რომელიც წარმოადგენს განტოლების ამოხსნას , ქმნის -განზომილებიანი არითმეტიკული სივრცის ქვესივრცეს და ე.წ ხაზოვანი ტრანსფორმაციის ბირთვი.

განმარტება 3.6. ხაზოვანი ტრანსფორმაციის დეფექტი ამ ტრანსფორმაციის ბირთვის განზომილება ეწოდება, ანუ წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების ყველაზე დიდი რაოდენობა, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას. .

ვინაიდან მატრიცის წოდებას ვგულისხმობთ წრფივი ტრანსფორმაციის რანგით, შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ შემდეგი განცხადება მატრიცის დეფექტთან დაკავშირებით: დეფექტი უდრის განსხვავებას. სად არის მატრიცის განზომილება და არის მისი რანგი.

თუ წრფივი ტრანსფორმაციის მატრიცის (3.5) რანგს ვეძებთ გაუსის მეთოდით, მაშინ რანგი ემთხვევა არანულოვანი ელემენტების რაოდენობას უკვე გარდაქმნილი მატრიცის მთავარ დიაგონალზე, ხოლო დეფექტი განისაზღვრება ნულის რიცხვით. რიგები.

თუ წრფივი ტრანსფორმაცია არადეგენერატია, ე.ი , მაშინ მისი დეფექტი ხდება ნული, ვინაიდან ბირთვი ერთადერთი ნულოვანი ვექტორია.

თუ წრფივი ტრანსფორმაცია გადაგვარებულია და , მაშინ სისტემას (3.6) აქვს სხვა ამონახსნები გარდა ნულოვანი ერთის და ხარვეზი ამ შემთხვევაში უკვე განსხვავდება ნულისაგან.

განსაკუთრებით საინტერესოა გარდაქმნები, რომლებიც სიგრძის შეცვლისას არ ცვლიან ვექტორის მიმართულებას. უფრო ზუსტად, ისინი ტოვებენ ვექტორს თავდაპირველი ვექტორის შემცველ ხაზზე, იმ პირობით, რომ ხაზი გადის საწყისზე. ასეთი გარდაქმნები განხილული იქნება მომდევნო პუნქტში 2.4.

ამ სტატიაში ჩვენ განვიხილავთ:

• რა არის კოლინარული ვექტორები;
• როგორია ვექტორების კოლინარობის პირობები;
• რა თვისებები არსებობს კოლინარული ვექტორების;
• რა არის კოლინარული ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება.

განმარტება 1

კოლინარული ვექტორები არის ვექტორები, რომლებიც პარალელურია ერთი ხაზის ან დევს ერთ წრფეზე.

მაგალითი 1

ვექტორების კოლინარობის პირობები

ორი ვექტორი თანასწორია, თუ რომელიმე ქვემოთ ჩამოთვლილი პირობა მართალია:

• მდგომარეობა 1 . ვექტორები a და b არის კოლინარული, თუ არის რიცხვი λ ისეთი, რომ a = λ b;
• მდგომარეობა 2 . ვექტორები a და b თანაბარია თანაბარი კოორდინატთა შეფარდებით:

a = (a 1 ; a 2), b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• მდგომარეობა 3 . a და b ვექტორები თანამიმდევრულია იმ პირობით, რომ ჯვარედინი ნამრავლი და ნულოვანი ვექტორი ტოლია:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

შენიშვნა 1

მდგომარეობა 2 არ გამოიყენება, თუ ერთ-ერთი ვექტორული კოორდინატი ნულის ტოლია.

შენიშვნა 2

მდგომარეობა 3 ვრცელდება მხოლოდ იმ ვექტორებზე, რომლებიც მითითებულია სივრცეში.

ამოცანების მაგალითები ვექტორების კოლინარობის შესასწავლად

მაგალითი 1

ჩვენ განვიხილავთ a = (1; 3) და b = (2; 1) ვექტორებს კოლინარობისთვის.

როგორ მოვაგვაროთ?

ამ შემთხვევაში აუცილებელია მე-2 კოლინარობის პირობის გამოყენება. მოცემული ვექტორებისთვის ეს ასე გამოიყურება:

თანასწორობა მცდარია. აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ a და b ვექტორები არასწორხაზოვანია.

უპასუხე : a | | ბ

მაგალითი 2

a = (1; 2) და b = (- 1; m) ვექტორის m რა მნიშვნელობაა საჭირო იმისათვის, რომ ვექტორები იყოს ხაზოვანი?

როგორ მოვაგვაროთ?

მეორე კოლინარობის პირობის გამოყენებით, ვექტორები იქნება კოლინარული, თუ მათი კოორდინატები პროპორციულია:

ეს აჩვენებს, რომ m = - 2.

პასუხი: მ = - 2 .

