ბაკალიე მარია

შესწავლილია ოთხგანზომილებიანი კუბის ცნების (ტესერაქტის) დანერგვის გზები, მისი სტრუქტურა და ზოგიერთი თვისება.. რა სამგანზომილებიანი ობიექტები მიიღება ოთხგანზომილებიანი კუბის გადაკვეთისას მისი სამგანზომილებიანი ჰიპერთპნებით. განზომილებიანი სახეები, ისევე როგორც მისი მთავარი დიაგონალის პერპენდიკულარული ჰიპერპლანტებით. განხილულია კვლევისთვის გამოყენებული მრავალგანზომილებიანი ანალიტიკური გეომეტრიის აპარატი.

ჩამოტვირთვა:

გადახედვა:

შესავალი …………………………………………………………………………………….2

ძირითადი ნაწილი………………………………………………………………..4

დასკვნები……………………………………………………………………………..12

გამოყენებული ლიტერატურა …………………………………………………………………………………..13

შესავალი

ოთხგანზომილებიანი სივრცე დიდი ხანია იპყრობს ყურადღებას, როგორც პროფესიონალი მათემატიკოსებიდა ადამიანები, რომლებიც შორს არიან ამ მეცნიერებისგან. მეოთხე განზომილებისადმი ინტერესი შეიძლება გამოწვეული იყოს იმ ვარაუდით, რომ ჩვენი სამგანზომილებიანი სამყარო არის „ჩაძირული“ ოთხგანზომილებიან სივრცეში, ისევე როგორც თვითმფრინავი არის „ჩაძირული“ სამგანზომილებიან სივრცეში, სწორი ხაზი არის „ჩაძირული“ სიბრტყე, და წერტილი არის სწორი ხაზი. გარდა ამისა, ოთხგანზომილებიანი სივრცე მნიშვნელოვან როლს ასრულებს თანამედროვე თეორიაფარდობითობა (ე.წ. სივრცე-დრო ან მინკოვსკის სივრცე) და ასევე შეიძლება ჩაითვალოს განსაკუთრებულ შემთხვევადგანზომილებიანი ევკლიდური სივრცე (ამისთვის).

ოთხგანზომილებიანი კუბი (ტესერაქტი) არის ოთხგანზომილებიანი სივრცის ობიექტი, რომელსაც აქვს მაქსიმალური შესაძლო განზომილება (ისევე, როგორც რეგულარული კუბი არის სამგანზომილებიანი სივრცის ობიექტი). გაითვალისწინეთ, რომ ის ასევე პირდაპირ ინტერესს იწვევს, კერძოდ, ის შეიძლება გამოჩნდეს ხაზოვანი პროგრამირების ოპტიმიზაციის ამოცანებში (როგორც არე, რომელშიც არის მინიმალური ან მაქსიმუმი ხაზოვანი ფუნქციაოთხი ცვლადი) და ასევე გამოიყენება ციფრულ მიკროელექტრონიკაში (დისპლეის პროგრამირებისას ელექტრონული საათი). გარდა ამისა, ოთხგანზომილებიანი კუბის შესწავლის პროცესი ხელს უწყობს სივრცითი აზროვნებისა და წარმოსახვის განვითარებას.

აქედან გამომდინარე, საკმაოდ აქტუალურია ოთხგანზომილებიანი კუბის სტრუქტურისა და სპეციფიკური თვისებების შესწავლა. უნდა აღინიშნოს, რომ სტრუქტურის თვალსაზრისით ოთხგანზომილებიანი კუბიკარგად შესწავლილი. ბევრად უფრო საინტერესოა მისი მონაკვეთების ბუნება სხვადასხვა ჰიპერპლანტებით. ამგვარად, ამ ნაშრომის მთავარი მიზანია ტესერაქტის სტრუქტურის შესწავლა, ასევე იმის გარკვევა, თუ რა სამგანზომილებიანი ობიექტები მიიღება, თუ ოთხგანზომილებიანი კუბი მისი ერთ-ერთის ერთ-ერთის პარალელურად ჰიპერპლანტებით იქნება მოჭრილი. განზომილებიანი სახეები, ან მისი მთავარი დიაგონალის პერპენდიკულარული ჰიპერპლანტებით. ჰიპერთვითმფრინავი შიგნით ოთხგანზომილებიანი სივრცეჩვენ დავარქმევთ სამგანზომილებიან ქვესივრცეს. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ სიბრტყეზე სწორი ხაზი არის ერთგანზომილებიანი ჰიპერთვითმფრინავი, სიბრტყე სამგანზომილებიან სივრცეში არის ორგანზომილებიანი ჰიპერთვითმფრინავი.

დასახულმა მიზნებმა განსაზღვრა კვლევის მიზნები:

1) მრავალგანზომილებიანი ანალიტიკური გეომეტრიის ძირითადი ფაქტების შესწავლა;

2) 0-დან 3-მდე ზომების კუბების აგების თავისებურებების შესწავლა;

3) ოთხგანზომილებიანი კუბის სტრუქტურის შესწავლა;

4) ანალიტიკურად და გეომეტრიულად აღწერეთ ოთხგანზომილებიანი კუბი;

5) შექმენით სამგანზომილებიანი და ოთხგანზომილებიანი კუბების სვიპის და ცენტრალური პროგნოზების მოდელები.

6) მრავალგანზომილებიანი ანალიტიკური გეომეტრიის აპარატის გამოყენებით, აღწერეთ სამგანზომილებიანი ობიექტები, რომლებიც მიიღება ოთხგანზომილებიანი კუბის გადაკვეთით მისი ერთ-ერთი სამგანზომილებიანი პირის პარალელურად ჰიპერთპნებით, ან მის მთავარ დიაგონალზე პერპენდიკულარული ჰიპერთპნებით.

ამ გზით მიღებული ინფორმაცია შესაძლებელს გახდის ტეზერაქტის სტრუქტურის უკეთ გაგებას, ასევე ღრმა ანალოგიის გამოვლენას სხვადასხვა განზომილების კუბების სტრუქტურასა და თვისებებში.

Მთავარი ნაწილი

პირველ რიგში, ჩვენ აღვწერთ მათემატიკურ აპარატს, რომელსაც გამოვიყენებთ ამ კვლევის დროს.

1) ვექტორული კოორდინატები: თუ, ეს

2) ჰიპერთვითმფრინავის განტოლება ნორმალური ვექტორითაქეთ გამოიყურება

3) თვითმფრინავები და პარალელურები არიან თუ და მხოლოდ თუ

4) მანძილი ორ წერტილს შორის განისაზღვრება შემდეგნაირად: თუ, ეს

5) ვექტორების ორთოგონალურობის მდგომარეობა:

უპირველეს ყოვლისა, მოდით გავარკვიოთ, თუ როგორ შეიძლება აღწერილი იყოს ოთხგანზომილებიანი კუბი. ეს შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით - გეომეტრიული და ანალიტიკური.

თუ ვსაუბრობთ დაყენების გეომეტრიულ მეთოდზე, მაშინ მიზანშეწონილია დაიცვას კუბების აგების პროცესი, დაწყებული ნულოვანი განზომილებიდან. ნულოვანი განზომილებიანი კუბი არის წერტილი (გაითვალისწინეთ, სხვათა შორის, რომ წერტილს შეუძლია ნულოვანი ბურთის როლიც შეასრულოს). შემდეგი, ჩვენ წარმოგიდგენთ პირველ განზომილებას (აბსცისის ღერძი) და შესაბამის ღერძზე აღვნიშნავთ ორ წერტილს (ორი ნულოვანი განზომილებიანი კუბი), რომლებიც მდებარეობს ერთმანეთისგან 1 დაშორებით. შედეგი არის სეგმენტი - ერთგანზომილებიანი კუბი. ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ გამორჩეული თვისება: ერთგანზომილებიანი კუბის (სეგმენტის) საზღვარი (ბოლოები) არის ორი ნულგანზომილებიანი კუბი (ორი წერტილი). შემდეგი, ჩვენ წარმოგიდგენთ მეორე განზომილებას (y-ღერძი) და სიბრტყეზეავაშენოთ ორი ერთგანზომილებიანი კუბი (ორი სეგმენტი), რომელთა ბოლოები ერთმანეთისგან 1-ით არის დაშორებული (სინამდვილეში, ერთი სეგმენტი მეორის ორთოგონალური პროექციაა). სეგმენტების შესაბამისი ბოლოების შეერთებით ვიღებთ კვადრატს - ორგანზომილებიან კუბს. კვლავ აღვნიშნავთ, რომ ორგანზომილებიანი კუბის (კვადრატის) საზღვარი არის ოთხი ერთგანზომილებიანი კუბი (ოთხი სეგმენტი). დაბოლოს, ჩვენ შემოგვაქვს მესამე განზომილება (გამოყენების ღერძი) და ვაშენებთ სივრცეშიორი კვადრატი ისე, რომ ერთი მათგანი მეორის ორთოგონალური პროექციაა (ამ შემთხვევაში კვადრატების შესაბამისი წვეროები ერთმანეთისგან 1-ის მანძილზეა). შეაერთეთ შესაბამისი წვერები სეგმენტებთან - ვიღებთ სამგანზომილებიან კუბს. ჩვენ ვხედავთ, რომ სამგანზომილებიანი კუბის საზღვარი არის ექვსი ორგანზომილებიანი კუბი (ექვსი კვადრატი). აღწერილი კონსტრუქციები შესაძლებელს ხდის გამოავლინოს შემდეგი კანონზომიერება: ყოველ საფეხურზეგანზომილებიანი კუბი "მოძრაობს, ტოვებს კვალს".ეს არის გაზომვა 1-ის მანძილზე, ხოლო მოძრაობის მიმართულება კუბის პერპენდიკულარულია. სწორედ ამ პროცესის ფორმალური გაგრძელება გვაძლევს საშუალებას მივიდეთ ოთხგანზომილებიანი კუბის კონცეფციამდე. სახელდობრ, ვაიძულოთ სამგანზომილებიანი კუბი მეოთხე განზომილების (კუბის პერპენდიკულარულად) მიმართულებით 1-ის დაშორებით. ვიმოქმედოთ წინას ანალოგიურად, ანუ დავაკავშიროთ კუბების შესაბამისი წვერები. მიიღეთ ოთხგანზომილებიანი კუბი. უნდა აღინიშნოს, რომ ასეთი კონსტრუქცია ჩვენს სივრცეში გეომეტრიულად შეუძლებელია (რადგან ის სამგანზომილებიანია), მაგრამ აქ ლოგიკური თვალსაზრისით წინააღმდეგობებს არ ვაწყდებით. ახლა გადავიდეთ ოთხგანზომილებიანი კუბის ანალიტიკურ აღწერაზე. იგი ასევე მიიღება ფორმალურად, ანალოგიის დახმარებით. ასე რომ, ნულოვანი განზომილებიანი ერთეული კუბის ანალიტიკურ ამოცანას აქვს ფორმა:

ერთგანზომილებიანი ერთეული კუბის ანალიზურ ამოცანას აქვს ფორმა:

ორგანზომილებიანი ერთეული კუბის ანალიტიკურ ამოცანას აქვს ფორმა:

სამგანზომილებიანი ერთეული კუბის ანალიტიკურ ამოცანას აქვს ფორმა:

ახლა ძალიან ადვილია ოთხგანზომილებიანი კუბის ანალიტიკური წარმოდგენის მიცემა, კერძოდ:

როგორც ხედავთ, ოთხგანზომილებიანი კუბის დაზუსტების როგორც გეომეტრიულ, ასევე ანალიტიკურ მეთოდებში გამოიყენება ანალოგიის მეთოდი.

