გაკვეთილის შეჯამება.
ალგებრა მე-8 კლასი
მასწავლებელი Sysoy A.K.
სკოლა 1828 წ
გაკვეთილის თემა: „პარალელოგრამი და მისი თვისებები“
გაკვეთილის ტიპი: კომბინირებული
გაკვეთილის მიზნები:
1) უზრუნველყოს ახალი კონცეფციის - პარალელოგრამის და მისი თვისებების ათვისება
2) გააგრძელოს გეომეტრიული ამოცანების გადაჭრის უნარებისა და შესაძლებლობების გამომუშავება;
3) მათემატიკური მეტყველების კულტურის განვითარება
Გაკვეთილის გეგმა:
(სლაიდი 1)
სლაიდში ნაჩვენებია ლუის კეროლის განცხადება. მოსწავლეები ეცნობიან გაკვეთილის მიზანს. მოწმდება მოსწავლეთა მზადყოფნა გაკვეთილზე.
2. ცოდნის განახლება
(სლაიდი 2)
დაფაზე არის დავალებები ზეპირი სამუშაო. მასწავლებელი იწვევს მოსწავლეებს დაფიქრდნენ ამ პრობლემებზე და ასწიონ ხელები მათთვის, ვისაც ესმის, როგორ გადაჭრას პრობლემა. ორი ამოცანის ამოხსნის შემდეგ დაფაზე იწვევენ მოსწავლეს კუთხეთა ჯამის თეორემის დასამტკიცებლად, რომელიც დამოუკიდებლად აკეთებს დამატებით კონსტრუქციებს ნახაზზე და ზეპირად ამტკიცებს თეორემას.
მოსწავლეები იყენებენ მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამის ფორმულას:
3. ძირითადი ნაწილი
(სლაიდი 3)
პარალელოგრამის განმარტება დაფაზე. მასწავლებელი საუბრობს ახალ ფიგურაზე და აყალიბებს განმარტებას, აკეთებს საჭირო განმარტებებს ნახატის გამოყენებით. შემდეგ, პრეზენტაციის მონიშნულ ნაწილზე, მარკერისა და სახაზავის გამოყენებით, გვიჩვენებს, როგორ დავხატოთ პარალელოგრამი (შესაძლებელია რამდენიმე შემთხვევა)
(სლაიდი 4)
მასწავლებელი აყალიბებს პარალელოგრამის პირველ თვისებას. იწვევს მოსწავლეებს ნახატიდან თქვან რა არის მოცემული და რა საჭიროებს დამტკიცებას. ამის შემდეგ დაფაზე ჩნდება მოცემული დავალება. მოსწავლეები გამოცნობენ (შესაძლოა მასწავლებლის დახმარებით), რომ საჭირო ტოლობები უნდა დადასტურდეს სამკუთხედების ტოლობებით, რომელთა მიღებაც შესაძლებელია დიაგონალის დახაზვით (დაფაზე ჩნდება დიაგონალი). შემდეგ მოსწავლეები გამოცნობენ, რატომ არის სამკუთხედები ტოლი და ასახელებენ სამკუთხედების ტოლობის ნიშანს (ჩნდება შესაბამისი ფორმა). ისინი სიტყვიერად გადმოსცემენ ფაქტებს, რომლებიც აუცილებელია სამკუთხედების გასათანაბრებლად (როგორც ისინი ასახელებენ, ჩნდება შესაბამისი ვიზუალიზაცია). შემდეგ მოსწავლეები აყალიბებენ თანმიმდევრული სამკუთხედების თვისებას, ის ჩნდება დამტკიცების მე-3 პუნქტად და შემდეგ დამოუკიდებლად ასრულებენ თეორემის მტკიცებულებას ზეპირად.