ვექტორული სისტემების წრფივი დამოკიდებულებისა და წრფივი დამოუკიდებლობის კრიტერიუმები

თეორემა

ვექტორთა სისტემა ვექტორულ სივრცეში წრფივად არის დამოკიდებული მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სისტემის ერთ-ერთი ვექტორი შეიძლება გამოისახოს ამ სისტემის დარჩენილი ვექტორებით.

მტკიცებულება

მოდით სისტემა e 1 , e 2 , . . . , e n არის წრფივი დამოკიდებული. მოდით დავწეროთ ამ სისტემის წრფივი კომბინაცია ნულოვანი ვექტორის ტოლი:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

რომელშიც კომბინაციის კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც არ არის ნულის ტოლი.

მოდით a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

ტოლობის ორივე მხარეს ვყოფთ არანულოვანი კოეფიციენტით:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

აღვნიშნოთ:

A k - 1 a m , სადაც m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Ამ შემთხვევაში:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

ან e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

აქედან გამომდინარეობს, რომ სისტემის ერთ-ერთი ვექტორი გამოიხატება სისტემის ყველა სხვა ვექტორის მეშვეობით. რისი დამტკიცება იყო საჭირო (ა.შ.).

ადეკვატურობა

მოდით, ერთ-ერთი ვექტორი წრფივად იყოს გამოხატული სისტემის ყველა სხვა ვექტორში:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

ვექტორს e k გადავიტანთ ამ ტოლობის მარჯვენა მხარეს:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

ვინაიდან e k ვექტორის კოეფიციენტი უდრის - 1 ≠ 0, ვიღებთ ნულის არატრივიალურ წარმოდგენას e 1, e 2, ვექტორების სისტემით. . . , e n და ეს, თავის მხრივ, ნიშნავს, რომ ვექტორთა ეს სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული. რისი დამტკიცება იყო საჭირო (ა.შ.).

შედეგი:

• ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, როდესაც მისი არცერთი ვექტორი არ შეიძლება გამოისახოს სისტემის ყველა სხვა ვექტორებით.
• ვექტორთა სისტემა, რომელიც შეიცავს ნულოვან ვექტორს ან ორ თანაბარ ვექტორს, წრფივად არის დამოკიდებული.

წრფივად დამოკიდებული ვექტორების თვისებები

1. 2- და 3-განზომილებიანი ვექტორებისთვის დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობა: ორი წრფივად დამოკიდებული ვექტორი თანამიმართულია. ორი კოლინარული ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული.
2. 3-განზომილებიანი ვექტორებისთვის შემდეგი პირობა დაკმაყოფილებულია: სამი წრფივად დამოკიდებული ვექტორი თანაპლენარულია. (3 თანაპლენარული ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული).
3. n-განზომილებიანი ვექტორებისთვის შემდეგი პირობა დაკმაყოფილებულია: n + 1 ვექტორები ყოველთვის წრფივია დამოკიდებული.

ხაზოვანი დამოკიდებულების ან ვექტორების ხაზოვანი დამოუკიდებლობის ამოცანების ამოხსნის მაგალითები

მაგალითი 3

შევამოწმოთ ვექტორები a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 წრფივი დამოუკიდებლობისთვის.

გამოსავალი. ვექტორები წრფივად არის დამოკიდებული, რადგან ვექტორების განზომილება ნაკლებია ვექტორების რაოდენობაზე.

მაგალითი 4

შევამოწმოთ ვექტორები a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 წრფივი დამოუკიდებლობისთვის.

გამოსავალი. ჩვენ ვპოულობთ იმ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს, რომლებშიც წრფივი კომბინაცია ტოლი იქნება ნულოვანი ვექტორის:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

ვწერთ ვექტორულ განტოლებას წრფივი სახით:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

ჩვენ ამ სისტემას ვხსნით გაუსის მეთოდით:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

მე-2 სტრიქონს ვაკლებთ 1-ს, მე-3-ს - 1-ს:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

1 სტრიქონს ვაკლებთ მე-2-ს, მე-3-ს ვამატებთ მე-2-ს:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

გადაწყვეტიდან გამომდინარეობს, რომ სისტემას ბევრი გამოსავალი აქვს. ეს ნიშნავს, რომ არსებობს ისეთი რიცხვების მნიშვნელობების არანულოვანი კომბინაცია x 1, x 2, x 3, რომლისთვისაც a, b, c წრფივი კომბინაცია უდრის ნულოვან ვექტორს. ამიტომ ვექტორები a, b, c არის წრფივად დამოკიდებული. ​​​​​​​

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

განმარტება 1. ვექტორთა სისტემას უწოდებენ წრფივად დამოკიდებულს, თუ სისტემის ერთ-ერთი ვექტორი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სისტემის დარჩენილი ვექტორების წრფივი კომბინაციით, ხოლო წრფივად დამოუკიდებელი - სხვაგვარად.