ახლა, ანალიტიკური გეომეტრიის აპარატის გამოყენებით, გავარკვევთ, რა სტრუქტურა აქვს ოთხგანზომილებიან კუბს. პირველ რიგში, მოდით გავარკვიოთ, რა ელემენტებს შეიცავს იგი. აქ კვლავ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ანალოგი (ჰიპოთეზის დასაყენებლად). ერთგანზომილებიანი კუბის საზღვრებია წერტილები (ნულოვანი კუბურები), ორგანზომილებიანი კუბის - სეგმენტები (ერთგანზომილებიანი კუბურები), სამგანზომილებიანი კუბის - კვადრატები (ორგანზომილებიანი სახეები). შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ ტესერაქტის საზღვრები არის სამგანზომილებიანი კუბურები. ამის დასამტკიცებლად განვმარტოთ რას ნიშნავს წვეროები, კიდეები და სახეები. კუბის წვეროები მისი კუთხის წერტილებია. ანუ წვეროების კოორდინატები შეიძლება იყოს ნულები ან ერთი. ამრიგად, გვხვდება კავშირი კუბის განზომილებასა და მის წვეროების რაოდენობას შორის. ჩვენ ვიყენებთ კომბინატორული პროდუქტის წესს - წვეროდანკუბს აქვს ზუსტადკოორდინატები, რომელთაგან თითოეული ტოლია ნულის ან ერთის (მიუხედავად ყველა დანარჩენი), მაშინ არისმწვერვალები. ამრიგად, ნებისმიერ წვეროზე, ყველა კოორდინატი ფიქსირდება და შეიძლება იყოს ტოლიან . თუ დავაფიქსირებთ ყველა კოორდინატს (თითოეულის ტოლიან , სხვებისგან დამოუკიდებლად), გარდა ერთისა, მაშინ ვიღებთ სწორ ხაზებს, რომლებიც შეიცავს კუბის კიდეებს. წინას მსგავსად, შეგვიძლია დათვალოთ, რომ არსებობენ ზუსტადრამ. და თუ ახლა დავაფიქსირებთ ყველა კოორდინატს (თითოეული მათგანის ტოლი დავაყენოთან , სხვებისგან დამოუკიდებლად), ორის გარდა, ვიღებთ სიბრტყეებს, რომლებიც შეიცავს კუბის ორგანზომილებიან სახეებს. კომბინატორიკის წესის გამოყენებით აღმოვაჩენთ, რომ არსებობს ზუსტადრამ. გარდა ამისა, ანალოგიურად - ყველა კოორდინატის დაფიქსირება (თითოეული მათგანის დაყენება ტოლიან , განურჩევლად სხვათაგან), გარდა სამისა, ვიღებთ ჰიპერთრენას, რომელიც შეიცავს კუბის სამგანზომილებიან სახეებს. იგივე წესით ვიანგარიშებთ მათ რაოდენობას - ზუსტადდა ა.შ. ეს საკმარისი იქნება ჩვენი შესწავლისთვის. მოდით მივიღოთ მიღებული შედეგები ოთხგანზომილებიანი კუბის სტრუქტურაზე, კერძოდ, ჩვენ მიერ დაყენებულ ყველა წარმოებულ ფორმულაში.. ამრიგად, ოთხგანზომილებიან კუბს აქვს: 16 წვერო, 32 კიდე, 24 ორგანზომილებიანი სახე და 8 სამგანზომილებიანი სახე. სიცხადისთვის, ჩვენ განვსაზღვრავთ ანალიტიკურად მის ყველა ელემენტს.

ოთხგანზომილებიანი კუბის წვეროები:

ოთხგანზომილებიანი კუბის კიდეები ():

ოთხგანზომილებიანი კუბის ორგანზომილებიანი სახეები (მსგავსი შეზღუდვები):

ოთხგანზომილებიანი კუბის სამგანზომილებიანი სახეები (მსგავსი შეზღუდვები):

ახლა, როდესაც ოთხგანზომილებიანი კუბის სტრუქტურა და მისი განსაზღვრის მეთოდები აღწერილია საკმარისი სისრულით, მოდით გადავიდეთ განხორციელებაზე. მთავარი მიზანი- კუბის სხვადასხვა მონაკვეთების ბუნების გარკვევა. დავიწყოთ ელემენტარული შემთხვევით, როდესაც კუბის მონაკვეთები მისი ერთ-ერთი სამგანზომილებიანი სახის პარალელურია. მაგალითად, განიხილეთ მისი მონაკვეთები სახის პარალელურად ჰიპერპლანტებითანალიტიკური გეომეტრიიდან ცნობილია, რომ ნებისმიერი ასეთი მონაკვეთი მოცემულია განტოლებითმოდით დავაყენოთ შესაბამისი სექციები ანალიტიკურად:

როგორც ხედავთ, ჩვენ მივიღეთ ანალიტიკური დავალება სამგანზომილებიანი ერთეული კუბისთვის, რომელიც მდებარეობს ჰიპერთვითმფრინავში.

ანალოგიის დასამყარებლად, ჩვენ ვწერთ სამგანზომილებიანი კუბის მონაკვეთს თვითმფრინავითჩვენ ვიღებთ:

ეს არის კვადრატი, რომელიც დევს თვითმფრინავში. ანალოგია აშკარაა.

ოთხგანზომილებიანი კუბის მონაკვეთები ჰიპერპლანტებითზუსტად იგივე შედეგებს იძლევა. ეს ასევე იქნება ერთჯერადი სამგანზომილებიანი კუბურები, რომლებიც დევს ჰიპერთვითმფრინავებშიშესაბამისად.

ახლა მოდით განვიხილოთ ოთხგანზომილებიანი კუბის მონაკვეთები მისი მთავარი დიაგონალზე პერპენდიკულარული ჰიპერთრემბებით. ჯერ ეს პრობლემა მოვაგვაროთ სამგანზომილებიანი კუბისთვის. ერთეული სამგანზომილებიანი კუბის მითითების ზემოთ აღწერილი მეთოდის გამოყენებით, ის ასკვნის, რომ, მაგალითად, ბოლოებით სეგმენტი შეიძლება მივიღოთ მთავარ დიაგონალად.და . ეს ნიშნავს, რომ მთავარი დიაგონალის ვექტორს ექნება კოორდინატები. ამრიგად, ნებისმიერი სიბრტყის განტოლება მთავარ დიაგონალზე პერპენდიკულარული იქნება:

მოდით განვსაზღვროთ პარამეტრების ცვლილების საზღვრები. იმიტომ რომ , მაშინ ამ უტოლობების ტერმინებით ვამატებით მივიღებთ:

ან .

თუ, მაშინ (შეზღუდვების გამო). ანალოგიურად, თუ, რომ . ასე რომ, და საათზე საჭრელ სიბრტყეს და კუბს აქვთ ზუსტად ერთი საერთო წერტილი (და შესაბამისად). ახლა შევამჩნიოთ შემდეგი. თუ(ისევ, ცვლადების შეზღუდვის გამო). შესაბამისი სიბრტყეები ერთბაშად კვეთენ სამ სახეს, რადგან, წინააღმდეგ შემთხვევაში, ჭრის სიბრტყე პარალელურად იქნებოდა ერთ-ერთი მათგანის, რაც მდგომარეობით ასე არ არის. თუ, მაშინ თვითმფრინავი კვეთს კუბის ყველა სახეს. თუ, მაშინ თვითმფრინავი კვეთს სახეებს. წარმოგიდგენთ შესაბამის გამოთვლებს.

დაე მერე თვითმფრინავიხაზს კვეთსუფრო მეტიც, სწორ ხაზზე. მეტიც, საზღვარი. ზღვარი თვითმფრინავი იკვეთება სწორ ხაზზე, უფრო მეტიც

დაე მერე თვითმფრინავიკვეთს ზღვარს:

უფრო მეტიც, კიდე სწორი ხაზით.

უფრო მეტიც, კიდე სწორი ხაზით.

უფრო მეტიც, კიდე სწორი ხაზით.

უფრო მეტიც, კიდე სწორი ხაზით.

უფრო მეტიც, კიდე სწორი ხაზით.

უფრო მეტიც, კიდე სწორი ხაზით.

ამჯერად მიიღება ექვსი სეგმენტი, რომლებსაც თანმიმდევრულად აქვთ საერთო ბოლოები:

დაე მერე თვითმფრინავიხაზს კვეთსუფრო მეტიც, სწორ ხაზზე. ზღვარი თვითმფრინავი იკვეთება სწორ ხაზზე, და . ზღვარი თვითმფრინავი იკვეთება სწორ ხაზზე, უფრო მეტიც . ანუ მიიღება სამი სეგმენტი, რომლებსაც აქვთ წყვილი საერთო ბოლოები:ამრიგად, პარამეტრის მითითებული მნიშვნელობებისთვისთვითმფრინავი გადაკვეთს კუბს წვეროებით რეგულარულ სამკუთხედში

ასე რომ, აქ არის ამომწურავი აღწერა სიბრტყის ფიგურების შესახებ, რომლებიც მიღებულია კუბის გადაკვეთით მისი მთავარი დიაგონალის პერპენდიკულარული სიბრტყით. მთავარი იდეა შემდეგი იყო. აუცილებელია იმის გაგება, თუ რომელ სახეებს კვეთს სიბრტყე, რომელ კომპლექტებში კვეთს მათ, როგორ არის ერთმანეთთან დაკავშირებული ეს სიმრავლეები. მაგალითად, თუ აღმოჩნდა, რომ თვითმფრინავი კვეთს ზუსტად სამ სახეს სეგმენტების გასწვრივ, რომლებსაც აქვთ წყვილი საერთო ბოლოები, მაშინ მონაკვეთი არის ტოლგვერდა სამკუთხედი(რაც მტკიცდება სეგმენტების სიგრძის პირდაპირ დათვლით), რომელთა წვეროები არის სეგმენტების ეს ბოლოები.