(სლაიდი 5)
მასწავლებელი აყალიბებს პარალელოგრამის მეორე თვისებას. დაფაზე ჩნდება პარალელოგრამის ნახაზი. მასწავლებელი გვთავაზობს სურათის გამოყენებას იმის სათქმელად, თუ რა არის მოცემული და რა სჭირდება დამტკიცებას. მას შემდეგ, რაც მოსწავლეები სწორად შეატყობინებენ რა არის მოცემული და რისი დადასტურებაა საჭირო, ჩნდება თეორემის პირობა. მოსწავლეები გამოცნობენ, რომ დიაგონალების ნაწილების ტოლობა შეიძლება დადასტურდეს სამკუთხედების ტოლობის საშუალებით.AOBდა C.O.D.. პარალელოგრამის წინა თვისების გამოყენებით გამოვიცნობთ, რომ გვერდები ტოლიაABდა CD. შემდეგ მათ ესმით, რომ მათ უნდა იპოვონ თანაბარი კუთხეები და პარალელური წრფეების თვისებების გამოყენებით დაამტკიცონ ტოლი გვერდების მიმდებარე კუთხეების ტოლობა. ეს ეტაპები ვიზუალიზებულია სლაიდზე. თეორემის ჭეშმარიტება გამომდინარეობს სამკუთხედების ტოლობიდან - ამას მოსწავლეები ამბობენ და სლაიდზე ჩნდება შესაბამისი ვიზუალიზაცია.
(სლაიდი 6)
მასწავლებელი აყალიბებს პარალელოგრამის მესამე თვისებას. გაკვეთილის დასრულებამდე დარჩენილი დროიდან გამომდინარე, მასწავლებელს შეუძლია მოსწავლეებს მისცეს შესაძლებლობა დამოუკიდებლად დაამტკიცონ ეს თვისება, ან შემოიფარგლონ მისი ფორმულირებით და თავად მტკიცებულება დაუტოვოს მოსწავლეებს, როგორც საშინაო დავალება. მტკიცებულება შეიძლება ეფუძნებოდეს ჩაწერილი მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამს, რომელიც განმეორდა გაკვეთილის დასაწყისში, ან ორი პარალელური წრფის შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამს.ახ.წდა ძვ.წ.და სეკანტი, მაგალითადAB.
4. მასალის დამაგრება
ამ ეტაპზე მოსწავლეები პრობლემების გადასაჭრელად იყენებენ ადრე ნასწავლ თეორემებს. მოსწავლეები ირჩევენ იდეებს პრობლემის დამოუკიდებლად გადაჭრისთვის. ვინაიდან დიზაინის მრავალი შესაძლო ვარიანტი არსებობს და ყველა მათგანი დამოკიდებულია იმაზე, თუ როგორ ეძებენ სტუდენტები პრობლემის გადაწყვეტას, არ არსებობს პრობლემების გადაწყვეტის ვიზუალიზაცია და სტუდენტები დამოუკიდებლად ადგენენ გადაწყვეტის თითოეულ ეტაპს ცალკე დაფაზე. რვეულში ამოხსნის ჩაწერით.
(სლაიდი 7)
ჩნდება დავალების პირობა. მასწავლებელი გვთავაზობს „მოცემულის“ ჩამოყალიბებას პირობის მიხედვით. მას შემდეგ, რაც მოსწავლეები სწორად ჩამოწერენ პირობის მოკლე დებულებას, დაფაზე გამოჩნდება „მიცემული“. პრობლემის გადაჭრის პროცესი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:
დავხატოთ სიმაღლე BH (ვიზუალიზაცია)
სამკუთხედი AHB არის მართკუთხა სამკუთხედი. კუთხე A უდრის C კუთხეს და უდრის 30 0-ს (პარალელოგრამის მოპირდაპირე კუთხეების თვისების მიხედვით). 2BH =AB (სწორი სამკუთხედის 30 0 კუთხის მოპირდაპირე ფეხის თვისებით). ასე რომ AB = 13 სმ.
AB = CD, BC = AD (პარალელოგრამის მოპირდაპირე გვერდების თვისების მიხედვით) ასე რომ AB = CD = 13 სმ. ვინაიდან პარალელოგრამის პერიმეტრი არის 50 სმ, მაშინ BC = AD = (50 – 26): 2 = 12 სმ.
პასუხი: AB = CD = 13 სმ, BC = AD = 12 სმ.