განმარტება 1'. ვექტორთა სისტემას უწოდებენ წრფივად დამოკიდებულს, თუ არსებობს რიცხვები თან 1 , თან 2 , …, თან k , ყველა ნულის ტოლი არ არის, ისეთი, რომ მოცემული კოეფიციენტებით ვექტორების წრფივი კომბინაცია ნულოვანი ვექტორის ტოლია: = , წინააღმდეგ შემთხვევაში სისტემას წრფივად დამოუკიდებელი ეწოდება.

მოდით ვაჩვენოთ, რომ ეს განმარტებები ექვივალენტურია.

დაკმაყოფილდეს განმარტება 1, ე.ი. სისტემის ერთ-ერთი ვექტორი უდრის სხვების წრფივ კომბინაციას:

ვექტორთა სისტემის წრფივი კომბინაცია ნულოვანი ვექტორის ტოლია და ამ კომბინაციის ყველა კოეფიციენტი არ არის ნულის ტოლი, ე.ი. განმარტება 1' დაკმაყოფილებულია.

დაიცავით განმარტება 1'. ვექტორთა სისტემის წრფივი კომბინაცია ტოლია და კომბინაციის ყველა კოეფიციენტი არ არის ნულის ტოლი, მაგალითად, ვექტორის კოეფიციენტები.

ჩვენ წარმოვადგინეთ სისტემის ერთ-ერთი ვექტორი, როგორც სხვების წრფივი კომბინაცია, ე.ი. განმარტება 1 დაკმაყოფილებულია.

განმარტება 2. ერთეული ვექტორი ან ერთეული ვექტორი ეწოდება n-განზომილებიანი ვექტორი, რომელი მე-ე კოორდინატი უდრის ერთს, დანარჩენი კი ნულის ტოლია.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

თეორემა 1. სხვადასხვა ერთეული ვექტორები ნ-განზომილებიანი სივრცე წრფივად დამოუკიდებელია.

მტკიცებულება.დაე, ამ ვექტორების წრფივი კომბინაცია თვითნებური კოეფიციენტებით იყოს ნულოვანი ვექტორის ტოლი.

ამ თანასწორობიდან გამომდინარეობს, რომ ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია. ჩვენ მივიღეთ წინააღმდეგობა.

თითოეული ვექტორი ნ- განზომილებიანი სივრცე ā (ა 1 , ა 2 , ..., აო) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ერთეული ვექტორების წრფივი კომბინაციით ვექტორული კოორდინატების ტოლი კოეფიციენტებით

თეორემა 2. თუ ვექტორთა სისტემა შეიცავს ნულოვან ვექტორს, მაშინ ის წრფივია დამოკიდებული.

მტკიცებულება.მოდით იყოს მოცემული ვექტორთა სისტემა და ერთ-ერთი ვექტორი არის ნული, მაგალითად = . შემდეგ, ამ სისტემის ვექტორებით, შეგიძლიათ გააკეთოთ წრფივი კომბინაცია ნულოვანი ვექტორის ტოლი და ყველა კოეფიციენტი არ იქნება ნული:

ამრიგად, სისტემა ხაზოვანია დამოკიდებული.

თეორემა 3. თუ ვექტორთა სისტემის ზოგიერთი ქვესისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ მთელი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

მტკიცებულება.მოცემულია ვექტორების სისტემა. დავუშვათ, რომ სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, ე.ი. არის ნომრები თან 1 , თან 2 , …, თან რ , ყველა ნულის ტოლი არ არის, ისეთი რომ = .მაშინ

აღმოჩნდა, რომ მთელი სისტემის ვექტორების წრფივი კომბინაცია უდრის , და ამ კომბინაციის ყველა კოეფიციენტი არ არის ნულის ტოლი. შესაბამისად, ვექტორთა სისტემა წრფივია დამოკიდებული.

შედეგი.თუ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, მაშინ მისი რომელიმე ქვესისტემა ასევე წრფივად დამოუკიდებელია.

მტკიცებულება.

დავუშვათ პირიქით, ე.ი. ზოგიერთი ქვესისტემა წრფივად არის დამოკიდებული. თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ მთელი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული. ჩვენ წინააღმდეგობამდე მივედით.

თეორემა 4 (შტეინიცის თეორემა).თუ თითოეული ვექტორი არის ვექტორების წრფივი კომბინაცია და მ>ნ, მაშინ ვექტორთა სისტემა წრფივია დამოკიდებული.

შედეგი. n-განზომილებიანი ვექტორების ნებისმიერ სისტემაში არ შეიძლება იყოს n-ზე მეტი წრფივი დამოუკიდებელი ვექტორები.

მტკიცებულება.ყოველი ნ-განზომილებიანი ვექტორი გამოიხატება როგორც n ერთეული ვექტორის წრფივი კომბინაცია. ამიტომ, თუ სისტემა შეიცავს მვექტორები და მ>ნ, მაშინ, თეორემის მიხედვით, ეს სისტემა წრფივია დამოკიდებული.