იგივე აპარატის და ჯვარედინი მონაკვეთების გამოკვლევის იგივე იდეის გამოყენებით, შემდეგი ფაქტების დადგენა შესაძლებელია ზუსტად იმავე გზით:

1) ოთხგანზომილებიანი ერთეული კუბის ერთ-ერთი მთავარი დიაგონალის ვექტორს აქვს კოორდინატები

2) ოთხგანზომილებიანი კუბის მთავარ დიაგონალზე პერპენდიკულარული ნებისმიერი ჰიპერპლანე შეიძლება დაიწეროს როგორც.

3) სეკანტური ჰიპერპლანის განტოლებაში პარამეტრიშეიძლება განსხვავდებოდეს 0-დან 4-მდე;

4) და სეკანტურ ჰიპერპლანს და ოთხგანზომილებიან კუბს ერთი საერთო წერტილი აქვთ (და შესაბამისად);

5) როდის განყოფილებაში მიიღება რეგულარული ტეტრაედონი;

6) როდის განყოფილებაში მიიღება ოქტაედონი;

7) როდის განყოფილებაში მიიღება რეგულარული ტეტრაედონი.

შესაბამისად, აქ ჰიპერსიბრტყე კვეთს ტესერაქტს სიბრტყის გასწვრივ, რომელზედაც, ცვლადების შეზღუდვის გამო, გამოყოფილია სამკუთხა რეგიონი (ანალოგია - სიბრტყე კვეთს კუბს სწორი ხაზის გასწვრივ, რომელზედაც, შეზღუდვების გამო ცვლადებს, გამოყოფილი იყო სეგმენტი). მე-5 შემთხვევაში ჰიპერთვითმფრინავი კვეთს ზუსტად ოთხ სამგანზომილებიან ტეზერაქტის სახეს, ანუ მიიღება ოთხი სამკუთხედი, რომლებსაც აქვთ წყვილი საერთო გვერდები, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ქმნიან ტეტრაედრონს (როგორც შეიძლება გამოვთვალოთ - სწორია). მე-6 შემთხვევაში ჰიპერთვითმფრინავი კვეთს ზუსტად რვა სამგანზომილებიან ტეზერაქტის სახეს, ანუ მიიღება რვა სამკუთხედი, რომლებსაც თანმიმდევრულად აქვთ საერთო გვერდები, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ქმნიან ოქტაედრონს. შემთხვევა 7) სრულიად ჰგავს მე-5 შემთხვევას).

მოდი ილუსტრაციულად განვმარტოთ ნათქვამი კონკრეტული მაგალითით. კერძოდ, ჩვენ ვსწავლობთ ოთხგანზომილებიანი კუბის მონაკვეთს ჰიპერთვითმხედველობითცვლადების შეზღუდვების გამო, ეს ჰიპერპლანი კვეთს შემდეგ 3D სახეებს:ზღვარი იკვეთება სიბრტყეშიცვლადების შეზღუდვების გამო, ჩვენ გვაქვს:მიიღეთ სამკუთხა ფართობი წვეროებითᲣფრო,ვიღებთ სამკუთხედსჰიპერთვითმფრინავის სახესთან გადაკვეთაზევიღებთ სამკუთხედსჰიპერთვითმფრინავის სახესთან გადაკვეთაზევიღებთ სამკუთხედსამრიგად, ტეტრაედრის წვეროებს აქვთ შემდეგი კოორდინატები. რამდენადაც ადვილი გამოსათვლელია, ეს ტეტრაედონი მართლაც სწორია.

დასკვნები

ასე რომ, ამ კვლევის მსვლელობისას შეისწავლეს მრავალგანზომილებიანი ანალიტიკური გეომეტრიის ძირითადი ფაქტები, შეისწავლეს 0-დან 3-მდე ზომების კუბების აგების თავისებურებები, შეისწავლეს ოთხგანზომილებიანი კუბის სტრუქტურა, ოთხგანზომილებიანი კუბი. ანალიტიკურად და გეომეტრიულად აღწერილი, სამგანზომილებიანი და ოთხგანზომილებიანი კუბების განვითარების მოდელები და ცენტრალური პროგნოზები, ანალიტიკურად აღწერილი იყო სამგანზომილებიანი კუბურები. ობიექტები, რომლებიც წარმოიქმნება ოთხგანზომილებიანი კუბის გადაკვეთის შედეგად ჰიპერთვითმფრენებით მისი სამიდან ერთ-ერთის პარალელურად. -განზომილებიანი სახეები, ან მისი მთავარი დიაგონალის პერპენდიკულარული ჰიპერთრემნებით.

კვლევამ შესაძლებელი გახადა ღრმა ანალოგიის გამოვლენა სხვადასხვა განზომილების კუბების სტრუქტურასა და თვისებებში. გამოყენებული ანალოგიის ტექნიკა შეიძლება გამოყენებულ იქნას კვლევაში, მაგალითად,განზომილებიანი სფერო ანგანზომილებიანი მარტივი. კერძოდ,განზომილებიანი სფერო შეიძლება განისაზღვროს, როგორც წერტილების ნაკრებიგანზომილებიანი სივრცე, მოცემული წერტილიდან თანაბრად დაშორებული, რომელსაც სფეროს ცენტრს უწოდებენ. Უფრო,განზომილებიანი მარტივი შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ნაწილიგანზომილებიანი სივრცე, შეზღუდული მინიმალური რაოდენობითგანზომილებიანი ჰიპერპლანტები. მაგალითად, ერთგანზომილებიანი სიმპლექსი არის სეგმენტი (ერთგანზომილებიანი სივრცის ნაწილი, რომელიც შემოიფარგლება ორი წერტილით), ორგანზომილებიანი სიმპლექსი არის სამკუთხედი (ორგანზომილებიანი სივრცის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია სამი წრფით), სამგანზომილებიანი სიმარტივე. არის ტეტრაედონი (სამგანზომილებიანი სივრცის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია ოთხი სიბრტყით). ბოლოს და ბოლოს,განზომილებიანი სიმპლექსი განისაზღვრება, როგორც ნაწილიგანზომილებიანი სივრცე, შეზღუდულიგანზომილების ჰიპერპლანი.

გაითვალისწინეთ, რომ ტესერაქტის მრავალრიცხოვანი გამოყენების მიუხედავად მეცნიერების ზოგიერთ სფეროში, ეს კვლევა მაინც ძირითადად მათემატიკური კვლევაა.

ბიბლიოგრაფია

1) ბუგროვი ია.ს., ნიკოლსკი ს.მ.უმაღლესი მათემატიკა, ტ.1 - მ.: დროფა, 2005 - 284 გვ.

2) კვანტური. ოთხგანზომილებიანი კუბი / Duzhin S., Rubtsov V., No6, 1986 წ.

3) კვანტური. Როგორ დავხატო განზომილებიანი კუბი / Demidovich N.B., No8, 1974 წ.

ადამიანის ტვინის ევოლუცია მოხდა სამგანზომილებიან სივრცეში. აქედან გამომდინარე, ჩვენთვის ძნელი წარმოსადგენია სივრცეები სამზე მეტი ზომებით. სინამდვილეში, ადამიანის ტვინს არ შეუძლია წარმოიდგინოს სამზე მეტი განზომილების მქონე გეომეტრიული ობიექტები. და ამავე დროს, ჩვენ შეგვიძლია ადვილად წარმოვიდგინოთ გეომეტრიული ობიექტები არა მხოლოდ სამი, არამედ ორი და ერთი ზომებით.

განსხვავება და ანალოგია ერთგანზომილებიან და ორგანზომილებიან სივრცეებს ​​შორის და განსხვავება და ანალოგია ორგანზომილებიან და სამგანზომილებიან სივრცეებს ​​შორის საშუალებას გვაძლევს ოდნავ გავხსნათ საიდუმლოების ეკრანი, რომელიც გვაშორებს უფრო მაღალი განზომილებების სივრცეებს. იმის გასაგებად, თუ როგორ გამოიყენება ეს ანალოგია, განვიხილოთ ძალიან მარტივი ოთხგანზომილებიანი ობიექტი - ჰიპერკუბი, ანუ ოთხგანზომილებიანი კუბი. მოდით, დაზუსტებისთვის ვთქვათ, რომ გვინდა გადავჭრათ კონკრეტული პრობლემა, კერძოდ, დავთვალოთ ოთხგანზომილებიანი კუბის კვადრატული სახეები. ქვემოთ მოყვანილი ყველა განხილვა იქნება ძალიან თავისუფალი, ყოველგვარი მტკიცებულების გარეშე, წმინდა ანალოგიით.

იმის გასაგებად, თუ როგორ აშენდება ჰიპერკუბი ჩვეულებრივი კუბიდან, ჯერ უნდა დავაკვირდეთ, როგორ აშენდება ჩვეულებრივი კუბი ჩვეულებრივი კვადრატიდან. ამ მასალის პრეზენტაციის ორიგინალურობისთვის ჩვენ აქ ჩვეულებრივ კვადრატს დავარქმევთ SubCube-ს (და არ აგვირევთ სუკუბუსში).

ქვეკუბიდან კუბის ასაგებად აუცილებელია ქვეკუბის გაშლა კუბის სიბრტყის პერპენდიკულარული მიმართულებით მესამე განზომილების მიმართულებით. ამავდროულად, საწყისი ქვეკუბის თითოეული მხრიდან გაიზრდება ქვეკუბი, რომელიც არის კუბის ორგანზომილებიანი გვერდითი სახე, რომელიც შეზღუდავს კუბის სამგანზომილებიან მოცულობას ოთხი მხრიდან, ორი პერპენდიკულარული თითოეული მიმართულებით. ქვეკუბის სიბრტყე. და ახალი მესამე ღერძის გასწვრივ, ასევე არის ორი ქვეკუბი, რომელიც ზღუდავს კუბის სამგანზომილებიან მოცულობას. ეს არის ორგანზომილებიანი სახე, სადაც თავდაპირველად მდებარეობდა ჩვენი ქვეკუბი და კუბის ორგანზომილებიანი სახე, სადაც ქვეკუბი მოვიდა კუბის კონსტრუქციის ბოლოს.