(სლაიდი 8)
ჩნდება დავალების პირობა. მასწავლებელი გვთავაზობს „მოცემულის“ ჩამოყალიბებას პირობის მიხედვით. შემდეგ ეკრანზე გამოჩნდება "მიცემული". წითელი ხაზების გამოყენებით ხაზგასმულია ოთხკუთხედი, რომლის შესახებაც თქვენ უნდა დაადასტუროთ, რომ ეს არის პარალელოგრამი. პრობლემის გადაჭრის პროცესი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:
იმიტომ რომ BK და MD პერპენდიკულარულია ერთ წრფეზე, შემდეგ ხაზები BK და MD პარალელურია.
მეშვეობით მიმდებარე კუთხეებიშეიძლება ნაჩვენები იყოს, რომ BM და KD წრფეებზე შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი და სეკანტური MD უდრის 180 0-ს. ამიტომ, ეს ხაზები პარალელურია.
ვინაიდან ოთხკუთხედს BMDK აქვს საპირისპირო გვერდები პარალელურად წყვილებში, მაშინ ეს ოთხკუთხედი არის პარალელოგრამი.
5. გაკვეთილის დასასრული. შედეგების ქცევა.
(სლაიდი 8)
კითხვები ჩნდება სლაიდზე ახალი თემა, რაზეც სტუდენტები პასუხობენ.
პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები პარალელურია წყვილებში (სურ. 233).
თვითნებური პარალელოგრამისთვის მოქმედებს შემდეგი თვისებები:
1. პარალელოგრამის საპირისპირო გვერდები ტოლია.
მტკიცებულება. ABCD პარალელოგრამზე ვხატავთ AC დიაგონალს. სამკუთხედები ACD და AC B ტოლია, რადგან აქვთ საერთო გვერდი AC და ორი წყვილი თანაბარი კუთხე მის მიმდებარედ:
(როგორც ჯვარედინი კუთხეები AD და BC პარალელური წრფეებით). ეს ნიშნავს და ისევე როგორც ტოლი სამკუთხედების გვერდებს, რომლებიც დევს თანაბარი კუთხის მოპირდაპირე მხარეს, რაც დამტკიცებას საჭიროებდა.
2. პარალელოგრამის საპირისპირო კუთხეები ტოლია:
3. პარალელოგრამის მიმდებარე კუთხეები, ანუ ერთი მხარის მიმდებარე კუთხეები, შეკრება და ა.შ.
2 და 3 თვისებების დადასტურება დაუყოვნებლივ მიიღება პარალელური წრფეების კუთხეების თვისებებიდან.
4. პარალელოგრამის დიაგონალები ერთმანეთს კვეთენ გადაკვეთის წერტილში. Სხვა სიტყვებით,
მტკიცებულება. სამკუთხედები AOD და BOC თანმიმდევრულია, რადგან მათი გვერდები AD და BC ტოლია (თვისება 1) და მათ მიმდებარე კუთხეები (როგორც ჯვარედინი კუთხეები პარალელური წრფეებისთვის). აქედან გამომდინარეობს, რომ ამ სამკუთხედების შესაბამისი გვერდები ტოლია: AO, რისი დამტკიცება იყო საჭირო.
ამ ოთხი თვისებიდან თითოეული ახასიათებს პარალელოგრამს, ან, როგორც ამბობენ, არის მისი დამახასიათებელი თვისება, ანუ ყოველი ოთხკუთხედი, რომელსაც აქვს ამ თვისებიდან ერთი მაინც, არის პარალელოგრამი (და, შესაბამისად, აქვს სამივე დანარჩენი თვისება).
მოდით განვახორციელოთ მტკიცებულება თითოეული ქონებისთვის ცალკე.
1". თუ ოთხკუთხედის მოპირდაპირე გვერდები წყვილებში ტოლია, მაშინ ის პარალელოგრამია.
მტკიცებულება. დაე, ოთხკუთხედს ABCD ჰქონდეს გვერდები AD და BC, AB და CD შესაბამისად ტოლი (ნახ. 233). დავხატოთ AC დიაგონალი. სამკუთხედები ABC და CDA თანმიმდევრული იქნება, როგორც სამი წყვილი თანაბარი გვერდით.
მაგრამ მაშინ კუთხეები BAC და DCA ტოლია და . BC და AD გვერდების პარალელიზმი გამომდინარეობს CAD და ACB კუთხეების ტოლობიდან.