ის, რაც ახლა წაიკითხეთ, გადმოცემულია ზედმეტად დეტალურად და ბევრი განმარტებით. და არა შემთხვევით. ახლა ჩვენ გავაკეთებთ ასეთ ხრიკს, ჩავანაცვლებთ წინა ტექსტიზოგიერთი სიტყვა ფორმალურად ასეა:
კუბი -> ჰიპერკუბი
ქვეკუბი -> კუბი
თვითმფრინავი -> მოცულობა
მესამე -> მეოთხე
2D -> 3D
ოთხი -> ექვსი
სამგანზომილებიანი -> ოთხგანზომილებიანი
ორი -> სამი
თვითმფრინავი -> სივრცე

შედეგად, ვიღებთ შემდეგ შინაარსობრივ ტექსტს, რომელიც აღარ ჩანს ძალიან დეტალურად.

კუბისგან ჰიპერკუბის ასაგებად, თქვენ უნდა გაჭიმოთ კუბი კუბის მოცულობის პერპენდიკულარული მიმართულებით. მეოთხე განზომილება. ამავდროულად, ორიგინალური კუბის თითოეული მხრიდან გაიზრდება კუბი, რომელიც არის ჰიპერკუბის გვერდითი სამგანზომილებიანი სახე, რომელიც შეზღუდავს ჰიპერკუბის ოთხგანზომილებიან მოცულობას ექვსი მხრიდან, სამი პერპენდიკულარული თითოეული მიმართულებით. კუბის სივრცე. და ახალი მეოთხე ღერძის გასწვრივ ასევე არის ორი კუბი, რომლებიც ზღუდავს ჰიპერკუბის ოთხგანზომილებიან მოცულობას. ეს არის სამგანზომილებიანი სახე, სადაც თავდაპირველად მდებარეობდა ჩვენი კუბი და ჰიპერკუბის სამგანზომილებიანი სახე, სადაც კუბი მოვიდა ჰიპერკუბის აგების ბოლოს.

რატომ ვართ ასე დარწმუნებული, რომ მივიღეთ ჰიპერკუბის აგების სწორი აღწერა? დიახ, რადგან სიტყვების ზუსტად იგივე ფორმალური ჩანაცვლებით ვიღებთ კუბის აგების აღწერას კვადრატის აგების აღწერიდან. (შეამოწმეთ ეს თქვენთვის.)

ახლა გასაგებია, რომ თუ კიდევ ერთი სამგანზომილებიანი კუბი უნდა გაიზარდოს კუბის თითოეული მხრიდან, მაშინ სახე უნდა გაიზარდოს საწყისი კუბის თითოეული კიდედან. საერთო ჯამში, კუბს აქვს 12 კიდე, რაც ნიშნავს, რომ იქნება დამატებითი 12 ახალი სახე (ქვეკუბი) იმ 6 კუბისთვის, რომლებიც ზღუდავენ ოთხგანზომილებიან მოცულობას სამგანზომილებიანი სივრცის სამი ღერძის გასწვრივ. და არის კიდევ ორი ​​კუბი, რომელიც ზღუდავს ამ ოთხგანზომილებიან მოცულობას ქვემოდან და ზემოდან მეოთხე ღერძის გასწვრივ. თითოეულ ამ კუბს აქვს 6 სახე.

საერთო ჯამში მივიღებთ, რომ ჰიპერკუბს აქვს 12+6+6=24 კვადრატული სახე.

შემდეგი სურათი გვიჩვენებს ჰიპერკუბის ლოგიკურ სტრუქტურას. ეს ჰგავს ჰიპერკუბის პროექციას სამგანზომილებიან სივრცეზე. ამ შემთხვევაში მიიღება ნეკნების სამგანზომილებიანი ჩარჩო. ფიგურაში, რა თქმა უნდა, ხედავთ ამ ჩარჩოს პროექციას ასევე თვითმფრინავზე.

ამ ჩარჩოზე, შიდა კუბი, როგორც იქნა, არის საწყისი კუბი, საიდანაც დაიწყო მშენებლობა და რომელიც ზღუდავს ჰიპერკუბის ოთხგანზომილებიან მოცულობას მეოთხე ღერძის გასწვრივ ქვემოდან. ჩვენ ვჭიმავთ ამ საწყის კუბს მეოთხე განზომილების ღერძის გასწვრივ და ის გადადის გარე კუბში. ამრიგად, ამ ფიგურის გარე და შიდა კუბურები ზღუდავენ ჰიპერკუბს მეოთხე განზომილების ღერძის გასწვრივ.

და ამ ორ კუბს შორის ჩანს კიდევ 6 ახალი კუბი, რომლებიც პირველ ორთან კონტაქტშია საერთო სახეებით. ეს ექვსი კუბი ზღუდავს ჩვენს ჰიპერკუბს სამგანზომილებიანი სივრცის სამი ღერძის გასწვრივ. როგორც ხედავთ, ისინი არა მხოლოდ კონტაქტში არიან პირველ ორ კუბთან, რომლებიც შიდა და გარეა ამ სამგანზომილებიან ჩარჩოზე, მაგრამ ისინი კვლავ კონტაქტში არიან ერთმანეთთან.

თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ პირდაპირ ფიგურაში და დარწმუნდეთ, რომ ჰიპერკუბს ნამდვილად აქვს 24 სახე. მაგრამ აქ ჩნდება კითხვა. ეს 3D ჰიპერკუბური ჩარჩო ივსება რვა 3D კუბით ყოველგვარი ხარვეზების გარეშე. ჰიპერკუბის ამ 3D პროექციისგან ნამდვილი ჰიპერკუბის გასაკეთებლად, აუცილებელია ამ ჩარჩოს შიგნიდან ამობრუნება ისე, რომ 8-ვე კუბმა შეზღუდოს 4D მოცულობა.

კეთდება ასე. ვიწვევთ ოთხგანზომილებიანი სივრცის მკვიდრს სტუმრად და ვთხოვთ დახმარებას. ის იკავებს ამ ჩარჩოს შიდა კუბს და გადააქვს მას მეოთხე განზომილებაზე, რომელიც პერპენდიკულარულია ჩვენი 3D სივრცისთვის. ჩვენ ჩვენს სამგანზომილებიან სივრცეში აღვიქვამთ მას, თითქოს მთელი შიდა ჩარჩო გაქრა და მხოლოდ გარე კუბის ჩარჩო დარჩა.

შემდეგი, ჩვენი 4D ასისტენტი გვთავაზობს დახმარებას სამშობიაროებში უმტკივნეულო მშობიარობისთვის, მაგრამ ჩვენი ორსული ქალები შეშინებულნი არიან იმის გამო, რომ ბავშვი უბრალოდ გაქრება მუცლიდან და აღმოჩნდება პარალელურ 3D სივრცეში. ამიტომ, ოთხჯერ თავაზიანად უარს ამბობენ.

და ჩვენ გვაინტერესებს, ჩვენი ზოგიერთი კუბი არ გაიჭედა, როდესაც ჰიპერკუბის ჩარჩო შემობრუნდა შიგნით. ბოლოს და ბოლოს, თუ ჰიპერკუბის ირგვლივ რამდენიმე სამგანზომილებიანი კუბი შეეხო მეზობლებს ჩარჩოზე, შეეხებიან თუ არა ისინი იმავე სახეებს, თუ ოთხგანზომილებიანი ჩარჩოს შიგნიდან გარეთ აქცევს.

მოდით კვლავ მივმართოთ ანალოგიას ქვედა განზომილების სივრცეებთან. შეადარეთ ჰიპერკუბის მავთულის გამოსახულება 3D კუბის პროექციას შემდეგ სურათზე ნაჩვენები სიბრტყეზე.

ორგანზომილებიანი სივრცის მაცხოვრებლებმა თვითმფრინავზე ააგეს კუბის პროექციის ჩარჩო თვითმფრინავზე და მოგვიწვიეს, სამგანზომილებიანი მაცხოვრებლები, რომ გადაგვექცია ეს ჩარჩო. ვიღებთ შიდა კვადრატის ოთხ წვეროს და გადავაადგილებთ სიბრტყეზე პერპენდიკულურად. ამავდროულად, ორგანზომილებიანი მაცხოვრებლები ხედავენ მთლიანი შიდა ჩარჩოს სრულ გაქრობას და მათ აქვთ მხოლოდ გარე კვადრატის ჩარჩო. ასეთი მოქმედებით, ყველა კვადრატი, რომელიც კონტაქტში იყო მათ კიდეებთან, აგრძელებს შეხებას, როგორც ადრე, იგივე კიდეებით.

ამიტომ, ვიმედოვნებთ, რომ ჰიპერკუბის ლოგიკური სქემა ასევე არ დაირღვევა, როდესაც ჰიპერკუბის ჩარჩო შემობრუნდება შიგნით და ჰიპერკუბის კვადრატული სახეების რაოდენობა არ გაიზრდება და დარჩება 24-ის ტოლი. ეს, რა თქმა უნდა, არის არანაირი მტკიცებულება, მაგრამ წმინდა ანალოგიით გამოცნობა.

მას შემდეგ რაც აქ წაიკითხეთ ყველაფერი, შეგიძლიათ მარტივად დახაზოთ ხუთგანზომილებიანი კუბის ლოგიკური ჩარჩო და გამოთვალოთ რამდენი წვერო, კიდე, სახე, კუბი და ჰიპერკუბი აქვს მას. სულაც არ არის რთული.

გეომეტრიაში ჰიპერკუბი- ეს ნ- კვადრატის განზომილებიანი ანალოგია ( ნ= 2) და კუბი ( ნ= 3). ეს არის დახურული ამოზნექილი ფიგურა, რომელიც შედგება ფიგურის მოპირდაპირე კიდეებზე განლაგებული პარალელური ხაზების ჯგუფებისაგან და ერთმანეთთან დაკავშირებულია სწორი კუთხით.

ეს მაჩვენებელი ასევე ცნობილია როგორც ტესერაქტი(ტესერაქტი). ტესერაქტი არის კუბის მიმართ, როგორც კუბი კვადრატში. უფრო ფორმალურად, ტესერაქტი შეიძლება შეფასდეს, როგორც რეგულარული ამოზნექილი ოთხგანზომილებიანი პოლიტოპი (პოლიტოპი), რომლის საზღვარი შედგება რვა კუბური უჯრედისგან.

ოქსფორდის ინგლისური ლექსიკონის მიხედვით, სიტყვა „ტესერაქტი“ 1888 წელს ჩარლზ ჰოვარდ ჰინტონმა გამოიყენა და გამოიყენა წიგნში „აზროვნების ახალი ერა“. სიტყვა ჩამოყალიბდა ბერძნულიდან "τεσσερες ακτινες" ("ოთხი სხივი"), არის ოთხი კოორდინატული ღერძის სახით. გარდა ამისა, ზოგიერთ წყაროში იგივე ფიგურა ეწოდებოდა ტეტრაკუბი(ტეტრაკუბი).

ნ-განზომილებიან ჰიპერკუბსაც უწოდებენ n-კუბი.

წერტილი არის 0 განზომილების ჰიპერკუბი. თუ თქვენ გადაანაცვლებთ წერტილს სიგრძის ერთეულით, მიიღებთ ერთეულის სიგრძის სეგმენტს - ჰიპერკუბს 1 განზომილებით. გარდა ამისა, თუ თქვენ გადაიტანეთ სეგმენტი სიგრძის ერთეულით პერპენდიკულარული მიმართულებით. სეგმენტის მიმართულებამდე მიიღებთ კუბს - მე-2 განზომილების ჰიპერკუბს. კვადრატის სიგრძის ერთეულით გადაადგილებით კვადრატის სიბრტყეზე პერპენდიკულარული მიმართულებით, მიიღება კუბი - მე-3 განზომილების ჰიპერკუბი. ეს პროცესი შეიძლება განზოგადდეს ნებისმიერი რაოდენობის განზომილებაში. მაგალითად, თუ მეოთხე განზომილებაში გადაიტანეთ კუბი სიგრძის ერთეულით, მიიღებთ ტესერაქტს.

ჰიპერკუბების ოჯახი ერთ-ერთია იმ რამდენიმე რეგულარული პოლიედრიდან, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ნებისმიერ განზომილებაში.

ჰიპერკუბის ელემენტები

განზომილების ჰიპერკუბი ნაქვს 2 ნ„გვერდები“ (ერთგანზომილებიან ხაზს აქვს 2 წერტილი; ორგანზომილებიანი კვადრატი - 4 გვერდი; სამგანზომილებიანი კუბი - 6 სახე; ოთხგანზომილებიანი ტესერაქტი - 8 უჯრედი). ჰიპერკუბის წვეროების (წერტილების) რაოდენობაა 2 ნ(მაგალითად, კუბისთვის - 2 3 წვერო).

რაოდენობა მ- განზომილებიანი ჰიპერკუბები საზღვარზე ნ-კუბი უდრის

მაგალითად, ჰიპერკუბის საზღვარზე არის 8 კუბი, 24 კვადრატი, 32 კიდე და 16 წვერო.

ჰიპერკუბების ელემენტები

n-კუბი	სახელი	ვერტექსი (0-სახე)	ზღვარი (1-სახე)	ზღვარი (2-სახე)	უჯრედი (3-სახე)	(4-სახე)	(5-სახე)	(6-სახე)	(7-სახე)	(8-სახე)
0-კუბი	Წერტილი	1
1-კუბი	ხაზის სეგმენტი	2	1
2-კუბი	მოედანი	4	4	1
3-კუბი	კუბი	8	12	6	1
4-კუბი	ტესერაქტი	16	32	24	8	1
5-კუბი	პენტერაქტი	32	80	80	40	10	1
6-კუბი	ჰექსერაქტი	64	192	240	160	60	12	1
7-კუბი	ჰეპტერაქტი	128	448	672	560	280	84	14	1
8-კუბი	ოქტერაქტი	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-კუბი	Eneneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

თვითმფრინავის პროექცია

ჰიპერკუბის წარმოქმნა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

• ორი წერტილი A და B შეიძლება დაუკავშირდეს ხაზის სეგმენტს AB.
• ორი პარალელური სეგმენტი AB და CD შეიძლება იყოს დაკავშირებული კვადრატული ABCD-ის შესაქმნელად.
• ორი პარალელური კვადრატი ABCD და EFGH შეიძლება შეუერთდეს ABCDEFGH კუბის შესაქმნელად.
• ორი პარალელური კუბი ABCDEFGH და IJKLMNOP შეიძლება იყოს დაკავშირებული ჰიპერკუბის ABCDEFGHIJKLMNOP-ის შესაქმნელად.

ამ უკანასკნელის სტრუქტურის წარმოდგენა არც ისე ადვილია, მაგრამ შესაძლებელია მისი პროექციის გამოსახვა ორ ან სამ განზომილებაში. უფრო მეტიც, 2D სიბრტყეზე პროგნოზები შეიძლება უფრო სასარგებლო იყოს დაპროექტებული წვეროების პოზიციების გადალაგებით. ამ შემთხვევაში, შეიძლება მივიღოთ სურათები, რომლებიც აღარ ასახავს ელემენტების სივრცით კავშირებს ტესერაქტის შიგნით, მაგრამ ასახავს წვეროების კავშირების სტრუქტურას, როგორც ქვემოთ მოცემულ მაგალითებში.

პირველი ილუსტრაცია გვიჩვენებს, თუ როგორ წარმოიქმნება ტესერაქტი პრინციპში ორი კუბის შეერთებით. ეს სქემა ორი კვადრატიდან კუბის შექმნის სქემის მსგავსია. მეორე დიაგრამა გვიჩვენებს, რომ ტესერაქტის ყველა კიდეს აქვს იგივე სიგრძე. ეს სქემა ასევე იძულებულია მოძებნოს ერთმანეთთან დაკავშირებული კუბურები. მესამე დიაგრამაში, ტესერაქტის წვეროები განლაგებულია ზედა წერტილთან მიმართებაში არსებული მანძილების შესაბამისად. ეს სქემა საინტერესოა, რადგან იგი გამოიყენება, როგორც ძირითადი სქემა პროცესორების დამაკავშირებელი ქსელის ტოპოლოგიისთვის, პარალელური გამოთვლის ორგანიზებაში: მანძილი ნებისმიერ ორ კვანძს შორის არ აღემატება 4 კიდეების სიგრძეს, და არსებობს მრავალი განსხვავებული გზა დატვირთვის დასაბალანსებლად.

ჰიპერკუბი ხელოვნებაში

ჰიპერკუბი სამეცნიერო ფანტასტიკაში 1940 წლიდან გამოჩნდა, როდესაც რობერტ ჰაინლეინმა მოთხრობაში "The House That Teal Built" ("და მან ააგო მრუდე სახლი") აღწერა ტესერაქტის სახით აშენებული სახლი. მოთხრობაში, ეს შემდგომი, ეს სახლი იკეცება, გადაიქცევა ოთხგანზომილებიან ტესერაქტად. ამის შემდეგ, ჰიპერკუბი ჩნდება ბევრ წიგნსა და რომანში.

კუბი 2: ჰიპერკუბი არის დაახლოებით რვა ადამიანი, რომლებიც ხაფანგში არიან ჰიპერკუბების ქსელში.

სალვადორ დალის 1954 წლის ნახატი ჯვარცმა (Corpus Hypercubus) ასახავს ჯვარცმულ იესოს ტესერაქტის სკანირებით. ეს ნახატი შეგიძლიათ ნახოთ ნიუ იორკის ხელოვნების მუზეუმში (მეტროპოლიტენის მუზეუმი).

დასკვნა

ჰიპერკუბი ერთ-ერთი უმარტივესი ოთხგანზომილებიანი ობიექტია, რომლის მაგალითზეც შეგიძლიათ ნახოთ მეოთხე განზომილების მთელი სირთულე და უჩვეულოობა. და ის, რაც შეუძლებლად გამოიყურება სამ განზომილებაში, შესაძლებელია ოთხში, მაგალითად, შეუძლებელ ფიგურაში. ასე, მაგალითად, შეუძლებელი სამკუთხედის ზოლები ოთხ განზომილებაში იქნება დაკავშირებული სწორი კუთხით. და ეს ფიგურა ასე გამოიყურება ყველა თვალსაზრისით და არ იქნება დამახინჯებული, სამგანზომილებიან სივრცეში შეუძლებელი სამკუთხედის განხორციელებისგან განსხვავებით (იხ.

რა არის ჰიპერკუბი და ოთხგანზომილებიანი სივრცე

ჩვენს ჩვეულ სივრცეში სამი განზომილებაა. გეომეტრიული თვალსაზრისით, ეს ნიშნავს, რომ მასში შეიძლება მიეთითოს სამი ერთმანეთის პერპენდიკულური ხაზი. ანუ, ნებისმიერი ხაზისთვის შეგიძლიათ იპოვოთ მეორე ხაზი პირველის პერპენდიკულარული, ხოლო წყვილისთვის შეგიძლიათ იპოვოთ მესამე ხაზი პირველი ორის პერპენდიკულარული. უკვე შეუძლებელი იქნება მეოთხე სწორი ხაზის პოვნა სამი არსებულის პერპენდიკულარული.

ოთხგანზომილებიანი სივრცე ჩვენისგან მხოლოდ იმით განსხვავდება, რომ მას აქვს კიდევ ერთი დამატებითი მიმართულება. თუ თქვენ უკვე გაქვთ სამი ერთმანეთის პერპენდიკულური ხაზი, მაშინ შეგიძლიათ იპოვოთ მეოთხე, ისეთი, რომ ის სამივეს პერპენდიკულარული იყოს.

ჰიპერკუბი არის მხოლოდ კუბი ოთხ განზომილებაში.
შესაძლებელია თუ არა წარმოიდგინოთ ოთხგანზომილებიანი სივრცე და ჰიპერკუბი?

ეს კითხვა დაკავშირებულია კითხვასთან: „შესაძლებელია თუ არა წარმოვიდგინოთ ბოლო ვახშამი ლეონარდო და ვინჩის (1452-1519) ამავე სახელწოდების ნახატის (1495-1498) ნახატის დათვალიერებით?

ერთის მხრივ, რასაკვირველია, ვერ წარმოიდგენთ, რა დაინახა იესომ (ის ზის მაყურებლის პირისპირ), მით უმეტეს, რომ ფანჯრის მიღმა ბაღის სუნი და სუფრაზე საკვების გემო არ გესმით, ჩიტები არ გესმით. მღერის... სრულ სურათს ვერ მიიღებთ იმის შესახებ, თუ რა ხდებოდა იმ საღამოს, მაგრამ არ შეიძლება ითქვას, რომ ახალს ვერაფერს ისწავლით და რომ სურათი არ არის საინტერესო.

მსგავსი სიტუაციაა ჰიპერკუბის საკითხთან დაკავშირებით. შეუძლებელია მისი სრულად წარმოდგენა, მაგრამ შეგიძლიათ უფრო ახლოს გაიგოთ რა არის ეს.
ჰიპერკუბის აგება
0-განზომილებიანი კუბი

დავიწყოთ თავიდან - 0-განზომილებიანი კუბით. ეს კუბი შეიცავს 0 ორმხრივ პერპენდიკულარულ სახეს, ანუ ის მხოლოდ წერტილია.