2. თუ ოთხკუთხედს ორი წყვილი მოპირდაპირე კუთხე აქვს ტოლი, მაშინ ის პარალელოგრამია.
მტკიცებულება. დაე . მას შემდეგ ორივე მხარე AD და BC პარალელურია (ხაზების პარალელიზმზე დაყრდნობით).
3. ფორმულირება და მტკიცებულება მკითხველს ვუტოვებთ.
4. თუ ოთხკუთხედის დიაგონალები ერთმანეთს კვეთენ გადაკვეთის ადგილას, მაშინ ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.
მტკიცებულება. თუ AO = OS, BO = OD (ნახ. 233), მაშინ სამკუთხედები AOD და BOC ტოლია, რადგან აქვთ თანაბარი კუთხეები (ვერტიკალური!) O წვეროზე, ჩასმული ტოლი გვერდების წყვილებს შორის AO და CO, BO და DO. სამკუთხედების ტოლობიდან ვასკვნით, რომ გვერდები AD და BC ტოლია. AB და CD გვერდებიც ტოლია და ოთხკუთხედი გამოდის პარალელოგრამი G დამახასიათებელი თვისების მიხედვით.
ამრიგად, იმისათვის, რომ დავამტკიცოთ, რომ მოცემული ოთხკუთხედი პარალელოგრამია, საკმარისია ოთხი თვისებიდან რომელიმეს მართებულობის შემოწმება. მკითხველს ეპატიჟება დამოუკიდებლად დაამტკიცოს პარალელოგრამის კიდევ ერთი დამახასიათებელი თვისება.
5. თუ ოთხკუთხედს აქვს წყვილი თანაბარი, პარალელური გვერდი, მაშინ ის პარალელოგრამია.
ზოგჯერ პარალელოგრამის ნებისმიერ პარალელურ გვერდს უწოდებენ მის ფუძეებს, შემდეგ დანარჩენ ორს გვერდითი მხარე. პარალელოგრამის ორი გვერდის პერპენდიკულარულ სწორ მონაკვეთს, მათ შორის ჩასმული, პარალელოგრამის სიმაღლე ეწოდება. პარალელოგრამი ნახ. 234-ს აქვს სიმაღლე h დახატული AD და BC გვერდებზე, მისი მეორე სიმაღლე წარმოდგენილია სეგმენტით.
მტკიცებულება
პირველ რიგში დავხატოთ AC დიაგონალი. ჩვენ ვიღებთ ორ სამკუთხედს: ABC და ADC.
ვინაიდან ABCD არის პარალელოგრამი, მართებულია შემდეგი:
AD || BC \მარჯვენა ისარი \კუთხე 1 = \კუთხე 2როგორც ჯვარედინი წოლა.
AB || CD\Rightarrow\angle3 =\Angle 4როგორც ჯვარედინი წოლა.
ამიტომ, \სამკუთხედი ABC = \სამკუთხედი ADC (მეორე კრიტერიუმის მიხედვით: და AC საერთოა).
და, შესაბამისად, \სამკუთხედი ABC = \სამკუთხედი ADC, შემდეგ AB = CD და AD = BC.
დადასტურებული!
2. მოპირდაპირე კუთხეები იდენტურია.
მტკიცებულება
მტკიცებულების მიხედვით თვისებები 1ჩვენ ეს ვიცით \ კუთხე 1 = \კუთხე 2, \კუთხე 3 = \კუთხე 4. ამრიგად, საპირისპირო კუთხეების ჯამი არის: \კუთხე 1 + \კუთხე 3 = \კუთხე 2 + \კუთხე 4. იმის გათვალისწინებით, რომ \სამკუთხედი ABC = \სამკუთხედი ADC მივიღებთ \კუთხე A = \კუთხე C , \კუთხე B = \კუთხე D .
დადასტურებული!
3. დიაგონალები შუაზე იყოფა გადაკვეთის წერტილით.
მტკიცებულება
დავხატოთ კიდევ ერთი დიაგონალი.
ავტორი ქონება 1ჩვენ ვიცით, რომ მოპირდაპირე მხარეები იდენტურია: AB = CD. კიდევ ერთხელ შენიშნეთ ჯვარედინი თანაბარი კუთხეები.