1 განზომილებიანი კუბი

ერთგანზომილებიან სივრცეში მხოლოდ ერთი მიმართულება გვაქვს. წერტილს ამ მიმართულებით ვცვლით და ვიღებთ სეგმენტს.

ეს არის ერთგანზომილებიანი კუბი.
2 განზომილებიანი კუბი

გვაქვს მეორე განზომილება, გადავიტანთ ჩვენს ერთგანზომილებიან კუბს (სეგმენტს) მეორე განზომილების მიმართულებით და ვიღებთ კვადრატს.

ეს არის კუბი ორ განზომილებაში.
3 განზომილებიანი კუბი

მესამე განზომილების მოსვლასთან ერთად ჩვენ იგივეს ვაკეთებთ: ვცვლით კვადრატს და ვიღებთ ჩვეულებრივ სამგანზომილებიან კუბს.

4 განზომილებიანი კუბი (ჰიპერკუბი)

ახლა ჩვენ გვაქვს მეოთხე განზომილება. ანუ ჩვენს განკარგულებაშია სამივე წინაზე პერპენდიკულარული მიმართულება. მოდით გამოვიყენოთ იგი იმავე გზით. 4D კუბი ასე გამოიყურება.

ბუნებრივია, სამგანზომილებიანი და ოთხგანზომილებიანი კუბები არ შეიძლება იყოს გამოსახული ორგანზომილებიან ეკრანზე. რაც დავხატე არის პროგნოზები. პროგნოზებზე ცოტა მოგვიანებით ვისაუბრებთ, მაგრამ ჯერ-ჯერობით, რამდენიმე შიშველი ფაქტი და ციფრი.
წვეროების, კიდეების, სახეების რაოდენობა
სხვადასხვა განზომილების კუბების მახასიათებლები
სივრცის 1 განზომილება
2-წვეროების რაოდენობა
ნეკნების 3 რაოდენობა
4-სახეების რაოდენობა

0 (წერტილი) 1 0 0
1 (ხაზი) ​​2 1 2 (ქულები)
2 (კვადრატი) 4 4 4 (სეგმენტები)
3 (კუბი) 8 12 6 (კვადრატები)
4 (ჰიპერკუბი) 16 32 8 (კუბურები)
N (ზოგადი ფორმულა) 2N N 2N-1 2 N

გაითვალისწინეთ, რომ ჰიპერკუბის სახე არის ჩვენი ჩვეულებრივი 3D კუბი. თუ ყურადღებით დააკვირდებით ჰიპერკუბის ნახატს, რეალურად შეგიძლიათ იპოვოთ რვა კუბი.
ოთხგანზომილებიანი სივრცის მკვიდრის პროგნოზები და ხედვა
რამდენიმე სიტყვა მხედველობის შესახებ

ჩვენ ვცხოვრობთ სამგანზომილებიან სამყაროში, მაგრამ ვხედავთ მას, როგორც ორგანზომილებიანს. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ჩვენი თვალების ბადურა მდებარეობს თვითმფრინავში, რომელსაც აქვს მხოლოდ ორი განზომილება. სწორედ ამიტომ, ჩვენ შეგვიძლია აღვიქვათ ორგანზომილებიანი სურათები და ვიპოვოთ ისინი რეალობის მსგავსი. (რა თქმა უნდა, განსახლების წყალობით, თვალს შეუძლია შეაფასოს მანძილი ობიექტამდე, მაგრამ ეს უკვე არის გვერდითი მოვლენებიასოცირდება ჩვენს თვალში ჩაშენებულ ოპტიკასთან.)

ოთხგანზომილებიანი სივრცის მაცხოვრებლის თვალებს უნდა ჰქონდეს სამგანზომილებიანი ბადურა. ასეთ არსებას შეუძლია დაუყოვნებლივ დაინახოს სამგანზომილებიანი ფიგურა მთლიანად: მთელი მისი სახე და შიგნით. (ასევე, ჩვენ შეგვიძლია დავინახოთ ორგანზომილებიანი ფიგურა, მისი ყველა სახე და შიგნით.)

ამრიგად, ჩვენი მხედველობის ორგანოების დახმარებით, ჩვენ არ შეგვიძლია აღვიქვათ ოთხგანზომილებიანი კუბი ისე, როგორც ამას ოთხგანზომილებიანი სივრცის მკვიდრი აღიქვამს. ვაი. რჩება მხოლოდ გონების თვალსა და ფანტაზიაზე დაყრდნობა, რომელსაც, საბედნიეროდ, არანაირი ფიზიკური შეზღუდვა არ გააჩნია.

თუმცა, სიბრტყეზე ჰიპერკუბის გამოსახვისას, უბრალოდ უნდა გავაპროექტო ის ორგანზომილებიან სივრცეში. გაითვალისწინეთ ეს ნახატების შესწავლისას.
კიდეების კვეთები

ბუნებრივია, ჰიპერკუბის კიდეები არ იკვეთება. კვეთა მხოლოდ ფიგურებში ჩანს. თუმცა ეს გასაკვირი არ უნდა იყოს, რადგან ფიგურებში ჩვეულებრივი კუბის კიდეებიც იკვეთება.
ნეკნების სიგრძე

აღსანიშნავია, რომ ოთხგანზომილებიანი კუბის ყველა სახე და კიდე თანაბარია. ფიგურაში, ისინი არ არიან თანაბარი მხოლოდ იმიტომ, რომ ისინი განლაგებულია ხედვის მიმართულებით სხვადასხვა კუთხით. თუმცა, შესაძლებელია ჰიპერკუბის გაშლა ისე, რომ ყველა პროგნოზს ჰქონდეს იგივე სიგრძე.

სხვათა შორის, ამ ფიგურაში აშკარად ჩანს რვა კუბი, რომლებიც ჰიპერკუბის სახეებია.
ჰიპერკუბი შიგნით ცარიელია

ძნელი დასაჯერებელია, მაგრამ კუბებს შორის, რომლებიც აკავშირებენ ჰიპერკუბს, არის გარკვეული სივრცე (ოთხგანზომილებიანი სივრცის ფრაგმენტი).

ამის უკეთ გასაგებად, მოდით განვიხილოთ ჩვეულებრივი 3D კუბის 2D პროექცია (მე მიზანმიმართულად გავაკეთე ის გარკვეულწილად ესკიზურად).

შესაძლებელია თუ არა მისგან გამოცნობა, რომ კუბის შიგნით არის გარკვეული სივრცე? დიახ, მაგრამ მხოლოდ ფანტაზიით. თვალი ვერ ხედავს ამ სივრცეს. ეს იმიტომ ხდება, რომ მესამე განზომილებაში მდებარე კიდეები (რომლებიც არ შეიძლება გამოსახული იყოს ბრტყელ ნახატზე) ახლა გადაიქცა ნახატის სიბრტყეში მდებარე სეგმენტებად. ისინი აღარ უზრუნველყოფენ მოცულობას.

კვადრატები, რომლებიც ზღუდავდნენ კუბის სივრცეს, ერთმანეთს გადაფარავდნენ. მაგრამ შეიძლება წარმოვიდგინოთ, რომ თავდაპირველ ფიგურაში (სამგანზომილებიანი კუბი) ეს კვადრატები განლაგებული იყო სხვადასხვა სიბრტყეში და არა ერთი მეორეზე ერთსა და იმავე სიბრტყეში, როგორც ეს ფიგურაში აღმოჩნდა.

იგივე ეხება ჰიპერკუბს. ჰიპერკუბის კუბური სახეები ფაქტობრივად არ ემთხვევა ერთმანეთს, როგორც ეს ჩვენ გვეჩვენება პროექციაზე, არამედ განლაგებულია ოთხგანზომილებიან სივრცეში.
რეიმერები

ასე რომ, ოთხგანზომილებიანი სივრცის მაცხოვრებელს შეუძლია სამგანზომილებიანი ობიექტის დანახვა ერთდროულად ყველა მხრიდან. შეგვიძლია ერთდროულად დავინახოთ სამგანზომილებიანი კუბი ყველა მხრიდან? თვალით არა. მაგრამ ხალხმა მოიფიქრა გზა, რომ სამგანზომილებიანი კუბის ყველა სახე ერთდროულად გამოესახათ ბრტყელ ნახატზე. ასეთ გამოსახულებას სვიპი ეწოდება.
3D კუბის გაშლა

ყველამ ალბათ იცის, როგორ წარმოიქმნება სამგანზომილებიანი კუბის გაშლა. ეს პროცესი ნაჩვენებია ანიმაციაში.

სიცხადისთვის, კუბის სახეების კიდეები გამჭვირვალე ხდება.

აღსანიშნავია, რომ ამ ორგანზომილებიანი სურათის აღქმას მხოლოდ ფანტაზიის წყალობით ვახერხებთ. თუ გაშლის ფაზებს განვიხილავთ წმინდა ორგანზომილებიანი თვალსაზრისით, მაშინ პროცესი უცნაურად და სულაც არ ვიზუალურად გამოიყურება.

როგორც ჩანს, ჯერ დამახინჯებული კვადრატების კონტურების თანდათანობით გამოჩენა, შემდეგ კი მათი გავრცელება საჭირო ფორმის ერთდროული მიღებით.

თუ უყურებთ გაშლილ კუბს მისი ერთ-ერთი სახის მიმართულებით (ამ თვალსაზრისით, კუბი კვადრატს ჰგავს), მაშინ განვითარების ფორმირების პროცესი კიდევ უფრო ნაკლებად ნათელია. ყველაფერი ჰგავს თავდაპირველი კვადრატიდან კვადრატებიდან გამოსულს (გაშლილი კუბი კი არა).

მაგრამ სკანირება არ არის ვიზუალური მხოლოდ თვალებისთვის. მხოლოდ ფანტაზიის წყალობით, მისგან ბევრი ინფორმაციის მოპოვებაა შესაძლებელი.
4D კუბის გაშლა

უბრალოდ შეუძლებელია ჰიპერკუბის გაშლის ანიმაციური პროცესი ოდნავ მაინც ვიზუალური იყოს. მაგრამ ეს პროცესი შეიძლება წარმოიდგინოთ. (ამისთვის, თქვენ უნდა შეხედოთ მას ოთხგანზომილებიანი არსების თვალით.)

გავრცელება ასე გამოიყურება.

ჰიპერკუბის შემოსაზღვრული რვავე კუბი აქ ჩანს.

სახეები შეღებილია იმავე ფერებით, რომლებიც დაკეცვისას უნდა იყოს გასწორებული. სახეები, რომლებისთვისაც დაწყვილებული სახეები არ ჩანს, რჩება ნაცრისფერი. დაკეცვის შემდეგ, ზედა კუბის ყველაზე ზედა სახე უნდა გასწორდეს ქვედა კუბის ქვედა სახესთან. (მსგავსად, სამგანზომილებიანი კუბის განვითარება იშლება.)

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ დაკეცვის შემდეგ, რვა კუბის ყველა სახე კონტაქტში შედის, დახურავს ჰიპერკუბს. და ბოლოს, დაკეცვის პროცესის წარმოდგენისას არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ დაკეცვისას კუბები არ არის გადახურული, არამედ შემოხვეული გარკვეული (ჰიპერკუბური) ოთხგანზომილებიანი ფართობის გარშემო.

სალვადორ დალიმ (1904-1989) მრავალჯერ გამოსახა ჯვარცმა და მის ბევრ ნახატში ჯვრები ჩანს. ნახატში ჯვარცმა (1954) გამოყენებულია ჰიპერკუბის წმენდა.
სივრცე-დრო და ევკლიდეს ოთხგანზომილებიანი სივრცე

იმედი მაქვს, თქვენ მოახერხეთ ჰიპერკუბის წარმოდგენა. მაგრამ მოახერხეთ მიახლოება იმის გაგებასთან, თუ როგორ მუშაობს ოთხგანზომილებიანი სივრცე-დრო, რომელშიც ჩვენ ვცხოვრობთ? ვაი, ნამდვილად არა.

აქ ვისაუბრეთ ევკლიდეს ოთხგანზომილებიან სივრცეზე, მაგრამ სივრცე-დროს ძალიან განსხვავებული თვისებები აქვს. კერძოდ, ნებისმიერი ბრუნვისას, სეგმენტები ყოველთვის რჩებიან მიდრეკილნი დროის ღერძისკენ, ან 45 გრადუსზე ნაკლები კუთხით, ან 45 გრადუსზე მეტი კუთხით.

წყარო 2

ტესერაქტი არის ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი, კუბის ანალოგი ოთხგანზომილებიან სივრცეში. ოქსფორდის ლექსიკონის მიხედვით, სიტყვა "ტესერაქტი" გამოიგონა და გამოიყენა 1888 წელს ჩარლზ ჰოვარდ ჰინტონმა (1853-1907) თავის წიგნში " ახალი ერაფიქრები". მოგვიანებით ზოგიერთმა იგივე ფიგურას "ტეტრაკუბი" უწოდა.

შევეცადოთ წარმოვიდგინოთ, როგორ გამოიყურება ჰიპერკუბი სამგანზომილებიანი სივრცის დატოვების გარეშე.
ერთგანზომილებიან „სივრცეში“ - წრფეზე - ვირჩევთ L სიგრძის AB სეგმენტს. AB-დან L მანძილზე მდებარე ორგანზომილებიან სიბრტყეზე ვხატავთ მის პარალელურად DC სეგმენტს და ვაკავშირებთ მათ ბოლოებს. მიიღეთ კვადრატი ABCD. ამ ოპერაციის გამეორებით თვითმფრინავით, ვიღებთ სამგანზომილებიან კუბს ABCDHEFG. ხოლო კუბის მეოთხე განზომილებაში (პირველ სამზე პერპენდიკულარულად) L მანძილით გადაწევით მივიღებთ ჰიპერკუბს ABCDEFGHIJKLMNOP.

ერთგანზომილებიანი სეგმენტი AB ემსახურება ორგანზომილებიანი კვადრატის ABCD სახეს, კვადრატი არის ABCDHEFG კუბის მხარე, რომელიც, თავის მხრივ, იქნება ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბის მხარე. სწორი ხაზის სეგმენტს აქვს ორი სასაზღვრო წერტილი, კვადრატს აქვს ოთხი წვერო, ხოლო კუბს აქვს რვა. ამრიგად, ოთხგანზომილებიან ჰიპერკუბში იქნება 16 წვერო: საწყისი კუბის 8 წვერო და მეოთხე განზომილებაში გადანაცვლებული 8 წვერო. მას აქვს 32 კიდე - თითოეული 12 იძლევა თავდაპირველი კუბის საწყის და საბოლოო პოზიციებს, ხოლო კიდევ 8 კიდე "ხატავს" მის რვა წვეროს, რომლებიც გადავიდა მეოთხე განზომილებაში. იგივე მსჯელობა შეიძლება გაკეთდეს ჰიპერკუბის სახეებისთვის. ორგანზომილებიან სივრცეში ის არის ერთი (თავად კვადრატი), კუბს აქვს 6 მათგანი (ორი სახე გადატანილი კვადრატიდან და კიდევ ოთხი აღწერს მის გვერდებს). ოთხგანზომილებიან ჰიპერკუბს აქვს 24 კვადრატული სახე - ორიგინალური კუბის 12 კვადრატი ორ პოზიციაზე და 12 კვადრატი მისი თორმეტი კიდედან.

ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია გავაგრძელოთ მსჯელობა ჰიპერკუბებზე მეტიზომები, მაგრამ ბევრად უფრო საინტერესოა, თუ როგორ გამოიყურება ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი ჩვენთვის, სამგანზომილებიანი სივრცის მცხოვრებლებისთვის. ამისთვის გამოვიყენოთ უკვე ნაცნობი ანალოგიების მეთოდი.
ავიღოთ მავთულის კუბი ABCDHEFG და შევხედოთ მას ერთი თვალით სახის მხრიდან. ჩვენ დავინახავთ და შეგვიძლია დავხატოთ ორი კვადრატი სიბრტყეზე (მისი ახლო და შორეული სახეები), რომლებიც დაკავშირებულია ოთხი ხაზით - გვერდითი კიდეებით. ანალოგიურად, ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი სამგანზომილებიან სივრცეში გამოიყურება როგორც ორი კუბური "ყუთი", რომლებიც ჩასმულია ერთმანეთში და დაკავშირებულია რვა კიდით. ამ შემთხვევაში, თავად „ყუთები“ – სამგანზომილებიანი სახეები – იქნება დაპროექტებული „ჩვენს“ სივრცეზე და მათი დამაკავშირებელი ხაზები გადაჭიმული იქნება მეოთხე განზომილებაში. თქვენ ასევე შეგიძლიათ სცადოთ წარმოიდგინოთ კუბი არა პროექციაში, არამედ სივრცულ გამოსახულებაში.

ისევე, როგორც სამგანზომილებიანი კუბი წარმოიქმნება სახის სიგრძით გადანაცვლებული კვადრატით, მეოთხე განზომილებაში გადატანილი კუბი წარმოქმნის ჰიპერკუბს. იგი შემოიფარგლება რვა კუბიკით, რომლებიც მომავალში ლამაზად გამოიყურება რთული ფიგურა. მისი ნაწილი, რომელიც დარჩა "ჩვენს" სივრცეში, დახაზულია მყარი ხაზებით, ხოლო ნაწილი, რომელიც გადავიდა ჰიპერსივრცეში - წყვეტილი. ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი თავისთავად შედგება უსასრულო რაოდენობის კუბებისგან, ისევე როგორც სამგანზომილებიანი კუბი შეიძლება "დაიჭრას" უსასრულო რაოდენობის ბრტყელ კვადრატებად.

სამგანზომილებიანი კუბის ექვსი სახის მოჭრით, შეგიძლიათ მისი დაშლა ბრტყელ ფიგურად - ბადედ. მას ექნება კვადრატი ორიგინალური სახის თითოეულ მხარეს, პლუს კიდევ ერთი - მის საპირისპირო სახე. ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბის სამგანზომილებიანი განვითარება შედგება ორიგინალური კუბისაგან, ექვსი კუბისაგან, რომლებიც „იზრდება“ მისგან, პლუს კიდევ ერთი - საბოლოო „ჰიპერფეისი“. ტესერაქტის თვისებები არის უფრო მცირე განზომილების გეომეტრიული ფიგურების თვისებების გაფართოება ოთხგანზომილებიან სივრცეში.

Სხვა სახელები
ჰექსადეკაკორონი (ჰექსადეკაკორონი)
ოქტახორონი (ოქტაქორონი)
ტეტრაკუბი (ტეტრაკუბი)
4-კუბი (4-კუბი)
ჰიპერკუბი (თუ ზომების რაოდენობა არ არის მითითებული)

10 განზომილებიანი სივრცე
იქ ინგლისურად, ვინც არ იცის, სურათები საკმაოდ ნათელია

http://www.skillopedia.ru/material.php?id=1338

2009 წლის 19 სექტემბერი
ტესერაქტი (სხვა ბერძნულიდან τέσσερες ἀκτῖνες - ოთხი სხივი) - ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი - კუბის ანალოგი ოთხგანზომილებიან სივრცეში.

გამოსახულება არის ოთხგანზომილებიანი კუბის პროექცია (პერსპექტივა) სამგანზომილებიან სივრცეზე.

ოქსფორდის ლექსიკონის მიხედვით, სიტყვა „ტესერაქტი“ გამოიყენა და გამოიყენა 1888 წელს ჩარლზ ჰოვარდ ჰინტონმა (1853-1907) თავის წიგნში „აზროვნების ახალი ხანა“. მოგვიანებით ზოგიერთმა იგივე ფიგურას "ტეტრაკუბი" უწოდა.

გეომეტრია

ჩვეულებრივი ტესერაქტი ევკლიდეს ოთხგანზომილებიან სივრცეში განისაზღვრება, როგორც წერტილების ამოზნექილი კორპუსი (±1, ±1, ±1, ±1). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც შემდეგი ნაკრები:

ტესერაქტი შემოიფარგლება რვა ჰიპერპლანით, რომელთა გადაკვეთა თავად ტესერაქტთან განსაზღვრავს მის სამგანზომილებიან სახეებს (რომლებიც ჩვეულებრივი კუბურებია). არაპარალელური 3D სახეების ყოველი წყვილი იკვეთება და ქმნის 2D სახეებს (კვადრატებს) და ა.შ. და ბოლოს, ტესერაქტს აქვს 8 3D სახე, 24 2D, 32 კიდე და 16 წვერო.

პოპულარული აღწერა

შევეცადოთ წარმოვიდგინოთ, როგორ გამოიყურება ჰიპერკუბი სამგანზომილებიანი სივრცის დატოვების გარეშე.