ამრიგად, ცხადია, რომ \სამკუთხედი AOB = \სამკუთხედი COD სამკუთხედების ტოლობის მეორე კრიტერიუმის მიხედვით (ორი კუთხე და მათ შორის გვერდი). ანუ, BO = OD (კუთხეების \კუთხე 2 და \კუთხე 1 საპირისპირო) და AO = OC (კუთხის \კუთხების მოპირდაპირე 3 და კუთხის 4, შესაბამისად).
დადასტურებული!
პარალელოგრამის ნიშნები
თუ თქვენს პრობლემაში მხოლოდ ერთი მახასიათებელია, მაშინ ფიგურა არის პარალელოგრამი და შეგიძლიათ გამოიყენოთ ამ ფიგურის ყველა თვისება.
უკეთესი დასამახსოვრებლად, გაითვალისწინეთ, რომ პარალელოგრამის ნიშანი უპასუხებს შემდეგ კითხვას - "როგორ გავარკვიოთ?". ანუ როგორ გავარკვიოთ, რომ მოცემული ფიგურა პარალელოგრამია.
1. პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის ორი გვერდი ტოლი და პარალელურია.
AB = CD ; AB || CD\Rightarrow ABCD არის პარალელოგრამი.
მტკიცებულება
მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ. რატომ AD || ძვ.წ.
\სამკუთხედი ABC = \სამკუთხედი ADC მიერ ქონება 1: AB = CD, AC - საერთო და \კუთხე 1 = \კუთხე 2 ჯვარედინზე დევს პარალელურად AB და CD და სეკანტური AC.
მაგრამ თუ \სამკუთხედი ABC = \სამკუთხედი ADC , მაშინ \კუთხე 3 = \კუთხე 4 (შესაბამისად AB და CD მოპირდაპირეა). და ამიტომ AD || BC (\კუთხე 3 და \კუთხე 4 - ჯვარედინად მწოლიც ტოლია).
პირველი ნიშანი სწორია.
2. პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები ტოლია.
AB = CD, AD = BC \Rightarrow ABCD არის პარალელოგრამი.
მტკიცებულება
განვიხილოთ ეს ნიშანი. ისევ დავხატოთ AC დიაგონალი.
ავტორი ქონება 1\სამკუთხედი ABC = \სამკუთხედი ACD.
Აქედან გამომდინარეობს, რომ: \კუთხე 1 = \კუთხე 2 \Rightarrow AD || ძვ.წ.და \კუთხე 3 = \კუთხე 4 \Rightarrow AB || CD, ანუ ABCD არის პარალელოგრამი.
მეორე ნიშანი სწორია.
3. პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე კუთხეები ტოლია.
\ კუთხე A = \კუთხე C, \ კუთხე B = \ კუთხე D \ მარჯვენა ისარი ABCD- პარალელოგრამი.
მტკიცებულება
2 \ალფა + 2 \ბეტა = 360^(\circ)(რადგან ABCD არის ოთხკუთხედი და \კუთხე A = \კუთხე C , \კუთხე B = \კუთხე D პირობით).
გამოდის, რომ \alpha + \beta = 180^(\circ) . მაგრამ \alpha და \beta არის შიდა ცალმხრივი სეკანტურ AB-ზე.
და ის ფაქტი, რომ \alpha + \beta = 180^(\circ) ასევე ნიშნავს, რომ AD || ძვ.წ.
უფრო მეტიც, \alpha და \beta არის შიდა ცალმხრივი AD სეკანტში. და ეს ნიშნავს AB || CD.
მესამე ნიშანი სწორია.
4. პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის დიაგონალები შუაზე იყოფა გადაკვეთის წერტილით.
AO = OC; BO = OD \ მარჯვენა ისრის პარალელოგრამი.
მტკიცებულება
BO = OD; AO = OC, \კუთხე 1 = \კუთხე 2 ვერტიკალურად \მარჯვენა ისარი \სამკუთხედი AOB = \სამკუთხედი COD, \მარჯვენა ისარი \კუთხე 3 = \კუთხე 4და \Rightarrow AB || CD.
ანალოგიურად BO = OD; AO = OC, \ კუთხე 5 = \კუთხე 6 \მარჯვენა ისარი \სამკუთხედი AOD = \სამკუთხედი BOC \მარჯვენა ისარი \კუთხე 7 = \კუთხე 8, და \Rightarrow AD || ძვ.წ.
მეოთხე ნიშანი სწორია.
1. პარალელოგრამის განმარტება.
თუ პარალელური წრფეების წყვილს გადავკვეთთ სხვა პარალელურ წრფესთან, მივიღებთ ოთხკუთხედს, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილებად პარალელურია.
ოთხკუთხედებში ABDC და EFNM (ნახ. 224) ВD || AC და AB || CD;
EF || MN და EM || FN.
ოთხკუთხედს, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილებში პარალელურია, პარალელოგრამი ეწოდება.
2. პარალელოგრამის თვისებები.
თეორემა. პარალელოგრამის დიაგონალი მას ორ ტოლ სამკუთხედად ყოფს.
იყოს პარალელოგრამი ABDC (სურ. 225), რომელშიც AB || CD და AC || ВD.
თქვენ უნდა დაამტკიცოთ, რომ დიაგონალი მას ორ ტოლ სამკუთხედად ყოფს.
მოდით დავხატოთ CB დიაგონალი ABDC პარალელოგრამში. მოდით დავამტკიცოთ, რომ \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СДВ.
გვერდი NE საერთოა ამ სამკუთხედებისთვის; ∠ABC = ∠BCD, როგორც შიდა განივი კუთხეები პარალელური AB და CD და სეკანტური CB; ∠ACB = ∠СВD, ასევე მოსწონს შიდა ჯვარედინი კუთხეები პარალელური AC და BD და სეკანტური CB.
აქედან გამომდინარე, \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СДВ.
ანალოგიურად, შეიძლება დავამტკიცოთ, რომ დიაგონალი AD დაყოფს პარალელოგრამს ორ ტოლ სამკუთხედად ACD და ABD.
შედეგები:
1 . პარალელოგრამის საპირისპირო კუთხეები ერთმანეთის ტოლია.
∠A = ∠D, ეს გამომდინარეობს სამკუთხედების CAB და CDB ტოლობიდან.
ანალოგიურად, ∠C = ∠B.
2. პარალელოგრამის საპირისპირო მხარეები ერთმანეთის ტოლია.
AB = CD და AC = BD, რადგან ეს არის თანაბარი სამკუთხედების გვერდები და დევს თანაბარი კუთხის საპირისპიროდ.
თეორემა 2. პარალელოგრამის დიაგონალები მათი გადაკვეთის ადგილზე იყოფა ნახევრად.
BC და AD იყოს ABC პარალელოგრამის დიაგონალები (სურ. 226). მოდით დავამტკიცოთ, რომ AO = OD და CO = OB.
ამისათვის შეადარეთ საპირისპირო მდებარე სამკუთხედების რამდენიმე წყვილი, მაგალითად \(\Delta\)AOB და \(\Delta\)СOD.
ამ სამკუთხედებში AB = CD, პარალელოგრამის მოპირდაპირე გვერდების მსგავსად;
∠1 = ∠2, როგორც შიდა კუთხეები, რომლებიც განლაგებულია პარალელურად AB და CD და AD სეკანტით;
∠3 = ∠4 იმავე მიზეზით, ვინაიდან AB || CD და SV მათი სეკანტებია.
აქედან გამომდინარეობს, რომ \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)СOD. თანაბარ სამკუთხედებში კი თანაბარი გვერდები დგას თანაბარი კუთხით. ამიტომ, AO = OD და CO = OB.
თეორემა 3. პარალელოგრამის ერთი მხარის მიმდებარე კუთხეების ჯამი ტოლია 180°.
ABCD პარალელოგრამზე ვხატავთ AC დიაგონალს და ვიღებთ ორ სამკუთხედს ABC და ADC.
სამკუთხედები ტოლია, რადგან ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (გადაკვეთის კუთხეები პარალელური წრფეებისთვის), ხოლო გვერდი AC საერთოა.
\(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.
ერთი მხარის მიმდებარე კუთხეების ჯამი, მაგალითად კუთხეები A და D, უდრის 180°-ს, როგორც ცალმხრივი კუთხეები პარალელური წრფეებისთვის.