ერთგანზომილებიან „სივრცეში“ - წრფეზე - ვირჩევთ L სიგრძის AB სეგმენტს. AB-დან L მანძილზე მდებარე ორგანზომილებიან სიბრტყეზე ვხატავთ მის პარალელურად DC სეგმენტს და ვაკავშირებთ მათ ბოლოებს. მიიღეთ კვადრატი ABCD. ამ ოპერაციის გამეორებით თვითმფრინავით, ვიღებთ სამგანზომილებიან კუბს ABCDHEFG. ხოლო კუბის მეოთხე განზომილებაში (პირველ სამზე პერპენდიკულარულად) L მანძილით გადაწევით მივიღებთ ჰიპერკუბს ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Build_tesseract.PNG

ერთგანზომილებიანი სეგმენტი AB ემსახურება ორგანზომილებიანი კვადრატის ABCD მხარეს, კვადრატი არის ABCDHEFG კუბის მხარე, რომელიც, თავის მხრივ, იქნება ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბის მხარე. სწორი ხაზის სეგმენტს აქვს ორი სასაზღვრო წერტილი, კვადრატს აქვს ოთხი წვერო, ხოლო კუბს აქვს რვა. ამრიგად, ოთხგანზომილებიან ჰიპერკუბში იქნება 16 წვერო: საწყისი კუბის 8 წვერო და მეოთხე განზომილებაში გადანაცვლებული 8 წვერო. მას აქვს 32 კიდე - თითოეული 12 იძლევა თავდაპირველი კუბის საწყის და საბოლოო პოზიციებს, ხოლო კიდევ 8 კიდე "ხატავს" მის რვა წვეროს, რომლებიც გადავიდა მეოთხე განზომილებაში. იგივე მსჯელობა შეიძლება გაკეთდეს ჰიპერკუბის სახეებისთვის. ორგანზომილებიან სივრცეში ის არის ერთი (თავად კვადრატი), კუბს აქვს 6 მათგანი (ორი სახე გადატანილი კვადრატიდან და კიდევ ოთხი აღწერს მის გვერდებს). ოთხგანზომილებიან ჰიპერკუბს აქვს 24 კვადრატული სახე - ორიგინალური კუბის 12 კვადრატი ორ პოზიციაზე და 12 კვადრატი მისი თორმეტი კიდედან.

ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია გავაგრძელოთ მსჯელობა უფრო დიდი რაოდენობის განზომილებების ჰიპერკუბებზე, მაგრამ გაცილებით საინტერესოა, თუ როგორ გამოიყურება ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი ჩვენთვის, სამგანზომილებიანი სივრცის ბინადრებისთვის. ამისთვის გამოვიყენოთ უკვე ნაცნობი ანალოგიების მეთოდი.

ტესერაქტი იშლება

ავიღოთ მავთულის კუბი ABCDHEFG და შევხედოთ მას ერთი თვალით სახის მხრიდან. ჩვენ დავინახავთ და შეგვიძლია დავხატოთ ორი კვადრატი სიბრტყეზე (მისი ახლო და შორეული სახეები), რომლებიც დაკავშირებულია ოთხი ხაზით - გვერდითი კიდეებით. ანალოგიურად, ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი სამგანზომილებიან სივრცეში გამოიყურება როგორც ორი კუბური "ყუთი", რომლებიც ჩასმულია ერთმანეთში და დაკავშირებულია რვა კიდით. ამ შემთხვევაში, თავად „ყუთები“ – სამგანზომილებიანი სახეები – იქნება დაპროექტებული „ჩვენს“ სივრცეზე და მათი დამაკავშირებელი ხაზები გადაჭიმული იქნება მეოთხე განზომილებაში. თქვენ ასევე შეგიძლიათ სცადოთ წარმოიდგინოთ კუბი არა პროექციაში, არამედ სივრცულ გამოსახულებაში.

ისევე, როგორც სამგანზომილებიანი კუბი წარმოიქმნება სახის სიგრძით გადანაცვლებული კვადრატით, მეოთხე განზომილებაში გადატანილი კუბი წარმოქმნის ჰიპერკუბს. ის შემოიფარგლება რვა კუბიკით, რომლებიც მომავალში საკმაოდ რთულ ფიგურას წააგავს. მისი ნაწილი, რომელიც დარჩა "ჩვენს" სივრცეში, დახაზულია მყარი ხაზებით, ხოლო ნაწილი, რომელიც გადავიდა ჰიპერსივრცეში - წყვეტილი. ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი თავისთავად შედგება უსასრულო რაოდენობის კუბებისგან, ისევე როგორც სამგანზომილებიანი კუბი შეიძლება "დაიჭრას" უსასრულო რაოდენობის ბრტყელ კვადრატებად.

სამგანზომილებიანი კუბის ექვსი სახის მოჭრით, შეგიძლიათ მისი დაშლა ბრტყელ ფიგურად - ბადედ. მას ექნება კვადრატი ორიგინალური სახის თითოეულ მხარეს, პლუს კიდევ ერთი - მის საპირისპირო სახე. ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბის სამგანზომილებიანი განვითარება შედგება ორიგინალური კუბისგან, ექვსი კუბისგან, რომლებიც "იზრდება" მისგან, პლუს კიდევ ერთი - საბოლოო "ჰიპერფეისი".

ტესერაქტის თვისებები არის უფრო მცირე განზომილების გეომეტრიული ფიგურების თვისებების გაფართოება ოთხგანზომილებიან სივრცეში.

პროგნოზები

ორგანზომილებიან სივრცეში

ეს სტრუქტურა ძნელი წარმოსადგენია, მაგრამ შესაძლებელია ტესერაქტის პროექტირება 2D ან 3D სივრცეებში. გარდა ამისა, სიბრტყეზე პროექცია აადვილებს ჰიპერკუბის წვეროების ადგილმდებარეობის გაგებას. ამ გზით, შეიძლება მიღებულ იქნას სურათები, რომლებიც აღარ ასახავს სივრცით კავშირებს ტეზერაქტის შიგნით, მაგრამ ასახავს წვეროს ბმულის სტრუქტურას, როგორც შემდეგ მაგალითებში:


სამგანზომილებიან სივრცეში

ტეზერაქტის პროექცია სამგანზომილებიან სივრცეზე არის ორი ჩასმული სამგანზომილებიანი კუბი, რომელთა შესაბამისი წვეროები დაკავშირებულია სეგმენტებით. შიდა და გარე კუბებს აქვთ სხვადასხვა ზომის 3D სივრცეში, მაგრამ ისინი თანაბარი კუბურებია 4D სივრცეში. ტესერაქტის ყველა კუბის თანასწორობის გასაგებად, შეიქმნა ტესერაქტის მბრუნავი მოდელი.



ტესერაქტის კიდეების გასწვრივ ექვსი დამსხვრეული პირამიდა ტოლი ექვსი კუბის გამოსახულებაა.
სტერეო წყვილი

ტესერაქტის სტერეოწყვილი გამოსახულია როგორც ორი პროექცია სამგანზომილებიან სივრცეზე. ტესერაქტის ეს გამოსახულება შეიქმნა იმისათვის, რომ წარმოედგინა სიღრმე, როგორც მეოთხე განზომილება. სტერეო წყვილი განიხილება ისე, რომ თითოეული თვალი ხედავს ამ სურათებიდან მხოლოდ ერთს, წარმოიქმნება სტერეოსკოპიული სურათი, რომელიც ასახავს ტესერაქტის სიღრმეს.

ტესერაქტი იშლება

ტესერაქტის ზედაპირი შეიძლება გაიშალოს რვა კუბად (ისევე, როგორც კუბის ზედაპირი შეიძლება გაიშალოს ექვს კვადრატად). არსებობს ტესერაქტის 261 განსხვავებული გაშლა. ტესერაქტის გაშლა შეიძლება გამოითვალოს გრაფიკზე დაკავშირებული კუთხეების გამოსახვით.

ტესერაქტი ხელოვნებაში

ედვაინ აბოტის ახალ დაბლობში ჰიპერკუბი არის მთხრობელი.
ჯიმი ნეიტრონის თავგადასავლების ერთ ეპიზოდში: "ბიჭის გენიოსი", ჯიმი იგონებს ოთხგანზომილებიან ჰიპერკუბს, რომელიც იდენტურია ჰაინლაინის 1963 წლის დიდების გზის საკეცბოს.
რობერტ ე. ჰაინლეინმა ახსენა ჰიპერკუბები სულ მცირე სამ სამეცნიერო ფანტასტიკურ მოთხრობაში. „ოთხი განზომილების სახლი“ (The House That Teel Built) (1940) მან აღწერა სახლი, რომელიც აშენებულია როგორც ტესერაქტის გაშლა.
ჰაინლაინის რომანში „დიდების გზა“ აღწერილია ჰიპერ ზომის კერძები, რომლებიც შიგნიდან უფრო დიდი იყო, ვიდრე გარედან.
ჰენრი კუტნერის მოთხრობა "Mimsy Were the Borogoves" აღწერს საგანმანათლებლო სათამაშოს ბავშვებისთვის შორეული მომავლისგან, სტრუქტურით მსგავსი ტესერაქტისა.
ალექს გარლანდის რომანში (1999) ტერმინი "ტესერაქტი" გამოიყენება ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბის სამგანზომილებიანი გაშლისთვის, ვიდრე თავად ჰიპერკუბის. ეს არის მეტაფორა, რომელიც შექმნილია იმის დასანახად, რომ შემეცნების სისტემა უფრო ფართო უნდა იყოს ვიდრე შემეცნებითი.
კუბი 2-ის სიუჟეტი: ჰიპერკუბი ორიენტირებულია რვა უცნობზე, რომლებიც ჩარჩენილია "ჰიპერკუბში", ან დაკავშირებული კუბების ქსელში.
სერიალი ანდრომედა იყენებს ტესერაქტის გენერატორებს, როგორც შეთქმულების მოწყობილობას. ისინი ძირითადად გამიზნულია სივრცისა და დროის გასაკონტროლებლად.
ნახატი "ჯვარცმა" (Corpus Hypercubus) სალვადორ დალის (1954)
Nextwave-ის კომიქსები ასახავს მანქანას, რომელიც მოიცავს 5 ტეზერაქტის ზონას.
ალბომში Voivod Nothingface ერთ-ერთ სიმღერას ჰქვია "In my hypercube".
ენტონი პირსის რომანში მარშრუტი კუბი, ერთ-ერთი ორბიტული მთვარე საერთაშორისო ასოციაციაგანვითარებას ეწოდება ტესერაქტი, რომელიც შეკუმშულია 3 განზომილებაში.
სერიალში "სკოლა" Შავი ხვრელი"" მესამე სეზონში არის ეპიზოდი "ტესერაქტი". ლუკასი აჭერს საიდუმლო ღილაკს და სკოლა იწყებს მათემატიკური ტესერაქტის ფორმას.
ტერმინი "tesseract" და მისგან მიღებული ტერმინი "tesse" გვხვდება მადლენ ლ'ენგლის მოთხრობაში "დროის ნაოჭი".